2.6.2.2 向量在物理中的应用举例（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第二章平面向量及其应用 五维课堂乡 第二课时向量在物理中的应用举例 课程标准 素养解读 通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利 用向量研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应 用向量方法解决物理的相关问题，培 用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算 养学生数学建模，逻辑推理，数学抽象 的认识 等数学素养 课前。预习学案 [情境引入] [预习自测了 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上 1.已知作用在点A的三个力f1=(3,4),f2= 是向量的加、减法运算，而运动的叠加也用到向 (2,-5),f3=(3,1),且A(1,1),则合力f= 量的合成，向量有丰富的物理背景，向量源于物 f1十f2十f3的终点坐标为 () 理中的力、速度、加速度、位移等“夫量”；向量在 A.(9,1) B.(1,9) 解决涉及上述物理量的合成与分解时，实质就是 C.(9,0) D.(0,9) 向量的运算 2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡 [知识梳理] 进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸的A [知识点一]力与向量 点出发，以5km/h的速度沿AD方向行驶，到 力与前面学过的自由向量有区别. 达对岸C点，且AC与长江南岸垂直，同时江 1.相同点：力和向量都既要考虑大小又要考虑 水的速度为向东3km/h,则船实际航行速度 方向. 的大小为 ) 2.不同点：向量与始点无关，力和作用点有关，大 小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那 么它们是不相等的. [知识点二]向量方法在物理中的应用 1.力、速度、加速度、位移都是向量. 2.力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量 A.2 km/h B.√J34km/h 的加、减运算，运动的叠加也用到向量的合成. C.4 km/h D.8 km/h 3.动量mv是数乘向量 3.若OF1=(2,2),OF2=(-2,3)分别表示F1, 4.功是力F与所产生位移s的数量积 F2,则|F1十F2|为 ● 课堂。互动学案 题型一向量的线性运算在物理中的应用一 规律方法 [例1]帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离 利用向量法解决物理问题的两种思路 (1)几何法，选取适当的基底，将题中涉及 内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力 方向为北偏东30°，速度为20km/h,此时水的流 的向量用基底表示，利用向量运算法 向是正东，流速为20km/h.若不考虑其他因 则、运算律或性质计算. (2)坐标法，通过建立平面直角坐标系，实 素.求帆船的速度与方向 现向量的坐标化，转化为代数运算. [思路点拨]建立坐标系，利用向量坐标运 ◇[变式训练] 算求解 1.一条宽为√3km的河，水流速度为2km/h,在 河两岸有两个码头A,B,已知AB=√3km,船 在水中最大航速为4km/h;问怎样安排航行 速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码 头？用时多少？ ·105· 世五维课堂 数学s)·必修第二册 题型二向量的数量积在物理中的应用 规律方法 [例2]如图，质量m=2.0kg 用向量解决物理问题的一般步骤 的木块，在平行于斜面向上 (1)转化：把物理问题转化为数学问题； 的拉力F=10N的作用下， (2)建模：建立以向量为主体的数学模型； 沿倾斜角0=30°的光滑斜 (3)求解：求出数学模型的相关解； 面向上滑行|s=2.0m的 0 (4)回归：回到物理现象中，用已获取的数 距离. 值去解释一些物理现象. (1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体 ◇[变式训练] 做的功； 2.已知两恒力F1=(3,4)、F2=(6,一5)作用于 (2)在这一过程中，物体所受各力对物体做的 同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7, 功的代数和是多少？ 0),试求： (3)求物体所受合外力对物体所做的功.并指 (1)F1、F2分别对质点所做的功； 出它与物体所受各个力对物体做功的代数和 (2)F1,F2的合力F为质点所做的功. 之间有什么关系， 思路点拨了“做好受力分析，用向量解决物 理问题， 随堂。步步夯实 1.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞 A.Ig 2 B.Ig 5 行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地 C.1 D.2 面上的影子的速度是40m/s,则鹰的飞行速 4.已知三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3= 度为 () (x,y)的合力F1+F2十F3=0,则F3的坐标 A.8号ms 80 B.40 为 3m/s 5.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风 C.m/ D.49m/s 时雨滴下落的速度是4m/s,现在有风，风使 2.如图为某种礼物降落伞的 雨滴以m/、的速度水平向东移动，求雨滴 示意图，其中有8根绳子和 着地时的速度大小。 伞面连接，每根绳子和水平 面的法向量的夹角均为 60°.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力 大小相同.若重力加速度g取9.8m/s2,则降落 伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大 小为 () A.2.25N B.2.45N C.2.5N D.2.75N 3.共点力F1=(1g2,lg2),F2=(1g5,lg2)作用 在物体M上，产生位移s=(21g5,1),则共点 C温馨提污 力对物体做的功W为 () 学习至此，请完成配套训练 ·106世五维课堂 随堂步步夯实 1.D[由题意，点A(-2,-3),B(2,1),C(0,1),可得CB (2,0),CA=(-2,一4)，则CB.CA=-4<0,所以C是 钝角.] 2.D[AB+CD=0,AC·BD=0.AB=DC,AC⊥BD, 四边形ABCD是菱形.] 3.A[设P(x,y)是所求直线上任一点，则MP⊥M,又MP=(x -2,y-3),所以2(x-2)十(y-3)=0,即2x十y-7=0.] 4.解析：根据题意，作出图形. B .2 PA+PC=AB-PB, :.2 PA+PC=AP, 即PC=-3PA, 可知向量PC、PA方向相反，且PC=3 PA,即P是AC的四等分点. 设点B到直线AC的距离为h, 故△PBC的面积与△ABC的面积之比 XPCXh 1XACXh 4 答案： 5.证明：如图，建立平面直角坐标系，设正方 形的边长为2，则A(0,0),D(0,2),E(1, 0),F(2,1),AF=(2,1),DE=(1,-2). 因为AF·DE=(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 所以AF⊥DE,即AF⊥DE. (0 第二课时向量在物理中的应用举例 课前预习学案预习自测 1.A2.C3.5 课堂互动学案 [例1][解]建立如图所示的直 y 角坐标系，风的方向为北偏 东30°， 速度为，=20(km/h),水流的 方向为正东，速度为”，= 20(km/h),设帆船行驶的速度 a 0 为p, 则v=片十2， 由题意，可得向量 片=(20c0s60°，20sin60°) =(10,10√3)，向量y,=(20,0), 则帆船的行驶速度 v=1+2=(10,10V3)+(20,0)=(30,10√5) 所以v=√302+(10√3)2=20V5(km/h). 因为tana= 05=(a为v和，的夹角a为锐角)，所以 30 3 =30°. 所以帆船向北偏东60的方向行驶，速度为20√3km/h 变式训练 1,解：如图所示，设AC为水流速度，AD B D 为航行速度，以AC和AD为邻边作 E □ACED,当AE与AB重合时能最 快到达彼岸.根据题意知AC⊥AE, 在Rt△ADE和□ACED中， DE=ACI=2.AD=4,ZAED =90°， 所以AE1=/AD2-DE2=25,N5÷2V3=0.5(h), sin∠EAD=号，所以∠EAD=30. 所以船实际航行速度大小为4km/h,与水流成120°角时能 最快到达B码头，用时0.5小时 ·2 数学s·必修第二册 [例2][解](1)木块共受三个力的作用，重力G,拉力F和 支持力F,,如题图所示，拉力F与位移5方向相同.所以拉 力对木块所做的功为： W:=F.s=Fs cos a=20(J). 支持力F与位移方向垂直，不做功，即W=F·S=0. 重力G对物体所做的功为： We=G·s=Gs cos(90°十0)=-19.6(J). (2)物体所受各力对物体做功的代数和为： W=Ws十Wx十W。=20十0-19.6=0.4(J). (3)物体所受合外力的大小为： F6=F1-Gsin30°=0.2(N). 所以合外力对物体所做的功为： W=F令·5=0.2×2=0.4(J). 所以物体所受合外力对物体所做的功与物体所受各力对物 体做功的代数和相等】 变式训练 2.解：设物体在力F作用下的位移为s.则所做的功为W=F·S AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15). (1)W1=E·AB=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)十4× (-15)=-99(J),W2=F2·AB=(6,-5)·(-13·,-15)= 6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(J). (2)W=F·AB=(F十F2)·AB=[(3,4)+(6,-5)]·(-13, -15)=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)× (-15)=-117+15=-102(J). 随堂步步夯实 1.C[如图，AC1=y=40,且∠CABA30° =30,则1AB1=w,=805故 3 B 选C.] 2.B[由题意知，8根绳子的合力的大小与礼物的重力的大小 相等，设每根绳子的拉力的大小为T,则8Tc0s60°=1X 9.8,解得T=2.45(N).] 3.D[F十F2=(1,2lg2)..w=(F十f2)·s=(1,2lg2)· (2lg5,1)=2lg5+2lg2=2.] 4.解析：由F1十F2十F3=0,则F3=一(F1十F2), 因为F1=(3,4),F2=(2,-5),所以F1十F2=(5,-1),即 F3=(-5,1). 答案：(-5,1) 5.解：如图.用OA表示无风时雨滴下落的速 度，OB表示风使雨滴水平向东的速度，以 OA,OB为邻边作矩形OACB,OC就是雨 滴下落的实际速度.在Rt△ABC中，OA =4,AC1=43 3 所以O元OA2+AC2 4w3 3 即雨滴着地时的速度大小为8 3m/s. 章末归纳提升归纳提升 [例1][解析]C[因为CD=4DB=rAB+sAC, 所以CD=4CB=4(AB-AC)=rAB+sAC, 所以r==，所以3r中=号-号 变式训练 1.B[因为AC=AAM+HBD =A(AB+BMD十(BA十AD) =A(AB+子AD)+(-A店+AD) =(a-AB+(含+r)AD,