第2章 §6 6.1 第4课时 解三角形应用举例（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦解三角形应用这一核心知识点，系统梳理角度、距离、高度测量问题，涵盖仰角、俯角等术语及正余弦定理应用，通过知识梳理、例题解析与跟踪训练，构建从定理到实际问题的完整学习支架。 以故宫角楼高度测量情境导入，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过例题推理培养数学思维，用定理表达解决方案体现数学语言。课中助力教师教学，课后辅助学生巩固，有效查漏补缺。

第4课时　解三角形应用举例 新课导入 学习目标 在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形．例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量．假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？ 1.通过教材实例掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用． 2．能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题． 一　角度问题 [知识梳理] 实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) 方位角 从正北的方向线按顺时针方向到目标方向线所转过的水平角 [例1] 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距10 n mile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则sin ∠ACB＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　由题意∠CAB＝120°，AC＝10，AB＝20， 在△ABC中，由余弦定理得，CB2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos ∠CAB＝700，所以CB＝10，在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得sin ∠ACB＝. 【答案】　A 测量角度问题的解题思路 [跟踪训练1] 某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处，测得∠PDC＝45°.已知旗杆CP＝10 m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝(　　) A．－1 B．－1 C． D． 解析：选D．在△PAD中，∠APD＝45°－15°＝30°，由正弦定理得PD＝·sin 15°＝ m，在△PDC中，CP＝10 m，故sin ∠PCD＝·PD＝，易知cos θ＝sin ∠ACB＝sin ∠PCD，所以cos θ＝. 二　距离问题 [知识梳理] 1．基线 (1)在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫作基线． (2)在测量过程中，为使测量工具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度，一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．测量距离问题的基本类型及求解方法 类型 图形 方法 A，B两点间不可到达的距离 余弦定理 A，B两点间可视有一点不可到达的距离 正弦定理 A，B两个均不可到达的点之间的距离 先用正弦定理，再用余弦定理 [例2] (1)海面上有相距10 n mile的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为(　　) A．10 n mile B．10 n mile C．5 n mile D．5 n mile (2)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km. 【解析】　(1)如图，由题意得A＝60°，B＝75°，AB＝10，则C＝45°， 所以＝， 所以BC＝＝5， 即B，C间的距离为5 n mile.故选D． (2)因为A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，所以B＋D＝π，所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD· CD cos D＝52＋32－2×5×3cos D＝34－30cos D，① AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝52＋82－2×5×8cos B＝89－80cos B＝89＋80cos D，② 联立①②，解得AC＝7. 【答案】　(1)D　(2)7 测量距离问题的解题思路 测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构建数学模型时，要尽量把已知元素放在同一个三角形中． [跟踪训练2] (2025·宜春期中)如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．在A点测得M，N的俯角分别为75°，30°，在B点测得M，N的俯角分别为45°，60°，且AB＝2 km，则MN＝________ km. 解析：因为在A点测得M，N的俯角分别为75°，30°，所以∠MAB＝75°，∠NAB＝30°， 同理∠MBA＝45°，∠NBA＝180°－60°＝120°， 在△ABM中，已知∠MAB＝75°，∠MBA＝45°，∠AMB＝60°， 由正弦定理得＝， 所以AM＝＝＝2. 因为∠NAB＝30°，∠NBA＝120°，则∠ANB＝30°，所以AB＝BN＝2， 在△ABN中，由余弦定理得AN2＝AB2＋BN2－2AB·BN cos 120°＝12＋12＋12＝36， 所以AN＝6，因为∠MAB＝75°，∠NAB＝30°， 故∠MAN＝45°，在△AMN中，由余弦定理得MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN cos 45°＝8＋36－24＝20，所以MN＝2. 答案：2 三　高度问题 [知识梳理] 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 图形 方法 底部可达 测量BC和∠BCA，解直角三角形求AB 底部不可达 点B与点C，D共线 先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与点C，D不共线 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 [例3] (对接教材例11)如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山底C在北偏西60°方向上，行驶1 200 m后到达B处，测得此山底C在北偏西15°方向上，仰角为45°，则此山的高度为________m. 【解析】　由题，作出图形如图，则有AB＝1 200 m，∠CAB＝30°，∠CBA＝105°， 因为到达B处仰角为45°，所以CB＝CD， 在△ABC中，∠ACB＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理可得＝，解得CB＝600 m，所以CB＝CD＝600 m. 【答案】　600 测量高度问题的解题思路 这里要解决的主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度． [跟踪训练3] (2025·南昌期末)南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一．如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度(两座双子塔的高度相同)，在地面上选择了一座高为t m的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为α，底部A的俯角为β，则双子塔的高度为(　　) A． m B． m C． m D． m 解析：选D．由题意可得CD＝t m，∠DAC＝β，∠ADB＝α＋β，则在△ADC中，AD＝，在△ABD中，∠ABD＝－α，由正弦定理得＝，即＝，所以AB＝＝. 1．在一座20 m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为(　　) A．20 m B．20(1＋) m C．10(＋) m D．20(＋) m 解析：选B．如图所示，AB为观测台，CD为水塔，AM为水平线． 依题意得AB＝20 m，∠DAM＝45°，∠CAM＝60°，从而可知MD＝20 m，AM＝20 m，CM＝20 m， 所以CD＝20(1＋) m．故选B． 2．江岸边有一竖直炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30 °角，则两条船相距(　　) A．20 m B． m C．30 m D．30 m 解析：选C．根据题意可得如图所示的示意图．其中AB为炮台，C，D为两条船所在位置．在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝30 m，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，可得BD＝AB＝30 m， 在△BCD中，BC＝30 m，BD＝30 m，∠CBD＝30°，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900. 所以CD＝30 m，即两船相距30 m． 3．(多选)(教材P125T2改编)一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处的(　　) A．北偏东75°方向 B．南偏东15°方向 C．北偏东15°方向 D．南偏东75°方向 解析：选AB．画出示意图如图所示，由题意得AB＝32×＝16 n mile，BS＝8 n mile，∠BAS＝30°， 所以＝，解得sin ∠ASB＝， 所以∠ASB＝45°或∠ASB＝135°. 当灯塔在S处时，∠ASB＝45°，所以∠1＝75°； 当灯塔在S′处时，∠AS′B＝135°，所以∠2＝15°. 综上，灯塔S在B处的北偏东75°方向或南偏东15°方向． 故选AB． 4．甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a n mile的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a n mile，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解：如图所示，设经过t h两船在C点相遇， 则在△ABC中，BC＝at n mile，AC＝at n mile，B＝180°－60°＝120°. 由＝，得sin ∠CAB＝＝＝＝. 因为0°＜∠CAB＜60°，所以∠CAB＝30°， 所以∠DAC＝60°－30°＝30°，所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 1．已学习：距离问题、角度问题、高度问题． 2．须贯通：求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法． 3．应注意：测量中有关术语的含义，如方位角、方向角． 学科网（北京）股份有限公司 $