2.6.2.1 向量在几何证明中的应用（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学s)·必修第二册 AP 解：(1)在△APB中，由正弦定理得，sin∠ABP (2)由BC:AB=3:1,AB=100米，得AC=400米， ABAB 设AP=2x米，则CP=3x米， sin∠APB1' 在△APC中，∠APC=∠APB+∠BPC=120°， 2 CP 由余弦定理得160000=(2x)2十(3x)2-2·(2x)· 在△BPC中，由正弦定理得，n∠CBP (3.x)c0s120°， BC BC sin∠CPB 1 所以x=4009 又BC3 19 AB=片，sin∠ABP=sin∠CBP, 所以带子 即无人机到丙船的距离为CP=3r=1200√四 19 即无人机到甲、丙两船的距离之比为2：3. ≈275（米）. 6.2平面向量在几何、物理中的应用举例 第一课时向量在几何证明中的应用 课程标准 素养解读 通过对平面向量基本定理的把握证明三点共线问题；通过通过平行、垂直关系的向量方法证明，三点共线 对数量积的运算证明垂直问题；通过对向量坐标表达式的以及等式和求值问题的向量方法.提升学生直 把握证明平行问题 观想象，逻辑推理，数学运算等数学素养 课前。预习学案 对应学生用书P102 [情境引入] 2.在△ABC中，设AB=c,BC=a,CA=b,若c·(c+ 由于向量的运算有着鲜明的几何背景，几何图形 a-b)<0,则△ABC是 的许多变化和性质，如平移、全等、长度、夹角等都可 以用向量的线性运算及数量积表示，因此，用向量方 A.直角三角形 B.锐角三角形 法可以解决几何中的一些问题 C.钝角三角形 D.无法确定其形状 [知识梳理] 解析：C[因为c·(c十a-b)=AB·(AB+BC [知识点一]向量可以解决几何问题 1.解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共 CA)=2AB·AC=21AB1·|ACI cos A<0, 点等几何问题. 所以c0sA<0,A为钝角，所以△ABC是钝角三 2.解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量 角形. 问题. [知识点二]用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 3.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP= 1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 合(A店+A0.则P市 ；PB.PD= 及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. 2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹 角等问题. 解析：如图，由题意及平面向量的平 3.把运算结果“翻译”成几何关系。 行四边形法则可知，点P为BC的中 [预习自测] 1.在△ABC中，已知顶点A(4,1),B(7,5),C(-4,7),D 点，在△PCD中，1PD|=√5， 为BC的中点，则BC边的中线AD的长是( cos∠DPB=-cos∠DPC= 5 A.2√5 B55 C.35 D PB.PD=|PB·IPD1cos∠DPB=1XW5× 解析：B[由题意得，BC的中点D的坐标为 (2又A41A元-（号5Aò 〔) 9 答案：w5-1 ·174· 第二章平面向量及其应用 课堂。互动学案 对应学生用书P102 题型一 证明位置关系 题型二 证明三点共线，三线共点 [例1](1)证明顺次连接四边形各 D [例2](1)如图，O,A,B三点D 边中点所得四边形为平行四 不共线，O心=2OA,OD= 边形 3OB,设OA=a,OB=b. 已知：如图，四边形ABCD中，E, F,G,H分别是AB,BC,CD,DA ①试用a,b表示向量OE; 的中点. ②设线段AB,OE,CD的中 求证：四边形EFGH是平行四边形； 点分别为L,M,N,试证明L, M,N三点共线 (2)已知四边形ABCD中，|AB (2)已知D,E,F分别为 =AD1,BC=CD,试用向量 △ABC三边BC,AC,AB的 方法证明它的两条对角线互相 中点. 垂直 求证：AD,CF,BE相交于一点. 汇思路点拨] (1)证明EF=HG, [思路点拨](1)OE= 5a+ 3b,证明MN= (2)证明AC⊥DB, [证明](1)连接AC.因为E,F分别是AB,BC的 AML: (2)设直线AD,BE交于点G,证明点G在直线 中点，所以E求=EB+B萨=A店+2BC CF上. -2+心)=C,同理元-d。 [解](1)①因为B,E,C三点共线， 所以OE=x0C+(1-x)O店 所以EF=HG,所以EF∥HG且EF=HG,所以四 =2.am+(1-x)b,① 边形EFGH是平行四边形. 同理，因为A,E,D三点共线， (2)由题意，知△ADC≌△ABC,所以AC平分 可得OE=ya+3(1-y)b,② ∠DAB,所以AC=(AB+AD),因为DB=AB AD,所以AC.DB=k(AB+AD)·(AB-AD)= 此较①，@，得21=y k(AB-AD)=0,所以ACLDB. 1-=31-)解得=号 y= 所以四边形ABCD的两条对角线互相垂直. 规律方法 @因为0-a.oi=号0-ab 10 向量共线的相关结论 (1)a与b共线台a=b(入∈R,b≠0) ON-(OC+OD)-2ab 2 (2)a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b台1y2 所xM不=O-OM=6a+12b,Mi=Oi-OM x2y1=0. 10 向量垂直的相关结论 a十2b,所以M=6Mi,所以L,M,N三点共线. 10 (1)数量积：a⊥b台a·b=0(a≠0，b≠0)： (2)坐标表示：a=(1y1),b=(x2,y2),则a⊥ (2)设CA=a,CB=b,直线 b台2x2十y=0: AD,BE交于点G.设AG= ⊙[变式训练] 入AD,BG=μBE,则AG-A店 1.求证：以A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6)为顶 +BG=(b-a)+uBE=(b- 点的四边形是一个矩形. 证明：因为AB=(4,-2),BC=(3,6),DC=(4,-2), a(BC+C) AB=DC,BC=(3,6)不为零向量，且不与AB平行， =b-a+(a-b-(2A-a+1-b, 所以以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形. 又AG=AAD=A(AC+CD) 因为AB·BC=0,AB⊥BC,所以以A,B,C,D为 顶点的四边形是矩形. ·175· 数学s·必修第二册 A=2-1, ①求直线DE的方程； 所以 解得 ②求AB边上的高线CH所在直线的方程. 2A=1-4, =3 [思路点拨] u0-Oi+0成 则-Ci+A店=a+号Ai (2)利用向量的坐标运算求解。 a+{a+b)-3a+3a [解](1)如图所示，设OA= a,OB-b. 又因为C市=a十b,所以d=号C京，所以G在 因为三点P,G,Q共线， 中线CF上，所以AD,CF,BE相交于一点， 所以OG=入OP+(1一A)OQ 规律方法 Ama+(1-入)nb, 1.三点共线的证明 由重心性质定理可得0元=号0=号Oi+O丽) (1)平面上三点A,B,C共线台AB=入BC(向 量共线且有公共点才能得出三点共线) 号a+b,所以2+-3a+31-8=8 m n (2)点P为线段AB的中点，O为平面内任意一 (2)①设M(x,y)是直线DE上任意一点，则DM∥ 点=0-号0i+0. DE,因为，点D,E分别为边BC,CA的中点，所以点 D,E的坐标分别为D(-1,1),E(-3,-1),DM= (.x+1,y-1),DE=(-2,-2), 所以(-2)(x+1)-(-2)(y-1)=0, 即x一y十2=0为直线DE的方程. (3)平面上三点A,B,C共线，O为不同于A, ②设点N(,y)是CH所在直线上任意一点，则CV B,C的任意-点台OC=AOA+uOB且A+ ⊥AB,所以CN·AB=0,又CN=(x+6y-2),AB= u=1. (4,4), 2.三线共点的证明 所以4(x+6)+4(y-2)=0, 设两条直线交于一点，证明这个交点在第三 即x十y十4=0为所求直线CH的方程. 条直线上 规律方法 ⊙[变式训练] 1.向量法证明等式 2.如图，点O是平行四边形AB 向量法证明等式的关键是熟练掌握条件的向 CD的中心，E,F分别在边 量等价表达式，常常借助三角形的性质（例 CDAB上器蒂 如：中线，重心等)及向量基本定理 2.用向量方法解决平面解析几何问题的步骤： 求证：点E,O,F在同一直线上。 一是把解析几何问题中的相关量用向量表 解：设宿=mA方=，需站合P分 1 示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决 问题：三是将结果还原为解析几何问题。 别是CD,AB的三等分，点，所以FO=FA十AO= ⊙[变式训练] 子i+安A心--子m+号m十a)-m+子a, 3.如图，四边形ABCD是正方形，MD 是BC的中点，将正方形折叠，使 O-0心+C=2A+3Ci=(mn)-子m 点A与M重合，设折痕为EF,若 正方形面积为64，求△AEM的 =m+m.所以i-0成，故i/O成，又0为 面积. 解：如图，建立坐标系，设E(e,0), Fd和OE的公共点，所以点E,O,F在同一条直 AM交EF于点N,由正方形 线上 面积为64，可得边长为8，由题 题型 证明等式，求值 意可得M(8,4),N是AM的 [例3](1)PQ过△OAB的重心G,且OP=mOA, 中点，故N(4,2) OQ=nOB 所以AM=(8,4),EV=AV 求证：品十号 AE=(4,2)-(e,0)=(4-e, )0 =3. 2),因为AM⊥EN,所以8(4-e)+4×2=0,解得e (2)已知△ABC的三个顶点A(0,一4)，B(4,0), C(一6,2)，点D,E分别为边BC,CA的中点. =5,即AE=5,所以S2an=2AE·BM=10. ·176· 第二章平面向量及其应用 随堂。步步夯实 对应学生用书P104 1.已知点A(-2,一3)，B(2,1),C(0,1),则下列结论 解析：根据题意，作出图形 正确的是 2 PA+PC=AB-PB, A.A,B,C三点共线 B.AB⊥BC ∴2PA+PC-AP, C.△ABC为等腰三角形 即PC=-3PA, D.△ABC为钝角三角形 可知向量PCPA方向相反，且PC=3PA,即P 解析：D[由题意，点A(-2,一3)，B(2,1),C(0, 是AC的四等分点. 1),可得CB=(2,0),CA=(-2,一4)，则CB·CA 设点B到直线AC的距离为h, =一4<0，所以C是钝角.] 故△PBC的面积与△ABC的面积之比为 2.在四边形ABCD中，若AB+CD=0,AC·BD=0, 则四边形为 ( 专XPGX 3 A.平行四边形 B.矩形 XACXh 4 C.等腰梯形 D.菱形 解析：D[AB+CD=0,AC·BD=0..AB= 答案：是 DC,AC⊥BD,.四边形ABCD是菱形.] 3.过点M(2,3),且垂直于向量u=(2,1)的直线方程 5.如图所示，在正方形ABCD中，E, 为 ) F分别是AB,BC的中点. A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0 求证：AF⊥DE. C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0 证明：如图，建立平面直角坐标系， 解析：A[设P(x,y)是所求直线上任一，点，则MP 设正方形的边长为2，则A(0,0), ⊥u,又MP=(x-2,y-3),所以2(x-2)+(y-3) D(0,2),E(1,0),F(2,1),AF= =0,即2x十y-7=0.] (2,1),DE=(1,-2). 4.在△ABC所在的平面内有一点P,如果2PA+P己 因为AF.DE=(2,1)·(1,-2)=2 =AB-PB,那么△PBC的面积与△ABC的面积 2=0, 之比是 所以AF⊥DE,即AF⊥DE. 课后。素养提升 对应学生课时P66 基础过关 JI CHU GUO GUAN 3.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA+OB+ 1.在四边形ABCD中，若AD十CB=0,AC=BD1,则 CO=0,则△ABC的内角A等于 A.30°B.60°C.90°D.1209 四边形ABCD为 A平行四边形 B.矩形 解析：A[由OA+OB+CO=0,得OA+OB=OC, C.等腰梯形 D.菱形 所以四边形OACB为平行四边形，由O为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形 解析：B[AD=-CB=BC, OACB为菱形，所以∠CAO=60°，所以△ABC的 ∴四边形ABCD是平行四边形， 内角A等于30°，故选A.] 又|AC=|BD,即AC=BD, 4.在四边形ABCD中，AC=(1,2),BD=(一4,2)，则 故□ABCD是矩形，故选D.] 四边形的面积为 () 2.已知正方形ABCD的边长为1，设AB=a,BC=b, A.5B.25C.5D.10 AC=c,则|a-b十c等于 ( ) 解析：C[因为在四边形ABCD中，AC=(1,2). A.0B.√2C.2 D.22 BD=(-4,2),AC.BD=0,所以四边形ABCD的 解析：C[如图，a十b=c, 对角线五相垂直.又AC=√/+2=5，BD1= 故a十b+c=2c, 有a-b+cl=|2a,又a=1, V-4)+2=2厅，该四边形的面积：2AC· 有a-b+c|=2.] 1B筋-2×5x25=5. ·177 数学s)·必修第二册 5.若M为△ABC所在平面内一点，且满足|MB 8.过点(1,2)且与直线3.x一y十1=0垂直的直线的方 MCI=|MB+MC-2MA1,则△ABC为 ( 程是 A.直角三角形B等腰三角形 解析：设P(x,y)是所求直线上任一点， C.等边三角形D.等腰直角三角形 直线3.x-y十1=0的方向向量为(1,3)，由(x-1, 解析：A[由条件可知CB|·(AB+AC1, y-2)·(1,3)=0,得x+3y-7=0. 答案：2+3y-7=0 设BC的中点为D,则AB+AC=2AD, AB AC 故|CB|=2AD1,所以AB⊥AC. 9.非零向量AB与AC满 BC=0,且 △ABC为直角三角形.] 6.(多选)给出下列四个命题，其中正确的有() A`A乞，则△ABC的形状为 ABI AC -1 A.非零向量a,b满足|a=|b=a一b,则a与a +b的夹角是30° 解析：如图，在△ABC中，作 B.若(AB+AC)·(AB-AC)=0,则△ABC为等 ∠BAC的平分线AD,交BC 腰三角形 于点D, C.若单位向量a,b的夹角为120°，则当2a十zb (x∈R)取最小值时x=1 因为4店 为AB方向上的单位 AB D.若OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m, 一3-m),∠ABC为锐角，则实数m的取值范围 向量，AC 为AC方向上的单位向量， AC 是m>一是 所以A店 AC =入AD(A>0), LAC 解析：ABC[A中，令OA IABI =a,OB=b.以OA、OB为邻 AB AC a+b 因为 UABI ACI ·BC=0, 边作平行四边形OACB. |a=b|=a-b|,.四 所以AD⊥BC, 边形OACB为菱形， 因为AD既是高，又是角平分线， ∠AOB=60°，∠AOC=30°，即a与a+b的夹角是 所以AB=AC, 30°，故A正确.B中，：(AB+AC)·(AB-AC)= 因为AB AC 2 0,.|AB1?=|AC2,故△ABC为等腰三角形.故 IABI IACI 2 B正确.C中，，(2a十2b)2=4a2+4.20·b+x2b2= AB AC 所以 4+4xc0s120°+x2=x2-2x+4=(x-1)2+3,故 IABI ACI cos∠BAC= 2a十2b取最小值时x=1.故③正确.D中，，BA 所以cos∠BAC= ，所以∠BAC=吾，所以 =0A-OB=(3,-4)-(6,-3)=(-3,-1),BC △ABC为等边三角形. =OC-OB=(5-m,-3-m)-(6,-3)=(-1 答案：等边三角形 m,-m),又∠ABC为锐角，∴.BA·BC>0,即3十 10.用向量法证明三角形的中位 3m十m>0,m>-是，又当B与BC同向共线时， 线定理. 解：已知：如图，MN是 M m=子，故当∠ABC为锐角时，m的取值范国是m △ABC的中位线，求证：MN >一子且m≠号故D不正确，故选ABC] -3BC,且MN∥BC 4 证明：因为M,N分别是AB,AC的中点， 7.点O是△ABC所在平面内的一点，满足OA·OB =OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的 所以Ai=A,不=Ad 心 所以示-不N-Ni=C-多 解析：OA·OB=OB.O心， ∴OB.(OA-OC)=OB.CA=0,即OB⊥AC,同 (AC-AD)-TBC. 理可得OA⊥BC,OC⊥AB,由垂心定义可知O为 又MN与BC不在同一条直线上， 垂心 答案：垂 因比.MN=2BC,且MN∥BC ·178· 第二章平面向量及其应用 11.如图，平行四边形ABCD中， 13. 如图，在Rt△ABC中， 点M是AB的中点，点N在 ∠BAC=90°，AB=AC,E, BD上，且BN= BD,求证： F分别为边AB,BC上的 点，且AE=EB,2BF=FC. M,N,C三点共线. 求证：CE⊥AF. 证明：设AD=x,AB=y, 示=+号-y+x-)(2x+ 证明：C元=C+A正=一AC+2AB, y), A-+B丽=A店+}BC-A店+吉(A花 MC-MB+BC-y+x-z(2x+y), A)=号A店+子AC .M元=3M,又MC与MV有公共，点M, 由题意得AB,AC-0且AB=|AC1, M,N,C三点共线. 所以C它·A产=（-AC+AB· 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，用向量 号A店+号A=号1A店：-子AC:-A成 法证明CD=AB, ·AC=0,所以CE⊥AF,即CE⊥AF 证明：如图，设CA=a,CB=b,则 素养培优 SU YANG PEI YOU a与b的夹角为90°，故a·b 14.如图，在□ABCD中，点E,F D =0. 分别是AD,DC边的中点， AB-b-a.CD-(a+D). BE,BF分别与AC交于R,T 两点，你能发现AR,RT,TC .còi=2a+b 之间的大小关系吗？用向量方法证明你的结论 -2/a+b 解：因为ABCD是平行四边形，所以设AR=入AC =A(AB+AD)=2入AE+入AB,因为B,R,E三 -2Val12a6F16 点共线，所以2以十入=1，所以入=子，所以A京 =2a+a, 号ad 1AB=b-a=√b-a) =√Tb2-2a·b+a下=√Ta2+1b 同里可证：C7=}A, “C可1-，即CD-AB 所以AR=RT=CT=子AC 第二课时 向量在物理中的应用举例 课程标准 素养解读 通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向 用向量方法解决物理的相关问题，培养学 量研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本 生数学建模，逻辑推理，数学抽象等数学 题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识 素养 课前。预习学案 对应学生用书P105 [情境引入] 向量有丰富的物理背景，向量源于物理中的力、速度、 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向 加速度、位移等“失量”；向量在解决涉及上述物理量 量的加、减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成， 的合成与分解时，实质就是向量的运算. ·179·