22.1.1 函数的概念------变量与常量 课件+教案 +学案 +习题2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章 函数 22.1.1 变量与常量 教案 一、教材分析 函数的概念是初中数学从常量数学向变量数学过渡的关键内容，在整个初中数学知识体系中起着承上启下的作用。此前学生已学习了代数式、方程等常量数学知识，本章节的学习为后续一次函数、二次函数等具体函数的学习奠定基础，同时也为高中阶段更深入的函数学习做好铺垫。从内容上看，本节主要通过现实生活中的变化现象引入变量与常量的概念，让学生初步感知在一个变化过程中量与量之间的关系，这是理解函数概念的前提，后续还将在此基础上学习函数的表示方法等内容。 二、学情分析 八年级学生已经具备了一定的代数运算能力和初步的抽象思维能力，在日常生活中也接触过大量的变化现象，如气温的变化、身高的增长等，对“变化”有一定的感性认识。但他们对变量与常量的数学化定义理解可能存在困难，尤其是从具体实例中抽象出变量和常量的概念，并准确判断一个变化过程中的变量与常量是学生面临的挑战。此外，学生的学习兴趣较为浓厚，喜欢通过具体问题进行探究，但自主学习的习惯和能力还有待加强，需要教师通过创设合适的问题情境来引导他们积极思考。 三、教学目标 1. 结合具体实例，通过观察、分析、归纳的方法，理解变量与常量的概念，能准确识别一个变化过程中的变量和常量. 2. 经历从实际问题中抽象出变量与常量的过程，运用数学的眼光观察现实世界中存在的变化现象，发展抽象思维和数学建模能力. 3. 感受数学与生活的密切联系，认识到变量与常量在描述现实世界变化规律中的作用，培养学习数学的兴趣和应用意识. 教学重点： 变量与常量的概念理解. 准确识别变化过程中的变量和常量. 理解变量之间的相互依存关系. 教学难点： 区分常量与变量的相对性. 从实际问题中抽象出变量与常量. 四、教学过程 （一）情境导入：万物皆变，引发探究 1. 视觉导入（AI 视频 + 图片） 播放AI 制作的情境视频 展示课件中香港气温变化图，引导学生观察： 图中哪些量在持续变化？（时间、气温） 哪些量始终保持不变？（统计地点、温度单位℃） 2. 问题驱动 提问 1：生活中还有哪些 “量在变、量不变” 的现象？ （学生自由发言：身高随年龄变、购物总价随数量变等） 提问 2：宇宙、自然、生活中，“一个量随另一个量变化” 的现象无处不在，数学中如何精准定义这些 “变” 与 “不变”？ 3. 引入课题 板书：22.1 函数的概念（第 1 课时：常量与变量） 说明：本节课将通过实例探究，学会用数学语言描述变化中的数量关系，为后续学习函数核心概念打基础。 【设计意图】用 AI 视频 + 气温图双重情境，直观呈现 “变化现象”，激发兴趣，自然引出课题，让学生初步感知 “变与不变”，为概念学习做铺垫。 （二）探究新知：四个实例逐层推进 问题 1. 汽车以60 km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1h，2h，5h时，行驶路程 s 分别为多少？s的值随t的值的变化而变化吗？ 师：哪些量变？哪些量不变？ 生：时间 t、路程 s 在变；速度 60 不变。 试用含 t 的式子表示 s. 生：s=60t 这个问题反映了汽车行驶的路程 s 随行驶时间 t 的变化而变化的过程. 问题 2.电影票售价为40元/张.第一场售出票80张票，第二场售出票105张票，第三场售出180张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入 y 元.y的值随x的变化而变化吗？ 第一场：40×80=3200 第二场：40×105=4200 第三场：40×180=7200 师：变的量？不变的量？ 生：售票张数x，票房收入y；票价 40 不变。 师：试用含 x 的式子表示 y. y=40x 这个问题反映了电影票房收入 y 随售出票数 x 的变化而变化的过程. 师：请用自己的话总结： 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量. 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 师：例如在问题(1)和(2)中， 汽车行驶的速度，电影票的售价是常量；汽车行驶的时间 t，路程 s，售出的电影票数 x，票房收入 y是变量. 问题 3.你见过水中涟漪吗，如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径 r 分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积 S 分别为多少？S 的值随 r 的值的变化而变化吗？ (1) 圆的面积公式：S=πr2. 当r=10cm时，S=π×102=100π； 当r=20cm时，S=π×202=400π； 当r=30cm时，S=π×302=900π. (2) 在以上这个过程中，变量是：圆的半径r，圆的面积S； 常量是：圆周率π. 这个问题反映了圆的面积 S 随圆的半径 r 的变化而变化的过程. 问题 4.长方体的体积为1000cm3，当长方体的底面积S分别为50 cm2，100 cm2，125 cm2时，高h分别为多少? h的值随S的值的变化而变化吗? 师：在以上这个过程中，变量是？常量是？ 生：变量是S、h ，常量是体积。 这个问题反映了长方体的高 h 随长方体的底面积 S 的变化而变化的过程. 【设计意图】用教材四个经典实例，由具体到抽象，让学生自主归纳概念，符合认知规律，突出学生主体地位。 典例解析 例1 指出下列问题中的常量和变量： (1)某市居民生活用水的价格为5元/t.记某户的月用水量为 x t，月应缴水费为y元. 解：生活用水的价格是常量，某户的月用水量 x 和月应缴水费 y是变量. (2)在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元.李明在公交卡中存人30元，记此后他乘坐公交车 n 次，公交卡中的余额为 w 元. 解：刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数 n 和公交卡中的余额 w 是变量. (3)用20m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为 x m，矩形的面积为 S m2. 解： (3)绳的长度是常量，矩形的一边长 x 和面积 S 是变量. 教师总结判断方法 先确定一个变化过程 找出所有量 看数值是否改变 → 不变→常量；改变→变量 常量与变量的相对性：变量与常量是相对于某个变化过程而言的.当变化过程改变时，其中的变量与常量也可能随之改变. 例如，对于s=vt，当v不变时，v为常量，s，t为变量； 当t不变时，t为常量，s，v为变量. 【设计意图】三道例题覆盖生活常见模型，规范书写格式，强化判断步骤，突破重点。 随堂演练 1.假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量有( ) ①行驶速度; ②行驶时间; ③行驶路程; ④汽车油箱中的剩余油量. A. 1个 B.2个 C.3个 D. 4个 2.小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q (元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系是( ) A. Q=8x B. Q=50-8x C. Q=8x-50 D.Q=8x+50 3.如果水的流速是50米/分(一定量)，那么每分钟的流水量Q(立方米)与所选择的水管半径D(米)之间的关系式是Q=50πD2, 其中变量是_________，常量是________. 4.某种报纸每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，则y与x的关系式是________这里变量是_______，常量是_______. 5.矩形相邻两边长分别为x，y，面积为30，则用含x的式子表示y为________，这里变量是_______，常量是_____. 6.指出下列问题中的常量和变量: (1) 向一个水池注水，注水速度为0.1m3/min. 记注水时间为x min，注水量为y m3. (2)我国“十三五”期间每年的国内生产总值如下表所示. (3)一个平行四边形的底边长为5，高h可以任意改变，面积为S. 7. 指举两个运动变化的例子.并分别指出其中的常量和变量. 课程小结 师生共同总结 1. 常量：不变的量 2. 变量：变化的量 3. 判断关键：看变化过程 4. 思想：变化与对应 【设计意图】梳理知识结构，强化核心要点，形成体系。 教学反思 （一）成功之处 1. 情境创设有效 AI 视频 + 气温图导入生动直观，快速吸引学生注意力，课堂参与度高。 2. 概念形成自然 从四个实例逐步抽象，符合学生认知，概念理解扎实，不生硬。 3. 重难点突破到位 通过多实例对比、反复追问 “变不变”，学生能准确区分常量变量，并初步理解依存关系。 4. 课堂结构完整 环节清晰、节奏合理、讲练结合，学生活动充分，体现新课标理念。 （二）存在问题 1. 部分学生对变量的依存关系理解不够深入。 2. 对常量与变量的相对性讲解时间略紧，少数学生掌握一般。 3. 学生举例时，个别例子不够贴合 “运动变化”。 （三）改进措施 1. 增加对比实例：同一量在不同过程中属性变化，强化相对性。 2. 多让学生用自己的语言描述 “谁随谁变”。 3. 提前给出示例，引导学生规范举例，提高精准度。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 函数 22.1.1 变量与常量 同步训练 夯实基础篇 一、单选题： 1．一本笔记本5元，买x本共付y元，则变量是（　　） A．5 B．5和x C．x D．x和y 2．对圆的周长公式的说法正确的是（　　） A．r是变量，2是常量 B．C，r是变量，2是常量 C．r是变量，2，C是常量 D．C是变量，2，r是常量 3．某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（　　） A．数100和n，t都是常量 B．数100和N都是变量 C．n和t都是变量 D．数100和t都是变量 4．在进行路程s、速度v和时间t的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则下列说法正确的是（　　） A．s、v是变量 B．s、t是变量 C．v、t是变量 D．s、v、t都是变量 5．刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（　　）． A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 6．用一根长的铁丝围成的矩形，现给出四个量：①长方形的长；②长方形的宽；③长方形的周长；④长方形的面积．其中是变量的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4. 7．每张电影票售价为10元，某日共售出x张，票房收入为y元，在这个问题中，变量是（　　） A．10 B．10和x C．x D．x和y 二、填空题： 8．林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示“元/升”其数值固定不变的，另外两个量分别表示“数量”、“金额”，数值一直在变化，在这三个量当中元/升是常量，　 　是变量。 9．小邢到单位附近的加油站加油，下图所示是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是　 　 三、解答题： 10．指出变化过程中的变量与常量： （1）y=﹣2πx+4； （2）v=v0t+ at（其中v0，a为定值）； （3）n边形的对角线的条数l与边数n的关系是：l= ． 11．齿轮每分钟120转，如果n表示转数，t表示转动时间． （1）用n的代数式表示t； （2）说出其中的变量与常量． 12．写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量． （1）直角三角形中一个锐角a与另一个锐角β之间的关系； （2）一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t（小时）表示水箱中的剩水量y（吨）． 13．根据下列情境编制一个实际问题，说出其中的常量与变量，小王春节骑车去看望爷爷，小王家与爷爷家相距10千米，小王骑车的速度为每小时12千米。 14．我国是一个严重缺水的国家，我们都应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.5毫升．小燕子同学在洗手时，没有拧紧水龙头，当小燕子离开x（时）后水龙头滴了y（毫升）水．在这段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量？ 15．我国是一个严重缺水的国家，我们都应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.5毫升．小燕子同学在洗手时，没有拧紧水龙头，当小燕子离开x（时）后水龙头滴了y（毫升）水．在这段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量？ 能力提升篇 一、单选题： 1．假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是（　　） ①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．某商城进一批苹果，在6月27日按照早中晚三个批次销售，销售情况如表，在该变化过程中，常量是（　　） A．批次 B．销售量 C．收入 D．单价 3．在三角形面积公式S=，a=2cm中，下列说法正确的是（　　） A．S，a是变量，是常量 B．S，h是变量，是常量 C．S，h是变量，是常量 D．S，h，a是变量，是常量 二、填空题： 4．已知长方形的周长为30cm，一边长为ycm，另一边长为xcm，则y与x的关系式为　 　，其中变量是　 　，常量是　 　． 5．三角形的一边长为5cm，它的面积S（cm2）与这边上的高h（cm）的关系式是　 　，其中　 　是变量，　 　是常量． 三、解答题： 6．如下表： n 1 2 3 4 … y 2×1 4×3 6×5 8×7 试研讨这里的y与n的关系式，并指出其中的变量． 7．阅读下面这段有关“龟兔赛跑”的寓言故事，并指出所涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量． 一次乌龟与兔子举行500米赛跑，比赛开始不久，兔子就遥遥领先．当兔子以20米/分的速度跑了10分时，往回一看，乌龟远远地落在后面呢!兔子心想：“我就是睡一觉，你乌龟也追不上我，我为何不在此美美地睡上一觉呢？”可是，当骄傲的兔子正做着胜利者的美梦时，勤勉的乌龟却从它身边悄悄爬过，并以10米/分的速度匀速爬向终点.40分后，兔子梦醒了，而此时乌龟刚好到达终点．兔子悔之晚矣，等它再以30米/分的速度跑向终点时，它比乌龟足足晚了10分. 参考答案 夯实基础篇 一、单选题： 1．一本笔记本5元，买x本共付y元，则变量是（　　） A．5 B．5和x C．x D．x和y 【答案】D 【知识点】常量、变量 【解析】【解答】解：一本笔记本的单价是5元不变的，因此5是常量， 而购买的本数x，总费用y是变化的量，因此x和y是变量， 故答案为：D． 【分析】结合题意，利用变量的定义求解即可。 2．对圆的周长公式的说法正确的是（　　） A．r是变量，2是常量 B．C，r是变量，2是常量 C．r是变量，2，C是常量 D．C是变量，2，r是常量 【答案】B 【知识点】常量、变量 【解析】【解答】在变化过程中，某量若保持不变，则称之为常量；反之，则称之为变量． 是常数，约等于3.14，和2一样是不变的常数，所以它们是常量；c和r是变化的量，故是变量． 【分析】根据变量和常量的定义可判断。 3．某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（　　） A．数100和n，t都是常量 B．数100和N都是变量 C．n和t都是变量 D．数100和t都是变量 【答案】C 【知识点】常量、变量 【解析】【解答】解：数100是常量，t，n是变量，故ABD不符合题意，C符合题意. 故答案为：C. 【分析】根据变量的定义，即可求解. 4．在进行路程s、速度v和时间t的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则下列说法正确的是（　　） A．s、v是变量 B．s、t是变量 C．v、t是变量 D．s、v、t都是变量 【答案】C 【知识点】常量、变量 【解析】【解答】s始终不变，是常量，v和t会变化，是变量 故答案为：C 【分析】根据常量和变量的定义判定，始终不变的量为常量 5．刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（　　）． A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】D 【知识点】常量、变量 【解析】【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故答案为：D． 【分析】利用变量的定义判定即可。 6．用一根长的铁丝围成的矩形，现给出四个量：①长方形的长；②长方形的宽；③长方形的周长；④长方形的面积．其中是变量的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4. 【答案】C 【知识点】常量、变量 【解析】【解答】解：由题意知长方形的周长一定， ∴变量有长、宽和面积． 故答案为：C． 【分析】根据常量和变量的概念结合题意进行判断即可. 7．每张电影票售价为10元，某日共售出x张，票房收入为y元，在这个问题中，变量是（　　） A．10 B．10和x C．x D．x和y 【答案】D 【知识点】常量、变量 【解析】【解答】解：常量是电影票的售价，变量是电影票的张数x，票房收入y， 故答案为：D． 【分析】根据变量的定义求解即可。 二、填空题： 8．林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示“元/升”其数值固定不变的，另外两个量分别表示“数量”、“金额”，数值一直在变化，在这三个量当中元/升是常量，　 　是变量。 【答案】数量、金额 【知识点】常量、变量 【解析】【解答】在这三个量当中元/升是常量，数量、金额是变量 【分析】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量 9．小邢到单位附近的加油站加油，下图所示是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是　 　 【答案】金额与数量 【知识点】常量、变量 【解析】【解答】常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故答案为：金额与数量. 【分析】根据常量与变量的意义结合油的单价是不变的，而金额随着加油数量的变化在变化，据此即可得答案. 三、解答题： 10．指出变化过程中的变量与常量： （1）y=﹣2πx+4； （2）v=v0t+ at（其中v0，a为定值）； （3）n边形的对角线的条数l与边数n的关系是：l= ． 【答案】（1）解：变量是：x和y，常量是：2π、 4 （2）解：变量是：v和t，常量是：v0和a、 （3）解：变量是：l和n，常量是：2和3 【知识点】常量、变量；函数解析式 【解析】【分析】常量是指在某一过程中，不变的量；变量是指某一过程中，不断变化的量。根据定义即可求解。 11．齿轮每分钟120转，如果n表示转数，t表示转动时间． （1）用n的代数式表示t； （2）说出其中的变量与常量． 【答案】（1）解答: 由题意得： 120t=n，t= ； （2）解答:变量：t，n 常量：120 【知识点】常量、变量 【解析】【分析】（1）根据题意可得：转数=每分钟120转×时间；（2）根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得x、y是变量 12．写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量． （1）直角三角形中一个锐角a与另一个锐角β之间的关系； （2）一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t（小时）表示水箱中的剩水量y（吨）． 【答案】（1）解：由题意得：α+β=90°，即α=90°﹣β； 常量是90，变量是α，β （2）解：依题意得：y=30﹣0.5t． 常量是30，0.5，变量是y、t 【知识点】常量、变量；函数解析式 【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质：直角三角形中，两锐角互余可得α+β=90°；根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．（2）根据题意可得剩余水量=原有水量﹣流出水量可的函数关系式． 13．根据下列情境编制一个实际问题，说出其中的常量与变量，小王春节骑车去看望爷爷，小王家与爷爷家相距10千米，小王骑车的速度为每小时12千米。 【答案】解答: 设小王与爷爷家的距离为s，出发时间为t， 则s=-12t+10， -12与10是常量，s与t是变量 【知识点】常量、变量 【解析】【分析】根据函数的定义，需要有两个变量，可以从小王与爷爷家的距离和时间考虑求解 14．我国是一个严重缺水的国家，我们都应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.5毫升．小燕子同学在洗手时，没有拧紧水龙头，当小燕子离开x（时）后水龙头滴了y（毫升）水．在这段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量？ 【答案】解：由题意得，常量为数值始终不变的量，有：2，0.5； 变量为数值发生变化的量，有：x，y． 【知识点】常量、变量 【解析】【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． 15．我国是一个严重缺水的国家，我们都应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.5毫升．小燕子同学在洗手时，没有拧紧水龙头，当小燕子离开x（时）后水龙头滴了y（毫升）水．在这段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量？ 【答案】解答：由题意得，常量为数值始终不变的量，有：2，0.5；变量为数值发生变化的量，有：x，y 【知识点】常量、变量 【解析】【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量 能力提升篇 一、单选题： 1．假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是（　　） ①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】常量、变量 【解析】【解答】解：∵汽车匀速行驶在高速公路上，速度是常量，随着时间的变化，行驶时间，行驶路程，剩余油量随之变化， ∴②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量是变量． 故选C． 【分析】根据常量和变量的定义解答即可． 2．某商城进一批苹果，在6月27日按照早中晚三个批次销售，销售情况如表，在该变化过程中，常量是（　　） A．批次 B．销售量 C．收入 D．单价 【答案】D 【知识点】常量、变量 【解析】【解答】解：500÷100=5，750÷150=5，400÷80=5， ∴在当天的批次、销量、收入、单价中，不变的量是单价， ∴在该变化过程中，常量是单价． 故答案为：D． 【分析】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量． 3．在三角形面积公式S=，a=2cm中，下列说法正确的是（　　） A．S，a是变量，是常量 B．S，h是变量，是常量 C．S，h是变量，是常量 D．S，h，a是变量，是常量 【答案】C 【知识点】常量、变量 【解析】【解答】解：在三角形面积公式S=，a=2cm中，a是常数，h和S是变量．故选C． 【分析】根据函数的定义：对于函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应；来解答即可． 二、填空题： 4．已知长方形的周长为30cm，一边长为ycm，另一边长为xcm，则y与x的关系式为　 　，其中变量是　 　，常量是　 　． 【答案】y=15﹣x；x，y；15 【知识点】常量、变量；函数解析式 【解析】【解答】解：∵矩形的周长是30cm， ∴矩形的一组邻边的和为15cm， ∵一边长为xcm，另一边长为ycm． ∴y=15﹣x，其中变量是：x，y；常量是：15． 故答案为：y=15﹣x；x，y；15． 【分析】利用矩形的边长=周长的一半﹣另一边长，把相关数值代入即可，再利用在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，进而得出答案． 5．三角形的一边长为5cm，它的面积S（cm2）与这边上的高h（cm）的关系式是　 　，其中　 　是变量，　 　是常量． 【答案】S= h；h； 【知识点】常量、变量；函数解析式 【解析】【解答】解：根据题意，得 S= ×5×h= h， 即面积S（cm2）与这边上的高h（cm）的关系式是S= h，其中h是变量， 是常量． 故答案是：S= h；h； ． 【分析】根据三角形的面积公式写出S与h的关系式；在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． 三、解答题： 6．如下表： n 1 2 3 4 … y 2×1 4×3 6×5 8×7 试研讨这里的y与n的关系式，并指出其中的变量． 【答案】解：根据表中数据可得y=2n（2n﹣1）． 变量是y、n 【知识点】常量、变量；函数解析式 【解析】【分析】表中数据分两部分进行分析，先看前面的数据：2、4、6、8、…都是2的倍数，后面一个数1，3，5，7，…都是连续的奇数，由此可得y=2n（2n﹣1）． 7．阅读下面这段有关“龟兔赛跑”的寓言故事，并指出所涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量． 一次乌龟与兔子举行500米赛跑，比赛开始不久，兔子就遥遥领先．当兔子以20米/分的速度跑了10分时，往回一看，乌龟远远地落在后面呢!兔子心想：“我就是睡一觉，你乌龟也追不上我，我为何不在此美美地睡上一觉呢？”可是，当骄傲的兔子正做着胜利者的美梦时，勤勉的乌龟却从它身边悄悄爬过，并以10米/分的速度匀速爬向终点.40分后，兔子梦醒了，而此时乌龟刚好到达终点．兔子悔之晚矣，等它再以30米/分的速度跑向终点时，它比乌龟足足晚了10分 【答案】解答：500米、乌龟的速度10米/分等在整个变化过程中是常量，兔子的速度是变量． 【知识点】常量、变量 【解析】【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题 试卷第1页，共1页 试卷第6页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 函数 22.1.1 变量与常量 导学案 一、学习目标 1. 结合具体实例，通过观察、分析、归纳的方法，理解变量与常量的概念，能准确识别一个变化过程中的变量和常量. 2. 经历从实际问题中抽象出变量与常量的过程，运用数学的眼光观察现实世界中存在的变化现象，发展抽象思维和数学建模能力. 3. 感受数学与生活的密切联系，认识到变量与常量在描述现实世界变化规律中的作用，培养学习数学的兴趣和应用意识. 学习重点： 变量与常量的概念理解. 准确识别变化过程中的变量和常量. 理解变量之间的相互依存关系. 学习难点： 区分常量与变量的相对性. 从实际问题中抽象出变量与常量. 二、学习过程 一、情境导入（自主观察・思考） 观察中国香港地区某日气温变化图： 变化的量有：________________________ 不变的量有：________________________ 生活中类似 “一个量随另一个量变化” 的例子： 二、探究新知（合作学习・完成表格） 探究 1：问题 1. 汽车以60 km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1h，2h，5h时，行驶路程 s 分别为多少？s的值随t的值的变化而变化吗？ (1) 请填写上表. (2) 在以上这个过程中，变化的量是：_______________； 不变化的量是：_____________. (3) 试用含 t 的式子表示 s ：________. 问题 2.电影票售价为40元/张.第一场售出票80张票，第二场售出票105张票，第三场售出180张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入 y 元.y的值随x的变化而变化吗？ (1) 第一场票房收入=_________________； 第二场票房收入=_________________； 第三场票房收入=_________________. (2) 在以上这个过程中，变化的是： ； 不变化的量是：_____________. (3) 试用含 x 的式子表示 y ：________. 三、概念归纳（牢记） 常量：在一个变化过程中，数值________的量。 变量：在一个变化过程中，数值________的量。 问题 3.你见过水中涟漪吗，如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径 r 分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积 S 分别为多少？S 的值随 r 的值的变化而变化吗？ (1) 圆的面积公式：_______. 当r=10cm时，S=____________； 当r=20cm时，S=____________； 当r=30cm时，S=____________. (2) 在以上这个过程中，变量是：______________________； 常量是：___________. 问题 4.长方体的体积为1000cm3，当长方体的底面积S分别为50 cm2，100 cm2，125 cm2时，高h分别为多少? h的值随S的值的变化而变化吗? (1) 当S =50 cm2时，h=____________； 当S =100 cm2时，h=____________； 当S =125 cm2时，h=____________. (2) 在以上这个过程中，变量是： ； 常量是： . 四、典例解析 例1 指出下列问题中的常量和变量： (1)某市居民生活用水的价格为5元/t.记某户的月用水量为 x t，月应缴水费为y元. (2)在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元.李明在公交卡中存人30元，记此后他乘坐公交车 n 次，公交卡中的余额为 w 元. (3)用20m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为 x m，矩形的面积为 S m2. 随堂演练 1.假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量有( ) ①行驶速度; ②行驶时间; ③行驶路程; ④汽车油箱中的剩余油量. A. 1个 B.2个 C.3个 D. 4个 2.小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q (元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系是( ) A. Q=8x B. Q=50-8x C. Q=8x-50 D.Q=8x+50 3.如果水的流速是50米/分(一定量)，那么每分钟的流水量Q(立方米)与所选择的水管半径D(米)之间的关系式是Q=50πD2, 其中变量是_________，常量是________. 4.某种报纸每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，则y与x的关系式是________这里变量是_______，常量是_______. 5.矩形相邻两边长分别为x，y，面积为30，则用含x的式子表示y为________，这里变量是_______，常量是_____. 6.指出下列问题中的常量和变量: (1) 向一个水池注水，注水速度为0.1m3/min. 记注水时间为x min，注水量为y m3. (2)我国“十三五”期间每年的国内生产总值如下表所示. (3)一个平行四边形的底边长为5，高h可以任意改变，面积为S. 7. 指举两个运动变化的例子.并分别指出其中的常量和变量. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 函数 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 22.1 函数的概念 22.1.1 变量与常量 1 学习目标 1. 结合具体实例，通过观察、分析、归纳的方法，理解变量与常量的概念，能准确识别一个变化过程中的变量和常量. 2. 经历从实际问题中抽象出变量与常量的过程，运用数学的眼光观察现实世界中存在的变化现象，发展抽象思维和数学建模能力. 3. 感受数学与生活的密切联系，认识到变量与常量在描述现实世界变化规律中的作用，培养学习数学的兴趣和应用意识. 2 3 情境导入 现实世界中，一个量随另一个量变化而变化的现象大量存在. 为了研究这些变化规律，数学中形成了函数的概念. 本节课我们从认识变化过程中的 “量” 开始，开启对函数的探索. 4 情境导入 生活中的现象千变万化，有的量在变，有的量守恒. 在数学上，我们如何精准地定义这些“变”与“不变”呢？ 5 新知探究 问题 1. 汽车以60 km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1h，2h，5h时，行驶路程 s 分别为多少？s的值随t的值的变化而变化吗？ (1) 请填写上表. (2) 在以上这个过程中，变化的量是：_______________； 不变化的量是：_____________. 路程s，时间t 速度60km/h t/h 1 2 3 4 5 s/km 60 120 180 240 300 6 新知探究 (3) 试用含 t 的式子表示 s ：________. 这个问题反映了汽车行驶的路程 s 随行驶时间 t 的变化而变化的过程. 问题 1. 汽车以60 km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1h，2h，5h时，行驶路程 s 分别为多少？s的值随t的值的变化而变化吗？ t/h 1 2 3 4 5 s/km 60 120 180 240 300 s=60t 7 新知探究 问题 2.电影票售价为40元/张.第一场售出票80张票，第二场售出票105张票，第三场售出180张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入 y 元.y的值随x的变化而变化吗？ (1) 第一场票房收入=_________________； 第二场票房收入=_________________； 第三场票房收入=_________________. (2) 在以上这个过程中，变化的是： ； 不变化的量是：_____________. 40×80=3200(元) 40×105=4200(元) 40×180=7200(元) 售票张数x，票房收入y 票价40元/张 8 新知探究 问题 2.电影票售价为40元/张.第一场售出票80张票，第二场售出票105张票，第三场售出180张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入 y 元.y的值随x的变化而变化吗？ (3) 试用含 x 的式子表示 y ：________. 这个问题反映了电影票房收入 y 随售出票数 x 的变化而变化的过程. y=40x 9 新知探究 一般地， 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量. 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 例如在问题(1)和(2)中， 汽车行驶的速度，电影票的售价是常量；汽车行驶的时间 t，路程 s，售出的电影票数 x，票房收入 y是变量. 10 新知探究 问题 3.你见过水中涟漪吗，如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径 r 分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积 S 分别为多少？S 的值随 r 的值的变化而变化吗？ (1) 圆的面积公式：_______. 当r=10cm时，S=____________； 当r=20cm时，S=____________； 当r=30cm时，S=____________. π×102=100π S=πr2 π×202=400π π×302=900π 11 新知探究 问题 3.你见过水中涟漪吗，如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径 r 分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积 S 分别为多少？S 的值随 r 的值的变化而变化吗？ (2) 在以上这个过程中，变量是：______________________； 常量是：___________. 这个问题反映了圆的面积 S 随圆的半径 r 的变化而变化的过程. 圆的半径r，圆的面积S 圆周率π 12 新知探究 问题 4.长方体的体积为1000cm3，当长方体的底面积S分别为50 cm2，100 cm2，125 cm2时，高h分别为多少? h的值随S的值的变化而变化吗? (1) 当S =50 cm2时，h=____________； 当S =100 cm2时，h=____________； 当S =125 cm2时，h=____________. 20 cm 10 cm 8 cm (2) 在以上这个过程中，变量是： ； 常量是： . 这个问题反映了长方体的高 h 随长方体的底面积 S 的变化而变化的过程. 长方体的高 h 和底面积 S 长方体的体积 13 典例解析 例1 指出下列问题中的常量和变量： (1)某市居民生活用水的价格为5元/t.记某户的月用水量为 x t，月应缴水费为y元. 解：(1)生活用水的价格是常量，某户的月用水量 x 和月应缴水费 y是变量. 14 典例解析 例1 指出下列问题中的常量和变量： (2)在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元.李明在公交卡中存人30元，记此后他乘坐公交车 n 次，公交卡中的余额为 w 元. 解：(2)刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数 n 和公交卡中的余额 w 是变量. 15 典例解析 例1 指出下列问题中的常量和变量： (3)用20m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为 x m，矩形的面积为 S m2. 解： (3)绳的长度是常量，矩形的一边长 x 和面积 S 是变量. 16 新知探究 常量与变量的相对性 变量与常量是相对于某个变化过程而言的.当变化过程改变时，其中的变量与常量也可能随之改变. 例如，对于s=vt，当v不变时，v为常量，s，t为变量； 当t不变时，t为常量，s，v为变量. 讨论如何判断一个量是常量还是变量? 判断一个量是常量还是变量，需看两个方面: 1. 看它是否在一个变化的过程中; 2. 看它在这个变化过程中是否可以取不同的值. 17 随堂演练 1.假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量有( ) ①行驶速度; ②行驶时间; ③行驶路程; ④汽车油箱中的剩余油量. A. 1个 B.2个 C.3个 D. 4个 2.小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q (元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系是( ) A. Q=8x B. Q=50-8x C. Q=8x-50 D.Q=8x+50 C B 18 随堂演练 3.如果水的流速是50米/分(一定量)，那么每分钟的流水量Q(立方米)与所选择的水管半径D(米)之间的关系式是Q=50πD2, 其中变量是_________，常量是________. 4.某种报纸每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，则y与x的关系式是________这里变量是_______，常量是_______. 5.矩形相邻两边长分别为x，y，面积为30，则用含x的式子表示y为________，这里变量是_______，常量是_____. D与Q 50与π y=0.4x x与y 0.4 x与y 30 y = 19 随堂演练 6.指出下列问题中的常量和变量: (1) 向一个水池注水，注水速度为0.1m3/min. 记注水时间为x min，注水量为y m3. 解析：向水池注水，注水速度固定不变； 注水时间x、注水量y可以取不同数值，不断变化. 解：常量：注水速度， 变量：注水时间x、注水量y. 20 随堂演练 6.指出下列问题中的常量和变量: (2)我国“十三五”期间每年的国内生产总值如下表所示. 年份x 2016 2017 2018 2019 2020 国内生产 总值y/亿元 746 395.1 832 035.9 919 281.1 986 515.2 1 013 567.0 解：无常量. 变量：年份 x：数值随时间变化. 国内生产总值 y：数值随年份变化. 21 随堂演练 6.指出下列问题中的常量和变量: (3)一个平行四边形的底边长为5，高h可以任意改变，面积为S. 解：平行四边形的面积公式为：S=底×高， 常量：底边长 （固定不变） 变量：高 h（可任意改变）、面积 S（随 h 的变化而变化）. 22 随堂演练 7. 指举两个运动变化的例子.并分别指出其中的常量和变量. 解：例1：一名同学骑着自行车，以15 km/h的速度匀速在小区道路上骑行，骑行时间为 t 小时，骑行的路程为 s 千米. 自行车的骑行速度是常量，骑行时间t、骑行路程s是变量. 例2：一个苹果从树上自由下落，下落时间为t秒，下落的距离为h米（忽略空气阻力，重力加速度取固定值）. 重力加速度（约9.8 m/s²）（忽略空气阻力时，重力加速度始终不变）是常量，下落时间t、下落距离h是变量. 23 课程小结 变量与常量 定义：一般地，在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. 判断方法 1. 看是否在某一个变化过程中； 2. 看数值是否发生改变. 24 第二十二章 函数 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 22.1 函数的概念 22.1.1 变量与常量 25 $