辽宁省多校联考2025-2026学年高三下学期第三次模拟数学试卷

2026年5月普通高中高三年级模拟考试 数学 参考答案及评分标准 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，) 1.B2.D3.A4.C5.B6.A7.C8.A 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.) 9.AC 10.BCD 11.BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 2房 13.y=ex;y=-ex(写对一个方程给3分，写对两个方程5分) 14.5 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.(13分) (1)连接AC,在长方体ABCD-A1B1CD1中， 由AB=AD可得，底面ABCD是正方形， 所以BDLAC …2分 又AA1⊥平面ABCD,而BDC平面ABCD,所以AA1⊥BD AC∩AA1=A,AC,AA1C平面ACCA1 所以BDL平面ACC1A1…4分 无论点E在线段CC上如何移动，AEc平面ACCA1, 故BDLAE…6分 (2)分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系，并连接BE, 于是D0,0,0),B(2,2,0),E(0,2,3) 故DB=(2,2,0),DE=(0,2,3),n1=(0,0,1)…7分 设n2=(x,y,z) 2x+2y=0 x=-y 2y+32=0解诗12s-2 AD 令x=1得，n2=(1,1, ）………………9分 3 0×1+0×(-1)+1× √22 coS<n1,n2> 4 11 …11分 1×1+1+ 9 由图可知，二面角A-BD-E的余弦值为钝角，故余弦值为 22 …13分 (若学生用其他方法解答，请阅卷小组自行研讨赋分) 16.（15分) (1)当p2时，抛物线方程为y2-4x,焦点F(1,0) …2分 因为直线的斜率为1，所以直线的方程为y=x-1…4分 底立4得：6-4红，即2-2+14，整理得-6D 由韦达定理可知十x26……6分 根据抛物线的弦长公式得：AB引=x十x2十p-8…7分 2)焦点号，0.设直线的斜率为40).则直线么的方程为)=() (y2=2px 联立{ =r-马'消去y得：2-2pp0 4 2 于是x1+x2= k2p+2卫 故，AB=x灯+x2+p= kp22-2D ………………9分 k2 因为4L,直线6的斜率为 同理可得ICD= -=2p(k2+1)……11分 四边形ACBD的面积S)HBCD, ms2+Dx以+D-2-2p(是+2 …13分 2 k2 k2 由均值不等式，k:+≥2，当2 是时，即1时，等号成立 故有2p+是+2上82，此时1…15分 (若学生用其他方法解答，请阅卷小组自行研讨赋分) 17.（15分) (1)由题意mn=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC…1分 又由已知mn=sin2C, 所以SinC=Sin2C… …2分 结合倍角公式有$inC-2 sinCcc0SC…3分 又sinC>0,故2cosC-1 1 解得cosC- 2 …4分 又0<C<π，所以C= …5分 3 (2)因为C- 3’c-V3, 由正弦定理得： a b c sin A sin B sin C 2 sinπv5 则a=2sinA,b=2SinB6分 易知B=π-A元-2 -A 33 2π 所以a+b=2sinM+2sin(3-0 =3SinA什√万C0sA…7分 =2√3sin(A+)… 一8分 6 0<A<π 2 因为△ABC为锐角三角形，所以 0< 2n-A< 3 2 解得： I<A<I …9分 2 于是，号<4+ 63 所以5<sin4+)≤1. 6 则3<2√3sin(4+)≤2V3 6 所以a+b的取值范围是(3,25] …10分 3)由题意，)absinc-3 2ab=5, 可得：ab=4… …11分 由D为AB中点得，CD-C@+C函) 两边平方得：4-4+a242 abcosC) 代入并整理：a2+b2=12… …13分 由余弦定理：c2-=a24b2-2 abcos7-a2+b2-ab=8 3 所以Cg=2√万…15分 (若学生用其他方法解答，请阅卷小组自行研讨赋分) 18.(17分) (1)由题意，fx)=-b,…1分 当b≤0时，fx)>0,故x)在R上单调递增： …3分 当b>0时， 令ex-b>0,解得x>lnb,fx)在(lnb,+oo)上单调递增； …4分 令e-b<0,解得x<lnb,fx)在(-oo,nb)上单调递减.…5分 （2)当b=1时，不等式fx)≤g(x)可化为x+e2.alnx≥0…6分 h(x)=x+e2-alnx (x>-0), h'(x)=1-a=x-a xx xe(0,a),h'(x)<0,h(x)单调递减 x∈(a,+∞)，h'(x)>0,h(x)单调递增 所以h(x)min=h(a）=a叶e2-alna≥0………8分 H(a)=ate2-alna (a>0), H'(a)=-1na a∈(0,1)，H(a)>0,Hx)单调递增 a∈(1，+oo),H(a<0,Hx)单调递减… …10分 易知当a→0时，Ha)→e2:He2)=0 所以a的取值范围是(0，]…11分 (3)由题意，g-e口，易知g为递增函数 又gQ-e分且a2e,放ga0 又g'(a-ea-1>0 放3五（亿，0），使得g0c0-g=0,a=c5…12分 x∈(0，xo),g'(x)<0,g(x)单调递减 x∈(xo,+∞)，g'(x)>0,gx)单调递增 gx)ming(xo)=eo-alnx=eo（自-xnx）…l3分 令p(x)=1-xnx,x∈(2，a) p()=-1-lnr<0, 故p(x)单调递减，p(x水p(2)=1-2ln2<0 所以g(x)min=e0(（1-xnx）<0…l4分 又g(1)=e>0, 故3x1∈(1，o),使得g(x1)=0… …15分 又g(a=ea-alna,令h(a)=ea-alna,(a>2e2) h'(a)=ea-1-lna≥(a+1)1-(a-1)=1>0 h(a)为单调递增函数； 所以h(a>lh2e2ye2x-2e2n(2e2）>el4-2e2ne3>el4-6e2>0-l6分 所以g(a)>0 故3x2∈(0，a),使得g(x2)=0 综上，函数g(x)有，2两个大于1的零点.…17分 (若学生用其他方法解答，请阅卷小组自行研讨赋分) 19.（17分) (1)①由题意，抽到6号的概率为三，抽到1-5号的概率为二；抽取3次后，总积分 6 6 为4分，应满足恰好抽到1次6号代币，2次1-5号代币 总积分为4分的概率为： 5)2 25 …2分 2 ②根据题意，3次抽取过程中从未出现连续两次抽到6号代币，有3种情况 25 三次均未抽到6号： …3分 6 216 三次中有一次抽到6号：P”-( 7525 …4分 21672 1515 三次中有两次抽到6号，只能第一次和第三次抽到6号：P"=二×二× …5分 666216 205 P3=P'+P"4P"= ……………………6分 216 (2)设抽到6号k次，则2+(n-=2n-3, 得=n-3 ①… …7分 因为k个6号不连续，故至少有k-1次抽到其他号码 所以有k+k-1≤n,即2k-1≤n- ②…8分 又0≤k≤n-- (③……9分 联立①②③，解得3≤n≤7…10分 故n的最大值为7，此时k-4:共C4·53-125种抽取方法…11分 (3)第n次抽取后处于安全积累状态，分两种情况： 第一种情况：第n次抽15号，概率为，前1次抽取后处于安全积紧状态的概率一 为P引，概率为P1;……12分 6 5 第二种情况：第n次抽6号，其概率为后第m1次抽15号，概率为。，前m2次 6 15 5 抽取后处于安全积累状态的概率为P2,概率为二×二P2= …13分 66 Pm-25 36 55 故Pn=P1什Pn-2(n≥3)…4分 6 36 5。.5 5 5 Pn+1-Pm=之Pt P-1-(Pt Pm-2) 6 36 6 36 55m 5 5 5 =三（二Pm1+ P2<0…15分 66 Pn2)+ P1-(P-+ 36 36 -P2 3 216 所以当n≥3时，P>PH1 …16分 205 35 当n=2时，由(1)知P3= >P: 216 36 故，当n≥2时，Pn>Pn+1 …17分 (若学生用其他方法解答，请阅卷小组自行研讨赋分) 2026年5月普通高中高三年级模拟考试 数学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号，并核对条形码上的信息．确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知平面向量，，若，则实数的值为 A．4 B．-4 C．1 D．-1 2．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为 A．0 B．2 C．3 D．5 3．复数（为虚数单位）的虚部为 A． B． C． D． 4．某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为 A．0.15 B．0.25 C．0.4 D．0.6 5．已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为 A．41 B．25 C．10 D．9 6．已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为 A． B． C． D． 7．已知数列的前项和为，且满足，，，则使不等式成立的正整数的最小值为 A．4 B．5 C．6 D．7 8．设，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9．下列四个函数中，周期为且在区间上单调递减的有 A． B． C． D． 10．已知数列，的前项和分别为，，且满足，，，则下列结论正确的是 A． B． C．是等差数列 D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有 A．直线与所成角的余弦值为 B．用平面截该正方体，所得截面面积为 C．若与交于点，则长度的取值范围是 D．若三棱锥与三棱锥体积相等，则动点的轨迹长度为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．一个盒子里装有5个红球和3个白球，从中不放回地依次随机取出2个球．已知第一次取出的球是红球，则第二次取出的球是白球的概率为________． 13．写出曲线过坐标原点的切线方程：________；． 14．已知双曲线：的右焦点为，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线与交于另一点，若，则的离心率为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（13分） 在长方体中，，，为棱上的动点（不包含端点，）． （1）证明：； （2）当时，求二面角的余弦值． 16．（15分） 已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点．设，，，． （1）若，直线的斜率为1，求的值； （2）求四边形面积的最小值及此时直线的斜率． 17．（15分） 在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围； （3）设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 18．（17分） 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若恒成立，求取值范围； （3）若，求证：函数有两个大于1的零点． 19．（17分） 为提升用户的“数字资产积累”体验，某区块链平台推出“幸运盲盒”游戏：盲盒内有编号1～6的6个数字代币（质地均匀），每次随机有放回抽取1个代币，抽取相互独立．规则为：抽到6号代币得2个积分，抽到1～5号代币得1个积分．定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到6号代币，记第次抽取后处于“安全积累状态”的概率为． （1）①求抽取3次后，总积分为4分的概率； ②求的值； （2）设抽取次后处于“安全积累状态”，且积分和为．求满足条件的的取值范围，并求当最大时共有多少种抽取方法； （3）证明：当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $