第二章 6．1 第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 [学习目标]　1.了解余弦定理、正弦定理在解三角形中适合的边角类型．　2.利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状．　3.掌握余弦定理、正弦定理的简单应用． 1．在解三角形时，适合用余弦定理的题目类型 (1)已知两边及夹角； (2)已知三边； (3)已知两边及一边的对角． 适合用正弦定理的题型 (1)已知两角及一边； (2)已知两边及一边的对角． 2．三角形中常用的变形和结论 由A＋B＋C＝180°可得 (1)sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C； (2)sin＝cos，cos＝sin． 3．重要结论：在△ABC中， (1)若sin A＝sin B或cos A＝cos B，则A＝B； (2)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝； (3)acos B＋bcos A＝c，bcos C＋ccos B＝a，acos C＋ccos A＝b.(可以利用余弦定理推导、也可以利用投影得到结论) 角度1　用余弦定理、正弦定理解决有关几何计算问题 如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠ABC＝105°，∠C＝60°，BC＝1，CD＝2. (1)求∠CBD的大小； (2)求AB的值． 解析：(1)在△BCD中，由余弦定理，得 BD＝ ＝＝. 由BC＝1，CD＝2，得BC2＋BD2＝CD2，所以∠CBD＝90°． (2)因为∠ABC＝105°，∠DBC＝90°，所以∠ABD＝105°－90°＝15°， 所以∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝120°， 在△ABD中，由正弦定理得＝， 所以AB＝＝＝. 方法技巧 平面几何中长度、角度的计算问题的一般思路 1．把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解． 2．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 做题过程中，可能用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，把这些性质与正弦定理、余弦定理有机结合，才能更顺利解决问题． 即时练1.如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝4，AC＝2，DC＝2(cos 15°＝)． (1)求∠ADC； (2)求BD的长． 解析：(1)在三角形ADC中，由余弦定理得 cos∠ADC＝＝＝－， 因为0°＜∠ADC＜180°，所以∠ADC＝120°． (2)因为∠ADC＝120°，所以∠ADB＝60°． 在三角形ABD中，∠ADB＋∠ABD＋∠BAD＝180°，所以∠BAD＝75°， 因为cos 15°＝，所以sin 75°＝， 由正弦定理＝，解得BD＝2＋2. 学生用书↓第91页 角度2　用余弦定理、正弦定理解决有关面积问题 在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知acos B＝bsin A. (1)求角B的大小； (2)若b＝1，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 解析：(1)在△ABC中，由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， 因为acos B＝bsin A，代入化简得sin Acos B＝sin Bsin A，因为A∈(0，π)，所以sin A≠0， 所以cos B＝sin B，又显然B≠，即cos B≠0， 所以tan B＝，又因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)因为B＝，由S△ABC＝acsin B＝， 得ac＝1. 在△ABC中，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac， 所以1＝(a＋c)2－3×1，所以a＋c＝2，所以△ABC的周长为3. 方法技巧 　　与三角形面积有关的问题，一般用公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B进行求解．求解平面几何中的面积问题时，常利用割补法将非三角形的几何图形化为三角形，再选择恰当的三角形的面积公式计算．在计算面积时往往需借助正、余弦定理计算相关的边和角． 即时练2.已知四边形ABCD满足∠BAD＝90°，∠BCD＝150°，∠DAC＝60°，AC＝2，AD＝＋1，求CD的长和△ABC的面积． 解析：在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠DAC＝6，所以CD＝. 在△ACD中，由正弦定理得＝， 则sin∠ADC＝，又0°<∠ADC<120°， 所以∠ADC＝45°，从而有∠ACD＝75°， 由∠BCD＝150°，得∠ACB＝75°，又∠BAC＝90°－60°＝30°，所以∠ABC＝180°－75°－30°＝75°， △ABC为等腰三角形，即AB＝AC＝2， 故S△ABC＝AB·ACsin 30°＝×2×2×＝1. 余弦定理、正弦定理与其他知识的综合 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，