2.6.2平面向量在几何、物理中的应用举例教学设计-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

2.6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例

一、教学目标

1．掌握用向量方法解决平面几何问题的基本步骤与思路.
 2．能运用向量运算解决物理中力、速度、功等相关实际问题.
 3．体会向量作为工具在几何与物理中的应用价值，提升数学建模与运算能力.

二、教学重难点

教学重点：向量在平面几何证明、物理问题中的应用方法.

教学难点：将几何、物理问题转化为向量问题，正确选择向量运算.

三、本节内容和内容解析

本节课是平面向量章节的应用课，在向量的线性运算、数量积基础上，重点学习向量在平面几何与物理中的应用.

几何方面：用向量证明平行、垂直、共线、共点、中点、角相等等问题；
 物理方面：将速度、力、位移转化为向量，解决速度合成、力的平衡、力做功等问题.

体现＂向量是连接几何与物理的桥梁＂，培养数形结合、建模思想.

四、学情分析

学生已掌握向量的加、减、数乘、数量积运算，但将实际问题向量化的能力较弱，对＂用向量表示几何关系、物理关系＂不够熟练，需通过例题示范、步骤归纳强化训练.

五、教学准备

教师准备：准备好课件，利用课件动态展示教学内容．

学生准备：提前预习教材125-129页内容.

六、教学过程设计

(一)知识拓展，情境引入:

教师活动
1．提问：向量的线性运算、数量积分别对应几何中的哪些关系？
2．引导：向量既有大小又有方向，与物理量、几何图形高度相关.
3．引出课题：平面向量在几何、物理中的应用举例.

学生活动

1．回顾并回答向量运算的几何意义.
2．思考应用方向，进入学习状态.

(二)             新课讲授

1. 向量在平面几何中的应用

教师活动：讲解核心思路，证明平行、共线、中点：利用向量共线定理；证明垂直、求角：利用数量积为；求长度：利用模长公式.

学生活动：记录方法，明确向量解决几何问题的一般步骤.

2. 向量在物理中的应用
   教师活动：讲解物理中的速度、力、位移都是向量，可转化为向量的合成、分解、数量积.
   学生活动：理解物理问题向量化的基本思想.

例题讲评：

例13如图中，点在对角线上，并且．求证：四边形是平行四边形．

证明：由已知可设，则，，所以，即边平行且相等．因此，四边形是平行四边形．

例14求证：平行四边形的对角线互相平分．已知：如图，已知的两条对角线相交于点．
求证：互相平分．

证明：设，则，.于是得到关于基的两个分解式．因为分解是

交点处互相平分．

例15已知是的三条高．求证：相交于一点．

证明：如图，设与交于点，以下只需证明点在上．因为

所以也就是，①

②

①②，得，即，所以

又，所以三点共线，点在上．

例16如图，点是两条对角线的交点，点分别在边上，

 

 

 

 

 

 

证明：设，则．由，可知点分别是的三等

因此，又直线、直线有公共点，故点在同一直线上．

例17某人在静水中游泳，速度的大小为，水流的速度为向东，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进速度的大小为多少？（精确到）

解：如图，设水流的速度为，此人实际前进的速度为，游泳的速度为．依题意，在Rt中，．所以