2.6.1 课时3 用余弦定理、正弦定理解三角形 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

2.6.1余弦定理与正弦定理 课时3用余弦定理、正弦定理解三角形 一、教学目标 1．熟练掌握正弦定理、余弦定理及其变形公式. 2．会用正弦、余弦定理解决三角形中的几何计算问题. 3．会用正弦、余弦定理解决距离、角度、高度等实际应用问题. 二、教学重难点 教学重点：依据已知条件合理选用正弦、余弦定理解三角形；解决实际测量问题. 教学难点：实际问题转化为三角形数学模型；多三角形问题的边角转化. 三、本节内容和内容解析 本节课是解三角形的综合应用课，在已学正弦定理、余弦定理的基础上，归纳解三角形的四种基本类型，并通过梯形、机器人运动、向量、烟囱测量、海防监测等典型例题，训练定理选择与数学建模能力，是平面向量、三角函数、解三角形知识的综合应用. 四、学情分析 学生已掌握正、余弦定理，但面对复杂图形、实际背景、多三角形组合问题时，不会选择定理、不会转化边角关系，容易混淆SSA类型.本节课通过分类梳理、例题拆解、步骤归纳，提升综合解题能力. 五、教学准备 教师准备：准备好课件，利用课件动态展示教学内容． 学生准备：提前预习教材120-124页内容. 六、教学过程设计 (一)知识拓展，情境引入: 教师活动 1．提问：正弦定理、余弦定理的内容分别是什么？ 2．提问：两个定理分别适合什么条件？ 3．引出课题：综合运用两个定理——解三角形与实际应用. 学生活动 1．集体背诵定理内容. 2．思考并回答适用条件. 3．进入新课学习. (2) 新课讲授 教师活动：引导学生归纳：已知三角形3个元素（至少一边），如何求解其余元素. 1．已知两角及一边（AAS／ASA） 2．已知两边及夹角（SAS） 3．已知三边（SSS） 4．已知两边及一对角（SSA） 逐一讲解解法思路，板书步骤. 学生活动：记录四种类型与解法，明确选定理的依据. 例题讲评： 例7如图，在梯形中，，．求的正弦值和的长． 解：在中，．由正弦定理，得 因为，所以，于是. 例8如图，一次机器人足球比赛中，甲队4号机器人由点开始做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正向点做匀速直线运动，速度的大小为自己的2倍．已知 ．若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？ 解：机器人最快截住足球的地方是机器人与足球同时到达的地方．如图，设该机器人最快可在点处截住足球，，由题意，．在中，由余弦定理，得，．解得.所以，或（不合题意，舍去）． 因此，该机器人最快可在线段上离点处7dm的点处截住足球． 例9已知的角所对的边分别是，向量，． （1）若，求证：为等腰三角形； （2）若，求的面积． （1）证明：因为，所以．由正弦定理可得，其中是的外接圆半径，所以．即为等腰三角形． （2）解：因为，所以．由，得①．由余弦定理可知，②．将①式代入②式，得．所以，或（不合题意，舍去）．所以. 例10自动卸货汽车采用液压机构（如图）．设计时需要计算油泵顶杆的长度，已知车厢的最大仰角为（指车厢与水平线之间的夹角），油泵顶点与车厢支点之间的距离为，与水平线之间的夹角为长为1.40m．计算的长度．（精确到0.01m） 解：如图，在中，，．由余弦定理，得， 所以．因此，顶杆长约1.89m． 例11如图，两点相距12m，与烟囱底部在同一水平直线上，利用高为1.5m的测角仪器，测得烟囱在点的仰角分别是和．计算烟囱的高．（精确到0.01m） 解：如图，在中 因此，烟囱的高约为29.89m． 例12如图，直线表示海面上一条南北方向的海防警戒线，在上点处有一个水声监测点，另两个监测点分别在点的正东方向20km处和54km处．某时刻，监测点收到发自静止目标的一个声波，监测点分别在8s和20s后相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中传播速度的大小为． （1）设，用分别表示，并求的值； （2）求静止目标到海防警戒线的距离．（精确到0.01km） 解：（1）依题意，．因此在中，， 同理，由得，解得. （2）如图，过点作的垂线，垂足为．在Rt中， 所以因此，静止目标到海防警戒线的距离约为17.71km． (3) 课堂练习 1.新版《北京市生活垃圾管理条例》规定，小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正东方向走，到达可回收垃圾桶，随后向北偏西方向走，到达有害垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走( ) A. B. C. D. 2.（多选）某货轮在A处看灯塔B，灯塔B在北偏东方向，距离为，在A处看灯塔C，灯塔C在北偏西方向，距离为.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B，灯塔B在南偏东方向，则( ) A.A处与D处之间的距离是 B.灯塔C与D处之间的距离是 C.灯塔C在D处的南偏西方向 D.D处在灯塔B的北偏西方向 (四)课堂小结 1．解三角形的四种类型及解法 两角一边→正弦定理 两边夹角→余弦定理求第三边 三边→余弦定理求角 两边一对角→正弦定理（注意解的个数） 2．选用定理口诀 知三求一，至少一边； 角多用正弦，边多用余弦； 夹角用余弦，对角用正弦. 3．实际问题步骤 画图→建模→标量→定定理→计算→检验. 4．常用思想：方程思想、转化思想、数形结合. (5) 布置作业 教材第125页，练习第1-2题. 学科网（北京）股份有限公司 $