2.6.2平面向量在几何、物理中的应用举例教学设计-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

2.6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例 一、教学目标 1．掌握用向量方法解决平面几何问题的基本步骤与思路. 2．能运用向量运算解决物理中力、速度、功等相关实际问题. 3．体会向量作为工具在几何与物理中的应用价值，提升数学建模与运算能力. 二、教学重难点 教学重点：向量在平面几何证明、物理问题中的应用方法. 教学难点：将几何、物理问题转化为向量问题，正确选择向量运算. 三、本节内容和内容解析 本节课是平面向量章节的应用课，在向量的线性运算、数量积基础上，重点学习向量在平面几何与物理中的应用. 几何方面：用向量证明平行、垂直、共线、共点、中点、角相等等问题； 物理方面：将速度、力、位移转化为向量，解决速度合成、力的平衡、力做功等问题. 体现＂向量是连接几何与物理的桥梁＂，培养数形结合、建模思想. 四、学情分析 学生已掌握向量的加、减、数乘、数量积运算，但将实际问题向量化的能力较弱，对＂用向量表示几何关系、物理关系＂不够熟练，需通过例题示范、步骤归纳强化训练. 五、教学准备 教师准备：准备好课件，利用课件动态展示教学内容． 学生准备：提前预习教材125-129页内容. 六、教学过程设计 (一)知识拓展，情境引入: 教师活动 1．提问：向量的线性运算、数量积分别对应几何中的哪些关系？ 2．引导：向量既有大小又有方向，与物理量、几何图形高度相关. 3．引出课题：平面向量在几何、物理中的应用举例. 学生活动 1．回顾并回答向量运算的几何意义. 2．思考应用方向，进入学习状态. (2) 新课讲授 1. 向量在平面几何中的应用 教师活动：讲解核心思路，证明平行、共线、中点：利用向量共线定理；证明垂直、求角：利用数量积为；求长度：利用模长公式. 学生活动：记录方法，明确向量解决几何问题的一般步骤. 2. 向量在物理中的应用 教师活动：讲解物理中的速度、力、位移都是向量，可转化为向量的合成、分解、数量积. 学生活动：理解物理问题向量化的基本思想. 例题讲评： 例13如图中，点在对角线上，并且．求证：四边形是平行四边形． 证明：由已知可设，则，，所以，即边平行且相等．因此，四边形是平行四边形． 例14求证：平行四边形的对角线互相平分．已知：如图，已知的两条对角线相交于点． 求证：互相平分． 证明：设，则，.于是得到关于基的两个分解式．因为分解是 交点处互相平分． 例15已知是的三条高．求证：相交于一点． 证明：如图，设与交于点，以下只需证明点在上．因为 所以也就是，① ② ①②，得，即，所以 又，所以三点共线，点在上． 例16如图，点是两条对角线的交点，点分别在边上， A B D C E F O 证明：设，则．由，可知点分别是的三等 因此，又直线、直线有公共点，故点在同一直线上． 例17某人在静水中游泳，速度的大小为，水流的速度为向东，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进速度的大小为多少？（精确到） 解：如图，设水流的速度为，此人实际前进的速度为，游泳的速度为．依题意，在Rt中，．所以 ．所以．故此人应沿着北偏西的方向前进，实际前进速度的大小约为． 例18如图，用两条成角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具重10N，那么每根绳子的拉力大小分别为多少？ 解：如图，设灯具的重力为，两根绳的拉力分别为，由向量加法的平行四边形法则、力的平衡及直角三角形的知识可知：与都成角，且．即每根绳子的拉力大小都为10N． 例19如图，已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为50N，一个质量为8kg的木块受力的作用在动摩擦因数0.02的水平平面上运动了20m．求力和摩擦力所做的功．（） 设木块的重力为，摩擦力的大小为 因此，做功为. 例20如图，已知质点由点移动到点的过程中，两恒力作用于该质点． （1）求力分别对质点所做的功； （2）求力的合力对质点所做的功． 解： （2） (三)课堂练习 1.已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则( ) A. B. C. D. 2.已知是等腰直角三角形，，D是BC边的中点，，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF，求证：. (四)课堂小结 1．向量解几何问题步骤 设向量／建系→表示几何关系→向量运算→还原几何结论 2．几何常用结论 平行／共线： 垂直： 中点／平分：向量唯一分解 3．向量解物理问题 速度、力、位移⇒向量 合成／分解⇒向量加减 功⇒数量积 (5) 布置作业 教材第129页，练习第1-5题. 学科网（北京）股份有限公司 $