精品解析：辽宁朝阳市2026届高三下学期5月学情调研数学试题

高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 2. 已知直线a，b与平面，能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】与位置关系不确定，可相交，可平行，A项不合题意； 与不一定垂直，B项不合题意； 与可以平行，不一定垂直，C项不合题意； ，则在平面内存在直线，且，则，又 ，则，D项符合题意． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用两角和正弦公式得出，再结合同角三角函数关系及二倍角正弦公式求解. 【详解】由，得，则， 所以，即得， 由，得． 4. 某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行数学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（ ） A. 30种 B. 90种 C. 150种 D. 180种 【答案】C 【解析】 【分析】先得到分配方案有或，分两种情况，结合排列组合知识得到答案 【详解】由已知可得5个人分三个班，每班至少1人，则可能的分配方案有或， 若分配方案为，则分配方案有种， 若分配方案为，则分配方案有种， 则不同分配方式共有种． 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.15 C. 0.2 D. 0.25 【答案】B 【解析】 【分析】应用正态分布的对称性及已知条件计算求解. 【详解】． 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】． 7. 双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，，再根据得，在上的投影向量为，进而求得，再根据建立的方程求解即可得答案. 【详解】因为为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，所以，， 因为，垂足为,所以， 所以，即①， 因为，所以在上的投影向量为 因为， 所以，即， 所以②， 由①②知， 所以． 8. 定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，则恒过定点，将和的大致图象画在同一直角坐标系， 有3个零点等价于与图象有3个交点，设， 由图可知，，即． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由对数的运算可判断A，由基本不等式结合乘1法可判断BCD. 【详解】由题意可知，所以，A项正确； ，当且仅当时取等，B项正确； 所以，当且仅当时取等，C项正确； ，当且仅当时取等，D项错误． 10. 已知复数在复平面内对应的点分别为，且点连接后构成三角形，则下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 是一个等腰三角形 B. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹是以为直径的圆 C. 若复数满足，则在复平面内对应的点为 的内心 D. 若复数满足，则在复平面内对应的点为 的重心 【答案】AD 【解析】 【分析】对A、B和C，根据选项条件，利用复数的几何意义，即可求解；对D，根据条件，利用复数的几何意义及复数的运算，得到，即可求解. 【详解】对于A，由，知，故 为等腰三角形，所以A正确； 对于B，设复数在复平面内对应的点为P，由，得到， 若与A，B两点重合，不满足，所以点P的轨迹一定不是以AB为直径的圆，故B错误； 对于C，设复数在复平面内对应的点为P，由， 得到，所以点P为 的外心，故C错误； 对于D，设，设复数z在复平面内对应的点为P， 则，所以， 则，所以点P为 的重心，D正确． 11. 已知椭圆，其左、右焦点分别为，离心率为e，过左焦点的直线与C交于A，B两点，若点A在x轴上方，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. （O为坐标原点） C. 若点A在第一象限，则 D. 若E为C的下顶点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，可得，根据勾股定理、椭圆的定义及面积公式，可得面积的表达式，即可得A点纵坐标，根据，结合的关系，整理计算，可判断A的正误；根据，分析可判断B的正误；根据余弦定理，可得、的表达式，即可得的表达式，结合的范围，分析求解，可判断C的正误；由条件，可得的表达式，进而可得的表达式及范围，整理化简，即可判断D的正误. 【详解】选项A：由，得，则， 由椭圆的定义得，则， 所以，则， 所以， 又，所以，则， 又，所以，则，所以，则， 所以，则，即，解得，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：若点A在第一象限，则， 设，设， 由余弦定理得， 则，整理得， 所以，同理可得， 则， 由点A在第一象限知，则， 设，则， 所以，故C正确： 选项D：由A项知， 所以， ， 则， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量a，b满足的夹角为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直及数量积运算，表示出夹角即可． 【详解】因为 所以，即 根据向量的数量积运算，则 代入化简得 所以 【点睛】本题考查了平面向量垂直及数量积的定义，属于基础题． 13. 函数与函数在公共点处切线相同，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 设与的公共点为，，， 根据两条直线斜率相等可得，解得 则在公共点处切线方程为， ． 14. 已知在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则_______；若，则 面积的取值范围为_______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据二倍角公式及正弦定理得到，再结合同角三角函数的关系，两角和的正弦公式，诱导公式，正弦定理，及余弦定理即可求出的值；依题意可得，结合余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数的关系，三角形边的关系，及二次函数的性质即可求出 面积的取值范围． 【详解】由， 由二倍角公式得， 所以正弦定理得， 又在锐角 中，有， 则 ； 若，则， 则由余弦定理有， 所以， 又因为 是锐角三角形，则有， 又，解得， 又，所以， 则，所以， 故 面积的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，满足，公差大于零的等差数列满足为与的等比中项． （1）求数列和的通项公式； （2）设为数列的前n项和，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用，由求首项，再作差推出为等比数列得通项，再设等差数列公差为正数，由和等比中项列方程求出，进而得到通项. （2）把拆为与两部分，分别用等比数列求和、相邻两项分组求和算出前20项和，相加即得. 【小问1详解】 当时，， 所以， 当时，由及，得，解得 所以. 设等差数列的公差为， 则 所以． 【小问2详解】 当时，， ． 16. 已知函数． （1）证明：在上单调递增； （2）设函数，若为的极小值点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， 令，则，恒成立， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）通过多次求导，即可判断单调性； （2）求导，通过，，，讨论单调性，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 由（1）知当时，，即， 又，且，所以为奇函数，其图象关于对称， 所以当时，，即． ①若，则，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以为的极小值点． ②若，当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以为的极小值点． ③若，则与同号，所以， 所以在上单调递增，无极值点，不合题意． ④若，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以为函数的极大值点，不合题意． 综上，实数a的取值范围为． 17. 为了减轻教师阅卷负担，某校在一次考试中尝试采用AI辅助阅卷，从所有试卷中随机抽取60%由AI批阅，其余40%仍由教师人工批阅．阅卷后，按分层随机抽样的方式，从AI批阅和人工批阅的试卷中，随机抽取共100份试卷，统计AI批阅试卷的得分情况，得到如下的频率分布直方图． （1）估计AI批阅试卷的平均分和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批．若抽到试卷分数低于70分，则复批的概率为80%；若抽到试卷分数在70分到90分之间，则复批的概率为30%；若抽到试卷分数高于90分，则复批的概率为60%．若某同学试卷被复批，求AI批阅该同学试卷高于90分的概率； （3）已知抽取的100份试卷的平均分为，方差为，求人工批阅试卷的样本平均分和方差，并判断AI阅卷和人工阅卷的成绩是否有明显差异．（若，则认为二者有差异，否则不认为有明显差异） 【答案】（1）， （2） （3），，不认为AI阅卷和人工阅卷的成绩有明显差异 【解析】 【分析】（1）先求出90~100分的频率/组距，再代入公式即可求出平均数和方差； （2）设“该同学得分低于70分”为事件，“该同学得分在70分到90分之间”为事件，“该同学得分高于90分”为事件，“该同学试卷被复批”为事件B，再求出 ，最后利用全概率公式和贝叶斯公式即可求出； （3）分别求出和方差，再代入公式即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，90~100分的频率/组距为， 所以平均分， 方差． 【小问2详解】 设“该同学得分低于70分”为事件，“该同学得分在70分到90分之间”为事件，“该同学得分高于90分”为事件，“该同学试卷被复批”为事件B． 由频率分布直方图得， 所求概率为． 【小问3详解】 ，解得， ，解得． 所以，故不认为AI阅卷和人工阅卷的成绩有明显差异． 18. 已知抛物线的焦点F到直线的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）点为抛物线上的一点，在上任取一点B（与点A不重合），直线AB与直线l交于点C，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D． （i）求证：直线BD恒过定点E，并求出点E的坐标； （ii）过点B和D分别作抛物线的两条切线和和交于点G，证明：． 【答案】（1） （2）（i）证明：易知，设，则， 故直线，即， 与联立得， 直线，即直线BD的方程为， 又点和点的横坐标相同，，即，即， 所以直线，即， 令即所以恒过. （ii）证明：对求导，得，所以直线的斜率为，所以直线， 即，同理， 联立，得． 又因为，则 ， 所以，同理， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离求出的值即可求出抛物线的方程； （2）（i）先求出，设，求出直线的方程与直线联立得点横坐标，进而求得与的关系，再写出直线的方程即可； （ii）对求导，得，求出直线方程联立得点坐标，通过计算和即可证明. 【小问1详解】 由题意得到直线的距离为， 解得，所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 如图，已知 是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着 翻折，使点到点处，得到四棱锥． （1）设平面平面，证明：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围． 【答案】（1）因为，所以， 又平面， 平面，所以平面， 又平面平面平面，所以， 又平面，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用线面平行的判定，得到平面，再由线面平行的性质得，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面平面与平面的法向量，利用面面角的向量法，即可求解； （3）根据条件可设设球的半径为，球心，再利用，进而得到，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连，则为 的中点， 在平面内，过作， 在等边 中，由，得， 又，所以， 所以，所以平面， 又平面，所以， 所以两两垂直，以为坐标原点， 直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 则， 又，则，所以，解得， 则，所以， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 因为点在平面内的射影在四边形内部， 所以，由，得到， 因为，所以， 则，又， 所以，则，所以， 在等腰梯形中，，则， 则为等腰梯形外接圆圆心，设球的半径为，球心， 则，又， 则，整理得到， 又因为， 所以， 因为，且，得到， 又，令，易知在区间上单调递增， 当时，，所以，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线a，b与平面，能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行数学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（ ） A. 30种 B. 90种 C. 150种 D. 180种 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.15 C. 0.2 D. 0.25 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数在复平面内对应的点分别为，且点连接后构成三角形，则下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则是一个等腰三角形 B. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹是以为直径的圆 C. 若复数满足，则在复平面内对应的点为的内心 D. 若复数满足，则在复平面内对应的点为的重心 11. 已知椭圆，其左、右焦点分别为，离心率为e，过左焦点的直线与C交于A，B两点，若点A在x轴上方，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. （O为坐标原点） C. 若点A在第一象限，则 D. 若E为C的下顶点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量a，b满足的夹角为_______． 13. 函数与函数在公共点处切线相同，则_______． 14. 已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则_______；若，则面积的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，满足，公差大于零的等差数列满足为与的等比中项． （1）求数列和的通项公式； （2）设为数列的前n项和，求． 16. 已知函数． （1）证明：在上单调递增； （2）设函数，若为的极小值点，求实数a的取值范围． 17. 为了减轻教师阅卷负担，某校在一次考试中尝试采用AI辅助阅卷，从所有试卷中随机抽取60%由AI批阅，其余40%仍由教师人工批阅．阅卷后，按分层随机抽样的方式，从AI批阅和人工批阅的试卷中，随机抽取共100份试卷，统计AI批阅试卷的得分情况，得到如下的频率分布直方图． （1）估计AI批阅试卷的平均分和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批．若抽到试卷分数低于70分，则复批的概率为80%；若抽到试卷分数在70分到90分之间，则复批的概率为30%；若抽到试卷分数高于90分，则复批的概率为60%．若某同学试卷被复批，求AI批阅该同学试卷高于90分的概率； （3）已知抽取的100份试卷的平均分为，方差为，求人工批阅试卷的样本平均分和方差，并判断AI阅卷和人工阅卷的成绩是否有明显差异．（若，则认为二者有差异，否则不认为有明显差异） 18. 已知抛物线的焦点F到直线的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）点为抛物线上的一点，在上任取一点B（与点A不重合），直线AB与直线l交于点C，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D． （i）求证：直线BD恒过定点E，并求出点E的坐标； （ii）过点B和D分别作抛物线的两条切线和和交于点G，证明：． 19. 如图，已知是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥． （1）设平面平面，证明：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $