精品解析：辽宁朝阳市2026届高三下学期5月学情调研数学试题

高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 2. 已知直线a，b与平面，能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】与位置关系不确定，可相交，可平行，A项不合题意； 与不一定垂直，B项不合题意； 与可以平行，不一定垂直，C项不合题意； ，则在平面内存在直线，且，则，又 ，则，D项符合题意． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用两角和正弦公式得出，再结合同角三角函数关系及二倍角正弦公式求解. 【详解】由，得，则， 所以，即得， 由，得． 4. 某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行数学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（ ） A. 30种 B. 90种 C. 150种 D. 180种 【答案】C 【解析】 【分析】先得到分配方案有或，分两种情况，结合排列组合知识得到答案 【详解】由已知可得5个人分三个班，每班至少1人，则可能的分配方案有或， 若分配方案为，则分配方案有种， 若分配方案为，则分配方案有种， 则不同分配方式共有种． 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.15 C. 0.2 D. 0.25 【答案】B 【解析】 【分析】应用正态分布的对称性及已知条件计算求解. 【详解】． 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】． 7. 双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，，再根据得，在上的投影向量为，进而求得，再根据建立的方程求解即可得答案. 【详解】因为为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，所以，， 因为，垂足为,所以， 所以，即①， 因为，所以在上的投影向量为 因为， 所以，即， 所以②， 由①②知， 所以． 8. 定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，则恒过定点，将和的大致图象画在同一直角坐标系， 有3个零点等价于与图象有3个交点，设， 由图可知，，即． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由对数的运算可判断A，由基本不等式结合乘1法可判断BCD. 【详解】由题意可知，所以，A项正确； ，当且仅当时取等，B项正确； 所以，当且仅当时取等，C项正确； ，当且仅当时取等，D项错误． 10. 已知复数在复平面内对应的点分别为，且点连接后构成三角形，则下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则是一个等腰三角形 B. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹是以为直径的圆 C. 若复数满足，则在复平面内对应的点为的内心 D. 若复数满足，则在复平面内对应的点为的重心 【答案】AD 【解析】 【分析】对A、B和C，根据选项条件，利用复数的几何意义，即可求解；对D，根据条件，利用复数的几何意义及复数的运算，得到，即可求解. 【详解】对于A，由，知，故为等腰三角形，所以A正确； 对于B，设复数在复平面内对应的点为P，由，得到， 若与A，B两点重合，不满足，所以点P的轨迹一定不是以AB为直径的圆，故B错误； 对于C，设复数在复平面内对应的点为P，由， 得到，所以点P为的外心，故C错误； 对于D，设，设复数z在复平面内对应的点为P， 则，所以， 则，所以点P为的重心，D正确． 11. 已知椭圆，其左、右焦点分别为，离心率为e，过左焦点的直线与C交于A，B两点，若点A在x轴上方，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. （O为坐标原点） C. 若点A在第一象限，则 D. 若E为C的下顶点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，可得，根据勾股定理、椭圆的定义及面积公式，可得面积的表达式，即可得A点纵坐标，根据，结合的关系，整理计算，可判断A的正误；根据，分析可判断B的正误；根据余弦定理，可得、的表达式，即可得的表达式，结合的范围，分析求解，可判断C的正误；由条件，可得的表达式，进而可得的表达式及范围，整理化简，即可判断D的正误. 【详解】选项A：由，得，则， 由椭圆的定义得，则， 所以，则， 所以， 又，所以，则， 又，所以，则，所以，则， 所以，则，即，解得，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：若点A在第一象限，则， 设，设， 由余弦定理得， 则，整理得， 所以，同理可得， 则， 由点A在第一象限知，则， 设，则， 所以，故C正确： 选项D：由A项知， 所以， ， 则， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量a，b满足的夹角为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直及数量积运算，表示出夹角即可． 【详解】因为 所以，即 根据向量的数量积运算，则 代入化简得 所以 【点睛】本题考查了平面向量垂直及数量积的定义，属于基础题． 13. 函数与函数在公共点处切线相同，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 设与的公共点为，，， 根据两条直线斜率相等可得，解得 则在公共点处切线方程为， ． 14. 已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则_______；若，则面积的取值范围为_______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据二倍角公式及正弦定理得到，再结合同角三角函数的关系，两角和的正弦公式，诱导公式，正弦定理，及余弦定理即可求出的值；依题意可得，结合余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数的关系，三角形边的关系，及二次函数的性质即可求出面积的取值范围． 【详解】由， 由二倍角公式得， 所以正弦定理得， 又在锐角中，有， 则 ； 若，则， 则由余弦定理有， 所以， 又因为是锐角三角形，则有， 又，解得， 又，所以， 则，所以， 故面积的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，满足，公差大于零的等差数列满足为与的等比中项． （1）求数列和的通项公式； （2）设为数列的前n项和，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用，由求首项，再作差推出为等比数列得通项，再设等差数列公差为正数，由和等比中项列方程求出，进而得到通项. （2）把拆为与两部分，分别用等比数列求和、相邻两项分组求和算出前20项和，相加即得. 【小问1详解】 当时，， 所以， 当时，由及，得，解得 所以. 设等差数列的公差为， 则 所以． 【小问2详解】 当时，， ． 16. 已知函数． （1）证明：在上单调递增； （2）设函数，若为的极小值点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， 令，则，恒成立， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）通过多次求导，即可判断单调性； （2）求导，通过，，，讨论单调性，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 由（1）知当时，，即， 又，且，所以为奇函数，其图象关于对称， 所以当时，，即． ①若，则，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以为的极小值点． ②若，当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以为的极小值点． ③若，则与同号，所以， 所以在上单调递增，无极值点，不合题意． ④若，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以为函数的极大值点，不合题意． 综上，实数a的取值范围为． 17. 为了减轻教师阅卷负担，某校在一次考试中尝试采用AI辅助阅卷，从所有试卷中随机抽取60%由AI批阅，其余40%仍由教师人工批阅．阅卷后，按分层随机抽样的方式，从AI批阅和人工批阅的试卷中，随机抽取共100份试卷，统计AI批阅试卷的得分情况，得到如下的频率分布直方图． （1）估计AI批阅试卷的平均分和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批．若抽到试卷分数低于70分，则复批的概率为80%；若抽到试卷分数在70分到90分之间，则复批的概率为30%；若抽到试卷分数高于90分，则复批的概率为60%．若某同学试卷被复批，求AI批阅该同学试卷高于90分的概率； （3）已知抽取的100份试卷的平均分为，方差为，求人工批阅试卷的样本平均分和方差，并判断AI阅卷和人工阅卷的成绩是否有明显差异．（若，则认为二者有差异，否则不认为有明显差异） 【答案】（1）， （2） （3），，不认为AI阅卷和人工阅卷的成绩有明显差异 【解析】 【分析】（1）先求出90~100分的频率/组距，再代入公式即可求出平均数和方差； （2）设“该同学得分低于70分”为事件，“该同学得分在70分到90分之间”为事件，“该同学得分高于90分”为事件，“该同学试卷被复批”为事件B，再求出 ，最后利用全概率公式和贝叶斯公式即可求出； （3）分别求出和方差，再代入公式即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，90~100分的频率/组距为， 所以平均分， 方差． 【小问2详解】 设“该同学得分低于70分”为事件，“该同学得分在70分到90分之间”为事件，“该同学得分高于90分”为事件，“该同学试卷被复批”为事件B． 由频率分布直方图得， 所求概率为． 【小问3详解】 ，解得， ，解得． 所以，故不认为AI阅卷和人工阅卷的成绩有明显差异． 18. 已知抛物线的焦点F到直线的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）点为抛物线上的一点，在上任取一点B（与点A不重合），直线AB与直线l交于点C，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D． （i）求证：直线BD恒过定点E，并求出点E的坐标； （ii）过点B和D分别作抛物线的两条切线和和交于点G，证明：． 【答案】（1） （2）（i）证明：易知，设，则， 故直线，即， 与联立得， 直线，即直线BD的方程为， 又点和点的横坐标相同，，即，即， 所以直线，即， 令即所以恒过. （ii）证明：对求导，得，所以直线的斜率为，所以直线， 即，同理， 联立，得． 又因为，则 ， 所以，同理， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离求出的值即可求出抛物线的方程； （2）（i）先求出，设，求出直线的方程与直线联立得点横坐标，进而求得与的关系，再写出直线的方程即可； （ii）对求导，得，求出直线方程联立得点坐标，通过计算和即可证明. 【小问1详解】 由题意得到直线的距离为， 解得，所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 如图，已知是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥． （1）设平面平面，证明：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围． 【答案】（1）因为，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面平面平面，所以， 又平面，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用线面平行的判定，得到平面，再由线面平行的性质得，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面平面与平面的法向量，利用面面角的向量法，即可求解； （3）根据条件可设设球的半径为，球心，再利用，进而得到，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连，则为的中点， 在平面内，过作， 在等边中，由，得， 又，所以， 所以，所以平面， 又平面，所以， 所以两两垂直，以为坐标原点， 直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 则， 又，则，所以，解得， 则，所以， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 因为点在平面内的射影在四边形内部， 所以，由，得到， 因为，所以， 则，又， 所以，则，所以， 在等腰梯形中，，则， 则为等腰梯形外接圆圆心，设球的半径为，球心， 则，又， 则，整理得到， 又因为， 所以， 因为，且，得到， 又，令，易知在区间上单调递增， 当时，，所以，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线a，b与平面，能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行数学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（ ） A. 30种 B. 90种 C. 150种 D. 180种 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.15 C. 0.2 D. 0.25 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数在复平面内对应的点分别为，且点连接后构成三角形，则下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则是一个等腰三角形 B. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹是以为直径的圆 C. 若复数满足，则在复平面内对应的点为的内心 D. 若复数满足，则在复平面内对应的点为的重心 11. 已知椭圆，其左、右焦点分别为，离心率为e，过左焦点的直线与C交于A，B两点，若点A在x轴上方，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. （O为坐标原点） C. 若点A在第一象限，则 D. 若E为C的下顶点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量a，b满足的夹角为_______． 13. 函数与函数在公共点处切线相同，则_______． 14. 已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则_______；若，则面积的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，满足，公差大于零的等差数列满足为与的等比中项． （1）求数列和的通项公式； （2）设为数列的前n项和，求． 16. 已知函数． （1）证明：在上单调递增； （2）设函数，若为的极小值点，求实数a的取值范围． 17. 为了减轻教师阅卷负担，某校在一次考试中尝试采用AI辅助阅卷，从所有试卷中随机抽取60%由AI批阅，其余40%仍由教师人工批阅．阅卷后，按分层随机抽样的方式，从AI批阅和人工批阅的试卷中，随机抽取共100份试卷，统计AI批阅试卷的得分情况，得到如下的频率分布直方图． （1）估计AI批阅试卷的平均分和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批．若抽到试卷分数低于70分，则复批的概率为80%；若抽到试卷分数在70分到90分之间，则复批的概率为30%；若抽到试卷分数高于90分，则复批的概率为60%．若某同学试卷被复批，求AI批阅该同学试卷高于90分的概率； （3）已知抽取的100份试卷的平均分为，方差为，求人工批阅试卷的样本平均分和方差，并判断AI阅卷和人工阅卷的成绩是否有明显差异．（若，则认为二者有差异，否则不认为有明显差异） 18. 已知抛物线的焦点F到直线的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）点为抛物线上的一点，在上任取一点B（与点A不重合），直线AB与直线l交于点C，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D． （i）求证：直线BD恒过定点E，并求出点E的坐标； （ii）过点B和D分别作抛物线的两条切线和和交于点G，证明：． 19. 如图，已知是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥． （1）设平面平面，证明：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $