2026届高考全国卷一卷适应性考试数学试题二

**基本信息** 以非遗文化统计、函数多问证明等情境设计，融合数学抽象、逻辑推理与数据观念，贴合高考对核心素养的考查趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数、集合、数列、立体几何等|基础题与创新题结合，如空间三线距离问题（11题）考查空间观念| |填空题|3题/15分|统计方差、二项式定理、椭圆离心率|第14题结合椭圆几何性质，考查数学眼光| |解答题|5题/77分|统计回归（非遗情境）、数列、立体几何翻折、函数证明、概率分布|15题以非遗技艺展示为背景，体现文化传承；18题三问递进证明，强化数学思维与表达|

高2026届全国一卷高考模拟预测试题二 数学参考答案 一.选择题 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D C Q B A A 二. 选择题 题号9 10 11 答案CD ACD BD 三.填空题 12. 13.2 14.(G- 四.解答题 15.解：(1)由题意n=6,则x=2x=21+23+24+27+29+32 =26。。。1分 6 6 =22=6+1+20+27+57+77-33, …2分 6 6 6那可 557 -可 ≈6.6… 0……4分 84 a=33-6.6×26=-138.6, 6分 y关于x的线性回归方程为y=6.6x-138.6,… ………7分 (2)对于线性回归模型，(y-=3930,(-=236.64,…9分 2(y- 236.64 决定系数为1 ≈1-0.0602=0.9398，…11分 2y- 3930 因为0.9398<0.9522，所以用非线性回归模型拟合效果更好.…13分 16.解：(1)因为S+Sn+S1=3n2+2n≥2，n∈N), 所以当n=2时， S1+S2+S,=a1+a1+a2)+a1+a2+a3… ……1分 =3a1+2a2+a,=3x22+2, 因为a1=1,a2=3,所以解得a3=5;… ………3分 当n=3时， S2+S,+S=(a1+a2+(a,+a2+a3+(a1+a2+a3+a4, =301+3a2+2a3+a4=3×32+2,解得a4=7.…………5分 第1页，共2页 (2)因为Sn1+Sn+Sn1=3n2+2(n≥2)①， 所以Sn+S1+Sn2=3(n+l)2+2=3n2+6n+5②， 所以②①可得Sn2-Sn-1=an+an+1+an+2=6n+3,n=1时，上式也成立，……·7分 所以用n+3代换n可得4n*3+0m+4+am+5=6n+3+3=6n+21,…9分 所以a+3+a+4+a+5-(an+a+1+0+2=(6n+21-(6n+3)=18,…12分 这说明数列{a-2+a-+a}k∈N)是以 4+a2+a=1+3+5=9为首项，18为公差的等差数列.… 0……13分 所以S.=9n+n-x18=9n+9nn-l=9n2.… …15分 2 17.(1)证明：取BE的中点H,连接PH,CH,CE. ……1分 因为△PBE为等腰三角形，点H为BE的中点， 所以PH⊥BE,因为四边形BCDE为菱形， D 所以BEI1CD,所以PH⊥CD.… …2分 因为四边形BCDE为菱形， 所以△BCE为等边三角形，所以CH⊥BE，进而CH⊥CD B 又PH∩CH=H,所以CD⊥平面PCH,…………3分 又PCc平面PCH,所以PC⊥CD.…4分 (2)()以H为原点，HB,HC以及垂直于平面BCDE的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 因为PH⊥BE,CH⊥BE,二面角P-BE-D的大小为120°，所以∠PHC=120°.…5分 则B1,0,0),C0,5,0,D-2,5,0,P0,-5,3, D G 所以PC=(0,25,-3,CD=(-2,0,0),GF= 22W5 33,- …7分 设平面PCD的法向量为i=(x,y,z,则 PCi=0 (25y-3z= 所以 CDn=0' 0,令y=1,则=012 …9分 -2x=0 3 所以币=0x2+1x25-1x25 =0 3 3 所以GF与平面PCD的法向量垂直，所以GF/1平面PCD.· …10分 设平面CGF的法向量为m=(x,y,z, 第1页，共2页 4 CGm=0 3y+2=0 则 GF=0 所以 2.25 ,令y=1,则 3 y-z=0 3,x=5,所以m 4 Z= …………12分 1+ 254V5 11 所以cos(m,)= mn 3 3 311 n V3+1+16 41414 ,……………14分 ,1+ r 3 3 11 所以平面CGF与平面PCD夹角的正弦值为 55 (14 …………15分 14 18.解：(1)令gx=f(x-f'm)x-m-f(m) …1分 则g'(x)=f'(x-f'(m)=e-e"，,… …2分 在xe-0,m,g'(x<0,,在xem,+0),g'(x>0, 故gx在(-o,m上递减，在(m,+o）上递增… ……3分 所以gx)≥gm=0即fx)≥f'(m)x-m+fm).… …4分 (2)由(1)知a,=∫(i)≥∫'(m(i-m+∫(m)… …5分 所以立ri-侧+=（位-m+m …6分 ……7分 n (3)要证++…+人≥k…k只要证+lk,++k≤n+人，+…+在 …9分 n 令（刘=lnr-x--lnc,则hy=, …11分 x t 在xe(0,,h'(x>0,在xe(t,+0),h'(x<0,故h(x)在(0，上递增，在(t,+o）上递减，…13分 所以h()≤A)=0,故nx≤(x-)+lnf… ……15分 所以ask-小+hi=2→n≤g无-则+咖 …16分 则是ink≤nn:即 lnk+lnk++Ink.s In+,+…+ …17分 n 第1页，共2页 19.解：(1)(i)事件“a=b的概率为P=[P(X=]+[P(X=2)]+[P(X=3]…2分 -（传5G*传*s++6+++到…4纷 因为++，=0，可得R=}+(e+号+)≥了当且仅当小球均匀时取等号.… …5分 (i)证明：事件“a=b”的概率：g=[P(X=]+P[(X=2)]+PX=3+…+[P(X=n)] sj日八信j-*++e+*+…w 因为8，+8，+…+8，=0，则=(e++…+e)≥，当且仅当小球均匀时取等号，…8分 1-P 根据概率的对称性，事件“a>b”的概率等于事件“a<b”的概率，所以P= ,……9分 2 11 所以￡≤””，当且仅当小球均匀时取等号. ………10分 (2)设x++…+x=1,则5+点++五=1，…。 ……11分 令x=,则x+x+…+x=1,… …12分 要++2空小 0…13分 即冬+产生2经】 即旺+++小2空- 设x'为从装有n个小球的箱子中抽出标号为k的小球的概率， 则∑x+xx+…+x)可看成是第一次摸出k(k=2,3,…,n)号球， 第二次摸出的球号小于k的概率， 由(ii)知， (+++）=≤ 2n 所以++小2证华.1 第1页，共2页 高2026届全国一卷高考模拟预测试题二 数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．考生必须保持答题卡的整洁。 3.满分150分，时间120分钟 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设复数，是的共轭复数，则复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设集合，且，则 A． B． C． D． 3．设是等比数列，且，，则 A．12 B．24 C．30 D．32 4．已知正三棱台的体积为，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为 A． B． C．3 D．6 5．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则 A． B． C．2 D．4 6．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为 A．2 B．4 C．5 D．10 7．设是定义域为的奇函数，且，若，则 A． B． C． D． 8．若，，则 A．1 B． C． D．0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有 A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为4 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 10．已知，且，则 A． B． C．无最小值，只有最大值为4 D．的最小值为12 11．设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、4、6的直线，给出下列四个结论，其中正确的结论有 A．不存在，使得是直角三角形 B．存在，使得是等边三角形 C．存在使得四面体存在一个顶点处的三条棱两两垂直 D．存在使得四面体对棱互相垂直 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知9个数据的平均数为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这10个数据的方差为______． 13．已知的展开式中含项的系数为16，则_____. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 中国的非遗项目丰富多样，涵盖广泛，体现了中华民族的智慧和独特的文化魅力．春节期间某地为充分宣扬该地非物质文化，加大非遗传承人的技艺展示．该地市场开发与发展机构统计了非遗传承人的技艺展示量与市场消费收入的6组数据如下表： 技艺展示量x（单位：个） 21 23 24 27 29 32 市场消费收入y（单位：万元） 6 11 20 27 57 77 (1)若用线性回归理论进行统计分析，求市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程为，且决定系数，与（1）中的线性回归模型相比，应用决定系数说明哪种模型的拟合效果更好． 附：一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数 参考数据：，，， 线性回归模型的残差平方和为（其中，分别为非遗传承人的技艺展示量和市场消费收入，）． 16．（15分） 已知数列的前项和为，． (1)求； (2)求． 17．（15分） 如图甲，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成，其中.现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥如图乙所示. (1)求证:； (2)如图乙，若二面角的大小为点为的重心，点在线段上，且. (i)求证:平面;(ii)求平面与平面夹角的正弦值. 18．（17分） 已知函数 (1)证明不等式：； (2)记，证明：； (3)已知，证明：. 19．（17分） 箱子中有个小球，标号为1，2，…，，现从中摸2次球，每次摸一个小球，记录标号后放回．已知每次摸出小球的标号服从概率分布，其中，．当不全为0时，该箱子中的小球是不均匀的，否则是均匀的． (1)记第一次摸出的小球标号为，第二次摸出的小球标号为． （i）当时，设事件“”的概率为，试比较与的大小，并说明理由； （ii）设事件“”的概率为，证明：． (2)证明：对于任意的，其中，都有． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $