2.6.1课时2正弦定理教学设计-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

2.6.1余弦定理与正弦定理课时2正弦定理 一、教学目标 1．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理的内容与表达式. 2．能运用正弦定理解决解三角形、实际应用问题，理解外接圆半径关系. 3．掌握已知两边及一对角时解的个数判断方法，提升逻辑推理与数学建模能力. 二、教学重难点 教学重点：正弦定理的推导、内容理解与基本应用. 教学难点：钝角三角形中正弦定理的推导；已知两边及一边对角时解的个数判断. 三、本节内容和内容解析 本节课是平面向量及其应用章节的核心内容，承接余弦定理，是解三角形的重要工具.内容包括：直角三角形边角关系推广、任意三角形正弦定理推导、定理与外接圆半径关系、玉佩复原、台风影响等实际应用、已知两边及一对角解的个数判断.正弦定理揭示了三角形边与对角正弦的定量关系，可解决AAS、ASA、SSA型解三角形问题，是连接几何、三角与实际应用的桥梁. 四、学情分析 学生已掌握三角函数定义、三角形内角和、余弦定理，具备基础推理能力.但对钝角三角函数转化、SSA型多解问题理解困难，教学需借助图形、分步推导、例题对比突破难点. 五、教学准备 教师准备：准备好课件，利用课件动态展示教学内容． 学生准备：提前预习教材117-119页内容. 六、教学过程设计 (一)知识拓展，情境引入: 教师活动： 1．提问：在直角三角形中，边角满足怎样的三角函数关系？ 2．追问：该关系能否推广到锐角、钝角三角形？ 3．引出本节课课题：正弦定理. 学生活动： 1．回忆并回答直角三角形边角关系. 2．思考问题，进入学习状态. (2) 新课讲授 1．特殊：直角三角形中的正弦关系 教师活动：在Rt中，，引导学生用三角函数定义写出边角关系，推导得出. 学生活动：根据定义推导，得出结论. 2．推广：锐角三角形中的正弦定理 教师活动：在锐角中，作边上的高，引导学生用三角函数表示高，推导，同理推导. 学生活动：观察图形，参与推导，得出锐角三角形中定理成立. 3．完善：钝角三角形中的正弦定理 教师活动：在钝角中，引导学生利用诱导公式，作高转化，证明等式依然成立. 学生活动：理解诱导公式应用，完成推导. 4．正弦定理内容总结 教师活动：总结正弦定理：在任意中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 学生活动：记录定理内容，理解适用范围. 5．正弦定理与外接圆半径 教师活动： 1．提出问题：正弦定理的比值等于什么？ 2．引导学生以斜边为直径作外接圆，证明（为外接圆半径）. 3．推广到任意三角形，说明该结论恒成立. 学生活动： 1．观察外接圆图形，参与证明. 2．理解并记忆. 例题讲评： 例4某地出土一块古代玉佩（如图），其一角已破损．现测得如下数据：．为了复原，请计算原玉佩另两边的长．（精确到0.01cm） 解：将分别延长相交于点（如图）．在中，.由正弦定理，得所以，同理因此，原玉佩另两边的长分别约为． 例5求证：如图，以Rt斜边为直径作外接圆，设这个外接圆的半径为，则. 证明：在Rt中，，又，且，所以. 例6台风中心位于某市正东方向300km处，正向西北方向移动，速度的大小为，距离台风中心250km范围内将会受其影响．如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间？（精确到0.1h） 解：如图，设台风中心从点向西北方向沿射线移动，该市位于点正西方向300km处的点．假设经过，台风中心到达点．在中，．由正弦定理，得.所以角有两个解（如图）：当时， 同理，当时，．因此，约2h后将要遭受台风影响，持续约6.6h． (三)课堂练习 1.若中，，，，则b的值为() A. B. C. D. 2.已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则角A等于() A. B. C. D.或 3.在中，若，，，则此三角形解的情况为() A.一解 B.两解 C.无解 D.解的个数不确定 (四)课堂小结 1．正弦定理内容：在任意中，. 2．正弦定理拓展：（为外接圆半径）. 3．推导思路：从直角三角形出发，推广到锐角、钝角三角形，采用作高法+三角函数推导. 4．适用题型 已知两角及一边（AAS／ASA），求其他边； 已知两边及其中一边的对角（SSA），求角或边. 5．解的个数判断（SSA） 为锐角：无解；一解；两解；一解. 为钝角／直角：一解；无解. 6．核心应用：可解决几何测量、气象、航海等实际解三角形问题. (5) 布置作业 教材第120页，练习第1-4题. 学科网（北京）股份有限公司 $