第七章 随机变量及其分布题型汇总题型汇总【10大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布题型汇总 题型预览 题型一 计算条件概率 题型二 条件概率乘法公式的应用 题型三 利用全概率与贝叶斯公式求概率 题型四 求离散型随机变量的方差与标准差 题型五 均值与方差的性质以及求参 题型六 利用二项分布求分布列 题型七 利用超几何分布求分布列 题型八 正态曲线的性质以及对称性求参数 题型九 正态分布的实际应用 题型十 二项分布的概率最大问题 知识清单 条件概率的理解 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．P(B|A)读作事件A发生的条件下事件B发生的概率． 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示事件A，B同时发生． 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． 概率的乘法公式 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． 【注意】(1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生 (2)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件 应用乘法公式求概率的关注点 (1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解． (2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)·P(B|A)P(A). 互斥事件的条件概率 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设P(A)>0，则 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(Ω|A)＝1； (3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (4)设和B互为对立事件，则P＝1－P(B|A)． 【注意】若A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ 称此公式为全概率公式． 【注意】(1)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用了化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和 (2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An) 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝ (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能的情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有 随机变量的概念及分类 (1)随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)随机变量的特点 ①取值依赖于样本点． ②所有可能取值是明确的． (3)随机变量的表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. (4)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量． (5)离散型随机变量的特征 ①可用数值表示． ②试验之前可以判断其出现的所有值． ③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出． 离散型随机变量的分布列 1．概率分布列 (1)概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示：离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (3)性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1． 2．两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝ 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0—1分布． 【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X )＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y )＝E(aX＋b)＝aE(X )＋b． 2．两点分布的均值 若随机变量X服从两点分布，则E(X )＝p. 【注意】分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平 离散型随机变量均值的性质 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可． 离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X )的偏差的平方(x1－E(X ))2，(x2－E(X ))2，…，(xn－E(X ))2. 因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X )的偏离程度，我们称D(X )＝(x1－E(X ))2p1＋(x2－E(X ))2p2＋…＋(xn－E(X ))2pn＝ 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X )，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X )． 【注意】(1)方差也可以用公式D(X )＝计算 (2)随机变量的方差是非负常数 离散型随机变量方差的线性运算性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X )． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 3．E(k)=k，D(k)=0，其中k为常数. 4．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 5．D(X)=E(X2)-(E(X))2. 6．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). n重伯努利试验 1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 【注意】(1)每次试验结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生 (2)每次试验在相同的条件下进行且各次试验中的事件互不影响 二项分布 1．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 2．二项分布的均值与方差 若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X )＝np，D(X )＝np(1－p)． 【注意】(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1 (2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布 二项分布问题的两个关注点 (1)判断：关键有两点，一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． (2)参数意义：X～B(n，p)中，n为试验次数，p为成功概率． (3)公式用途：公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)是求n重伯努利试验发生k次的概率． 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 【注意】(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件” (2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型 判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法 (1)总体是否可分为两类明确的对象． (2)是否为不放回抽样． (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 超几何分布的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E＝p，即E(X )＝np. 正态曲线及其特征 1．我们称f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，则E(X )＝μ，D(X )＝σ2. 4．正态曲线的特点： (1)非负性：∀x∈R，f (x)>0，它的图象在x轴的上方． (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为1． (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (6)当参数σ取固定值时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (7)当参数μ取固定值时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 【注意】正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形的面积为1 利用正态分布的性质求概率 (1)三个特殊区间内取值的概率 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 对于正态分布X～N(μ，σ2)而言，随机变量X在区间[μ－3σ，μ＋3σ]以外取值的概率大约只有0.002 7，几乎不可能发生．它在产品检查、质量检验中起着重要的作用． 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法 (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值． (2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化． (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这三个性质求出最后结果． 题型突破 题型一 计算条件概率 1．已知事件满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据条件概率的公式得， . 2．盒中有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球．记事件A为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件B为“第二次取出小球的数字为5”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知条件，，，所以. 3．甲、乙两名游客慕名来到重庆旅游，准备分别从解放碑、洪崖洞、李子坝、磁器口、长江索道这5个景点中随机选一个.事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好有一人选择洪崖洞.则条件概率________. 【答案】/ 【详解】事件：甲和乙选择的景点不同，从个景点中任选个排列给甲乙二人种． 事件:甲和乙选择的景点不同，甲选洪崖洞，乙可任选另外个景点，同理乙选洪崖洞，甲可任选另外个景点，共种． 所以． 4．一个袋子里放有除颜色外完全相同的个白球、个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为______；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为______． 【答案】 / / 【分析】第一空分先白后红和先红后白两种情况，由概率公式计算；第二空利用条件概率公式即可求解． 【详解】第一空： 令事件表示用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球， 所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个红球的概率为， 所以， 第二空： 令事件表示不放回的抽样方式第次摸到红球，， ，， 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 ． 题型二 条件概率乘法公式的应用 5．已知事件、满足．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用概率的乘法公式可求得的值，分析可知事件、相互独立，故事件、相互独立，求出的值，即可得出的值. 【详解】由概率的乘法公式可得， 因为，即，故， 所以事件、相互独立，故事件、相互独立， 故， 因此. 6．对于事件，，，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用概率乘法公式与随机事件的概率加法公式求出，再由对立事件的概率公式计算即得. 【详解】因为， 又由可得，即， 故. 7．（多选）已知随机事件，均包含于必然事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据条件概率公式，变形求解，可判断A、D的正误；根据概率加法公式，可判断B的正误，根据概率的范围，结合二次函数的性质，可判断C的正误； 【详解】选项A：由条件概率公式得，故A错误； 选项B：由概率加法公式得， 因为，所以， 则，故B正确； 选项C：， 所以，则， 令，， 则， 因为，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当或时，才有， 但，， 无法确定是否为0及是否等于，故D错误. 8．（多选）在一个有限样本空间中，，且与相互独立，与互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 【答案】ACD 【详解】有限样本空间中，，且与相互独立， 所以，所以A正确； ，所以B错误； 因为与互斥，所以，， 所以，所以C正确； 若，则， 所以，所以，所以与互斥，所以D正确. 题型三 利用全概率与贝叶斯公式求概率 9．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术.在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率.假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件是“AI模型筛选出候选分子”，事件是“AI模型筛选出候选分子”.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由对立事件求出，再结合条件概率公式求出，最后利用全概率公式和条件概率公式即可求出结果. 【详解】因为，所以， 又，所以， 由全概率公式得， 故. 10．现有甲､乙､丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产400件，乙车间每日生产600件，丙车间每日生产200件，产品的合格率分别为.现随机抽取1件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自乙车间的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记事件分别表示产品来自甲、乙、丙车间， 则，，； 记事件为抽到不合格品， 则，，； . 11．甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 【答案】/ 【分析】先根据掷骰子规则确定选盒的概率，再用各盒中白球占比得到摸白球的条件概率，接着通过全概率公式算出摸到白球的总概率，最后利用贝叶斯公式，求出已知摸到白球时，该球来自乙盒的概率． 【详解】设{摸出的球来自甲盒}，{摸出的球来自乙盒}， {摸出的球来自丙盒}，{摸出白球}， 则，，， ，，， 所以 ， 所以． 12．某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. (1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； (2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全概率公式，把三种款的概率与对应好评概率相乘再相加，即可得到结果； （2）先算出未给出好评的概率，再结合抽到普通款且未给出好评的概率，利用贝叶斯公式即可求得. 【详解】（1）设事件表示“抽到隐藏款”，表示“抽到稀有款”，表示“抽到普通款”， 事件表示“消费者给出好评”，事件表示“消费者未给出好评”. 根据题意，，两两互斥，且. 由题意得，，，，，. 由全概率公式，得， 所以消费者给出好评的概率为. （2）由（1）知，因此. 根据题意，得. 因为，，两两互斥，且， 由贝叶斯公式，得， 所以，若消费者未给出好评，其抽到普通款的概率为. 题型四 求离散型随机变量的方差与标准差 13．为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量的期望计算公式列出方程，再由方差公式即可求解． 【详解】由题可设，则，， 所以，解得． 所以． 14．若随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差（    ） A．1 B．1.4 C．2 D．2.4 【答案】A 【详解】因为， 所以． 15．已知甲盒中放有1个红球、3个白球(除颜色外，其他完全相同)，乙盒中放有2个红球、2个白球(除颜色外，其他完全相同)，每次等可能地从甲、乙两个盒子中选择一个盒子，有放回地摸1个球，若连续摸到2个红球，则停止摸球．记停止摸球时摸球的总次数为X，则E(X)=________． 【答案】 【详解】若第一次没有摸到红球，则停止摸球时摸球的总次数为 ，此时的概率为； 若第一次摸到红球，第二次没有摸到红球，则停止摸球时摸球的总次数为 ，此时的概率为； 若第一次摸到红球，第二次也摸到红球，则停止摸球，摸球的总次数为2，此时的概率为 所以 解得. 16．袋中有9个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和4个黄球．每次不放回从袋中随机摸出一个球，共摸4次，记这4次摸球中，摸到黄球的个数为X，则随机变量X的数学期望为________． 【答案】/ 【分析】X的取值为，求出分布列，再利用期望公式求解. 【详解】X的取值为， 则，， ，， ， 所以． 17．李先生计划在五一后错峰旅游，从自然景观类中的泸沽湖、玉龙雪山、大理洱海、石林风景区4个景区和人文与民族风情类中的大理古城、丽江古城2个景区中，随机选取3个景区游玩． (1)求李先生选取的3个景区既有自然景观类，又有人文与民族风情类的概率； (2)设X表示选取人文与民族风情类景区的个数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【分析】（1）应用古典概型结合超几何分布概率计算求解； （2）应用超几何分布结合组合数计算概率及分布列，最后计算数学期望即可. 【详解】（1）李先生选取的3个景区既有自然景观类，又有人文与民族风情类的概率为． （2）X的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 则． 18．在某次运动会期间，有学生10人为运动员服务.由于5000米跑，跳远，铅球比赛是同时进行的，所以他们10人分成了三组分别服务这3个赛项.4人服务于5000米赛跑，3人服务于跳远比赛，3人服务于铅球比赛.赛后从这10人中随机选出3人作为代表参加座谈会. (1)设为事件“选出的3人服务的赛项互不相同”，求事件发生的概率； (2)设为选出的3人中服务的赛项是5000米跑的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型公式结合组合数的计算求解； （2）利用超几何分布求解即可. 【详解】（1）由已知，有， 所以事件发生的概率为. （2）因为有4人服务于5000米赛跑，所以随机变量的所有可能取值为0，1，2，3. 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望. 题型五 均值与方差的性质以及求参 19．已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据概率之和为1求出，再根据期望公式求解即可. 【详解】由题意知，，解得， 所以， 故. 20．（多选）已知随机变量的分布列为 0 1 2 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 21．（多选）设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值. 【详解】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B正确； 对于C、D项，因为，，， 所以，，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 22．（多选）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用分布列性质解方程可得，即A正确；解不等式可判断B错误，求得并利用期望值的性质计算可得C正确，利用方差公式代入计算可得D错误. 【详解】对于A，易知，解得，即A正确； 对于B，由可得， 因此，即B错误； 对于C，易知， 所以，因此C正确； 对于D，易知，即D错误. 故选：AC 23．袋中有编号为的四个大小､质地均相同的小球，从中依次不放回地随机取出两个球，设第一次取出的球的编号为，第二次取出的球的编号为，设随机变量. (1)求的分布列及数学期望； (2)定义随机变量，求的期望及方差. 【答案】(1)分布列见解析，； (2)；. 【分析】（1）由题意可得，根据古典概型的求法，求出对应的概率，列出分布列，由期望公式求解即可； （2）由求解即可；先求出的值，再根据方差的性质求即可. 【详解】（1）由题意可得， 所以， 又因为的情况为共12种， 当时，有，，，，，共6种， 所以； 当时，有，，，共4种， 所以； 当时，有，共2种， 所以； 所以的分布列如下： 所以. （2）因为，， 所以； ， 所以. 题型六 利用二项分布求分布列 24．设随机变量，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布求出即可得解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 25．已知离散型随机变量服从二项分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布的概率公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：A 26．某非遗传承工作室针对传统手工艺进行数字化复原测试，经技术测算：使用AI智能修复技术（甲方案）修复一张破损纹样的成功率为，使用人工精细修复技术（乙方案）修复一张破损纹样的成功率为．现组建3个测试样片组，每组包含4张待修复纹样，其中2张用甲方案修复，2张用乙方案修复．若某个样片组中，甲方案修复成功的张数超过乙方案修复成功的张数，则称该组为“智能组”． (1)求一个测试样片组为“智能组”的概率； (2)现观察3个这样的测试样片组，用X表示这3个组中“智能组”的个数，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 【分析】（1）使用二项分布概率公式，独立事件概率公式求解； （2）使用二项分布概率公式，期望公式求解. 【详解】（1）设甲、乙方案修复成功的张数分别为，，则，， 则，， ，， ，， “智能组”成功分为三种情况： 当，时，， 当，时，， 当，时，， 所以一个测试样片组为“智能组”的概率为. （2）由题意可知，，可能的取值为：0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 27．某公司对其开发的AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为，现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为. (1)若从该指定题库中随机选取1道题让AI软件回答，求AI软件回答正确的概率； (2)若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设表示AI软件回答正确的题数，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 【分析】（1）用全概率公式求出“一次回答问题，AI软件答对问题”的概率. （2）求出X的可能值及对应的概率，并列出分布列与期望 【详解】（1）设“一次回答问题，AI软件答对问题”，“选出语文问题让AI回答”， 依题意，，，，， 所以； （2）由（1）知，随机选取1道题让AI软件回答正确的概率为， 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，， ， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望. 题型七 利用超几何分布求分布列 28．某校高三年级共有12个班级，其中有4个班级被评为先进班集体，现从这12个班级中随机选出5个班级，设选出的5个班级中有X个班级被评为先进班集体，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据超几何分布求解即可. 【详解】由题可得服从超几何分布，且，，，所以． 29．某奶茶店推出一款新奶茶——抹茶奶绿．已知从该店在售的奶茶中随机购买1杯，买到抹茶奶绿的概率是． (1)若顾客甲从该店在售的奶茶中随机购买3杯奶茶，求顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率； (2)若顾客乙从该奶茶店已经做好的10杯奶茶（其中抹茶奶绿有3杯）中随机购买4杯，记顾客乙购买的奶茶中抹茶奶绿的数量为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）用二项分布的概率公式计算即可； （2）用超几何分布公式算出各个取值的概率，列出分布列，进而可求期望. 【详解】（1）由题意可得顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率． （2）由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 故． 30．某学院为了调查本校学生年月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了名本校学生，统计他们在该月天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求出这名学生中健康上网天数超过天的人数，以及估计上网天数的样本数据的平均数和中位数； (2)现从这名学生中任取名，设为取出的名学生中健康上网天数超过天的人数，求的分布列及均值. 【答案】(1)（人），平均数，中位数为 (2) 均值 【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算样本的平均数及中位数可得； （2）根据随机变量服从超几何分布，从而可得分布列及期望. 【详解】（1）由图可知，健康上网天数未超过天的频率为. 所以健康上网的天数超过天的人数是（人）. 频率分布直方图中的平均数 设频率分布直方图中的中位数为，因为前三组的频率和为，前四组的频率和为， 所以中位数在第四组中，得：， 整理得： （2）因为名学生中健康上网天数超过天的人数有人， 随机变量的所有可能的取值为，且服从超几何分布，所以有： ，，， 所以Y的分布列为 所以的均值. 题型八 正态曲线的性质以及对称性求参数 31．已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以. 32．已知服从正态分布，记函数，，则正确的是（注：若，则，（    ） A． B． C． D．的图象关于对称 【答案】D 【分析】利用正态分布的性质结合函数对称性的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以均值，标准差， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，因为， 则，， 因为，而区间与不关于直线对称， 所以，故C错误； 对于D，因为，所以，， 所以，又， 所以，即， 所以，即的图象关于对称，故D正确. 33．已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C正确； 由图可知，，所以D错误． 34．（多选）下列命题正确的有（   ） A．若服从标准正态分布，则 B．若，则越小，正态密度曲线越“瘦高” C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的曲线以及性质求解即可. 【详解】选项A.标准正态分布为，因此方差，A正确. 选项B.正态分布中，数据越集中在均值附近，正态密度曲线越“瘦高”，因此B正确. 选项C.，对称轴为.由得， 根据对称性，因此，C错误. 选项D.，对称轴为. 若，根据正态分布对称性，则，解得，D正确. 题型九 正态分布的实际应用 35．信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为，经典信道完成信息匹配的概率为，且两个信道工作相互独立．只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败． (1)求该系统单次有效密钥分发成功的概率； (2)若该系统独立进行次密钥分发，记为有效分发成功的次数，求的数学期望； (3)科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率（单位：）服从正态分布．若准确率不低于为“最优传输”，估算次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2) (3)次密钥分发中，“最优传输”的次数约为 【分析】（1）根据两个信道工作相互独立，利用独立事件同时发生的概率乘法公式，将量子信道成功概率与经典信道匹配概率相乘，即可得到单次有效密钥分发成功的概率； （2）单次有效密钥分发成功的概率固定，次独立重复试验中成功次数服从二项分布，直接套用二项分布数学期望公式计算即可； （3）先由正态分布参数算出均值与标准差，将 “准确率不低于” 转化为正态分布中的概率，利用正态分布的对称性和，求出对应概率后乘以总次数，估算出“最优传输”的次数． 【详解】（1）设 “量子信道成功密钥生成”为事件，“经典信道完成信息匹配” 为事件， 由题意得，，且与相互独立， 所以该系统单次有效密钥分发成功的概率； （2）由题意得，，所以； （3）由题意得，，则，， 因为“最优传输”要求，即， 所以， ， 所以次密钥分发中，“最优传输”的次数约为． 36．为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 【答案】(1)小明有资格参加决赛. (2)175 【分析】（1）根据正态分布的对称性结合已知条件求出，再结合人数计算； （2）应用二项分布的数学期望公式结合数学期望性质计算求解. 【详解】（1）由题意得， 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 因为，所以小明有资格参加决赛. （2）设决赛中学生甲答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 37．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩 (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 【答案】(1)64 (2)1587 (3)分布列见解析， 【分析】（1）利用频率分布直方图求出样本平均数. （2）由（1）可得，利用正态分布的对称性求出，进而求出学生人数. （3）由（1）求出，再利用二项分布求出分布列及期望. 【详解】（1）由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为， 样本平均数. （2）由（1）知，，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，而， 因此， 所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为. （3）由（2）知，，， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为， 因此随机变量服从二项分布，的可能值为0，1，2，3， 则，，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望. 题型十 二项分布的概率最大问题 38．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【分析】根据条件概率求出单个学生了解deepseek的概率，进而确定服从二项分布，利用二项分布的性质，通过比较与1的大小关系来确定最值. 【详解】已知抽取男生、女生各50名，总样本100名，因此. 根据条件概率公式，代入得： ， 由，得：， 即随机抽取一名学生了解deepseek的概率. 由题意，（二项分布），则， 代入得：， 令，解得. 即当时，； 当时，， 因此最大时. 39．“十四五”期间，我国的机器人产业大爆发，实现了从“低端制造”到“高端突破”的历史性转变. 某学校的兴趣小组在校内随机调查了100名学生，统计其关注的机器人类型，得到如下的统计表： 类型 医疗机器人 特种机器人 表演机器人 服务机器人 工业机器人 人数 10 40 30 10 10 (1)先按比例用分层随机抽样的方法从上面100名学生中随机抽取10人. （i）分别求抽取的10人中关注“特种机器人”和关注“表演机器人”的人数； （ii）再从这10人中随机抽取3人，记抽到关注“特种机器人”的人数为，关注“表演机器人”的人数为，设，求的分布列. (2)该兴趣小组调查某款表演机器人，得知输入动作指令后其能准确完成指令的概率为，若输入次动作指令，其能准确完成指令的次数为，记事件的概率为，假设每次输入指令相互独立，且，则当为何值时，的值最大？ 【答案】(1)（i）4，3； （ii）的分布列为 0 1 2 3 (2)或时，取得最大值. 【分析】（1）（i）按分层抽样比例计算，从100人中抽取10人，得出关注特种机器人4人、表演机器人3人；（ii）确定的所有可能取值，用组合数计算各取值概率，列出分布列； （2）利用二项分布概率公式，通过相邻两项比值法判断单调性，求得最大时的值. 【详解】（1）（i）由题可知，抽取的10人中，关注“特种机器人”的有人， 关注“表演机器人”的有人. （ii）的所有可能取值为， ， ， ， . 则的分布列为 0 1 2 3 （2）由题可知，，故. 令，则， 令，可得，令， 可得，令，可得， 所以或时，取得最大值. 40．某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有． (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和期望； (2)将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 【答案】(1) 0 1 2 (2)或40或41 【分析】（1）由题意易得的所有可能取值为，算出对应的概率可得分布列，进一步得数学期望； （2）先得到从全校的学生中随机抽取1名学生，他喜欢春节联欢晚会的概率为，再由二项分布概率最大可列不等式求解. 【详解】（1）由，所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为7人和3人， 故的取值为， 则， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. （2）（i）由已知 ，女生有 100 人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为 70 人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为 90 人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， 令 ， 解得， 因为，所以或40或41. 41．某公司开展“每月幸运抽好礼”活动，规则如下：在抽奖箱中放入标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外无任何差异，每位参与者从抽奖箱中随机抽取1个球，抽到3号球即可获得礼品，每次抽取后将球放回抽奖箱中，每位员工每月仅参与一次． (1)设该公司A部门有4位员工参加该活动，用X表示获得礼品的人数，求X的分布列和数学期望； (2)该公司B部门有20位员工参加该活动，用Y表示获得礼品的人数，令，，若为数列的最大项，求k的值． 【答案】(1) 0 1 2 3 4 ​ ​ ​ ​ ​ (2)6 【分析】（1）由题意确定，即可求解； （2）由题意确定，得到，再通过作商法判断最大值即可． 【详解】（1）由题意，每次抽奖抽到奖品的概率为， 由4位员工抽奖是独立重复试验，因此， 即， 则，​ ，​ ，​ ， ， 因此的分布列为： 0 1 2 3 4 ​ ​ ​ ​ ​ 由二项分布期望公式，数学期望． （2）由题意，， 则， 作商得：，， 当，即时，，即； 当，即时，，即，数列递减， 因此为最大项，即． 强化训练 1．若，则（    ） A．2 B．6 C．8 D．18 【答案】D 【分析】根据方差的性质求解. 【详解】. 2．已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】D 【详解】二项式的展开式中所有项的系数和为32， 令，得，所以. 若，且，则. 所以，所以. 3．甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件表示“从甲盒中取出的是红球”，事件表示“从甲盒中取出的是白球”，事件表示“从乙盒中取出的两球都是白球”. 由全概率公式得，由题意可知，， 当发生时，乙盒中有3个红球，3个白球， 则从乙盒取两球均为白球的概率为， 当发生时，乙盒中有2个红球，4个白球，则从乙盒取两球均为白球的概率为， 代入全概率公式计算可得. 故取出的两球都是白球的概率为. 4．若事件满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件的概率公式，可得，根据概率的加法公式，可得，结合全概率公式及条件概率公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由，得， 又， 所以， 由，得， 所以. 5．已知随机变量，且，则（   ） A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25 【答案】B 【分析】应用正态分布的对称性及已知条件计算求解. 【详解】． 6．若随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布的性质求出，再根据方差的性质即可得结果. 【详解】因为，所以，则， ， . 7．把1、2、3、4四个数字随机排成一行，从左到右依次读取，从第二个数开始，每当读到的数字比前面所有数字都大时，称该数为一个“新高”.记排列中“新高”的个数为随机变量，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】X的取值为0，1，2，3. ，，，， . 8．（多选）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由题意得：，，正确； 对于B，，，错误; 对于C，，正确； 对于D，，错误. 9．（多选）下列命题正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，，，则 【答案】BCD 【分析】利用条件概率定义、全概率公式与事件独立性性质，通过举反例判断A错误；利用全概率公式中与均不大于的放缩证明B正确；由条件概率与事件独立的定义，从推出独立，进而得，判断C正确；通过对立事件概率求出，，再代入全概率公式求解验证D正确． 【详解】对于A，， 若互斥，则，此时， 当，，A错误； 对于B，， 因为，， 所以，B正确； 对于C，若，则相互独立，所以， 所以，C正确； 对于D，因为，， 所以，， 由全概率公式， 得，解得，D正确； 10．（多选）若随机变量服从正态分布，则，现已知两个随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正态分布曲线的性质求解即可. 【详解】由于，正态分布的均值，正态曲线关于直线对称，因此，故A正确； 由于，，，因此，故B错误； 由于，，，因此，故C错误，D正确. 11．（多选）某学校有两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则王同学（    ） A．第天去餐厅的概率为 B．第天去餐厅的概率为 C．第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为 D．第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为 【答案】AD 【分析】根据全概率公式求解判断A；再结合对立事件的概率公式求解判断B；根据条件概率公式求解判断CD. 【详解】设 “第1天去餐厅用餐”，“第1天去餐厅用餐”，“第2天去餐厅用餐”，“第2天去餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得， 即王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.7，故A正确； 而王同学第2天去餐厅用餐的概率为，故B错误； 对于C，， 即王同学第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为，故C错误； 对于D，由，则， ，故D正确. 12．（多选）已知三个密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C．若，，则 D．若，，则，使得 【答案】ACD 【分析】利用正态分布曲线的性质判断ABD，再根据已知求解概率即可判断C． 【详解】根据正态曲线关于直线对称，且越大曲线越靠右，则，故A正确； 又越小，数据越集中，正态曲线越瘦高，则，故B错误； ， 则， 所以，故C正确； 因为，取，则，故D正确. 13．（多选）已知随机变量，且，的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A：由题意知，解得，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以，故D错误. 14．某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 【答案】 / / 【分析】借助相互独立事件的概率公式以及全概率公式计算即可得. 【详解】；. 15．将颜色分别红、黄、蓝的三个小球放入甲、乙、丙三个盒子中，每个小球放入各个盒子的概率均为，且互不影响，则三个小球分别放入不同盒子的概率为_____；在至少有两个小球放入甲盒的前提下，红球放入甲盒的概率为_____． 【答案】 【分析】先确定三个小球放盒子的总基本事件数，再确定三个小球放入不同盒子的基本事件数，最后用古典概型概率公式计算概率；设事件为“至少有两个小球放入甲盒”，事件为“红球放入甲盒”，计算和，再根据条件概率公式计算概率. 【详解】每个小球有3种放法，总放法共种， 三个小球放入不同盒子，相当于对三个盒子全排列，共种符合条件的放法， 因此所求概率为； 设事件：至少两个小球放入甲盒；事件：红球放入甲盒， 至少两个小球放入甲盒，分恰好2个、恰好3个放入甲盒两种情况：； 红球放入甲盒，且至少两个小球放入甲盒，说明剩余黄、蓝两球至少一个放入甲盒：； 因此条件概率. 16．一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数，现随机将骰子抛掷3次，且各次抛掷结果相互独立，则三次抛掷出现向上的点数之积能被4整除的概率为______． 【答案】 【分析】应用互斥事件概率和公式及独立重复事件概率公式计算求解. 【详解】记事件表示三次抛掷出的点数之积能被4整除， 则事件有两种情况：第一种是至少有一次掷出点数为4；第二种是没有掷出点数4，但点数2或6两者一共至少被掷出两次； 则. 17．现有一个基于数字变换的游戏.初始时黑板上写有数字2，每轮游戏会对该数字进行一次独立变换，每一次变换有的概率将其擦去并写上原先数字加1的数，否则将其擦去并写上原先数字2倍的数，设轮变换后黑板上的数字为，已知在的前提下，第1轮变换前后数字之差为1的概率为，则__________. 【答案】 【分析】设该事件为，设“3轮变换后”为事件，利用列举法，求得事件的路径及其概率，得到，结合条件概率的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为初始数字为2，可得“第1轮变换前后数字之差为1”等价于“第1轮执行加1变换”， 设该事件为，设“3轮变换后”为事件， 列举所有3轮变换的路径，满足事件的路径及其概率分别为： 加1､加1､乘2概率为，加1､乘2､乘2概率为， 乘2､加1､乘2概率为，乘2､乘2､加1概率为， 乘2､乘2､乘2概率为，求和得， 事件包含前两条路径，其概率， 因为，由条件概率公式可得， 整理得，解得或，结合可得. 18．2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为； 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为． (1)估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）； (2)该企业将AI智能质量检测投入使用． ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列； (3)企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望． 【答案】(1)71.5分 (2)① ② (3)67.5元 【分析】（1）先确定每组中点值，再结合频率分布直方图的频率/组距计算每组频率，最后代入公式计算平均数； （2）①先根据频率分布直方图计算实际合格和实际不合格的概率，再利用互斥事件概率加法公式和条件概率公式计算总概率； ②因为X服从二项分布，所以先确定二项分布的参数和，再根据二项分布的概率公式计算X取不同值时的概率，进而得到分布列. （3）先分析每种情况的收益和对应的概率，再根据离散型随机变量期望公式计算收益的期望，其中需要结合前面求出的实际合格、不合格的概率，以及AI判定的相关概率来确定各情况的概率. 【详解】（1）平均数分  . （2）设事件：元件实际合格，事件：元件被AI判定为不合格， 由题意得： ，，，， ① 由全概率公式：. ②由题意，，计算概率得： ，， ， ， 分布列为： （3）设每件元件收益为，分四种情况计算期望： 实际合格，AI判合格：，概率； 实际合格，AI判不合格：，概率； 实际不合格，AI判合格：，概率； 实际不合格，AI判不合格：，概率. 期望元 . 19．某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动．本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀．为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示． (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率，故优秀的人数为人； （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为． 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为． 则的分布列为： 0 1 2 所以． 20．为促进销售，某生产商联合商超对定价为100元的产品推出“摸奖+闯关”优惠活动，规则如下：进商超的消费者首先获得一次摸奖机会，可获得一张10元或20元的“基础优惠券”（摸到10元“基础优惠券”的概率为0.6，摸到20元“基础优惠券”的概率为0.4）；然后进行答题闯关游戏，闯关成功可再获得一张能叠加使用的20元“进阶优惠券”.记消费者答题闯关成功的概率为.已知摸奖与闯关优惠活动的结果相互独立. (1)记消费者购买一件该产品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和； (2)已知本次活动中优惠券的成本将由生产商承担“基础优惠券”面额的30%，“进阶优惠券”面额的50%.记生产商销售一件该产品的期望利润为（单位：元），消费者购买该产品的概率为.已知，商品成本为41元.试求的最大值及取得最大值时的值.（结果保留1位小数） 注：期望利润=消费者购买概率×（支付金额的期望－商品成本－优惠券成本的期望） 【答案】(1)分布列如下： 60 70 80 90 数学期望 (2)的最大值为11.7，取得最大值时的值为. 【分析】（1）分为四种情况，对四种情况依次分析即可； （2）优惠券成本=基础优惠券+进阶优惠券，再利用公式求导计算最大值即可. 【详解】（1）由题可知，可能取值为：60、70、80、90. ， ， ， ， 所以消费者购买一件该产品的实际支付金额的分布列为： 60 70 80 90 数学期望为： . （2）设优惠券实际成本为，则 且支付金额的期望 ， 所以， 即： 求导得： ， 令，解得： ， 所以函数在 上单调递增，在 上单调递减， 所以当时，取得最大值，此时 ， 即：的最大值约为11.7，取得最大值时的值约为. 21．质监部门从某超市销售的甲､乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲､乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较与的大小（只要求写出结果）； (2)在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布.其中近似为样本平均数近似为样本方差，现从乙种食用油中随机抽取10桶，设X表示质量指标值位于的桶数，求X的数学期望.（结果保留两位小数） 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若，则. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的面积和等于列出关于的方程，进而求出的值，再根据频率分布直方图中甲、乙食用油样本质量指标的波动程度，进而比较方差大小. （2）分别求出在甲、乙两种食用油中抽取1桶，其质量指标位于的概率，然后求出恰有1桶食用油指标位于的概率. （3）先根据频率分布直方图求出，然后求出从乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标位于的概率，最后根据二项分布的期望公式计算的数学期望. 【详解】（1）由题意，解得. 由频率分布直方图可得. （2）记事件在甲种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在乙种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有1桶其质量指标大于且小于. 则，. . （3）由题意. ，又. ， 现从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标位于的概率为. ， 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 随机变量及其分布题型汇总 题型预览 题型一 计算条件概率 题型二 条件概率乘法公式的应用 题型三 利用全概率与贝叶斯公式求概率 题型四 求离散型随机变量的方差与标准差 题型五 均值与方差的性质以及求参 题型六 利用二项分布求分布列 题型七 利用超几何分布求分布列 题型八 正态曲线的性质以及对称性求参数 题型九 正态分布的实际应用 题型十 二项分布的概率最大问题 知识清单 条件概率的理解 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．P(B|A)读作事件A发生的条件下事件B发生的概率． 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示事件A，B同时发生． 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． 概率的乘法公式 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． 【注意】(1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生 (2)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件 应用乘法公式求概率的关注点 (1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解． (2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)·P(B|A)P(A). 互斥事件的条件概率 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设P(A)>0，则 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(Ω|A)＝1； (3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (4)设和B互为对立事件，则P＝1－P(B|A)． 【注意】若A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ 称此公式为全概率公式． 【注意】(1)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用了化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和 (2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An) 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝ (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能的情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有 随机变量的概念及分类 (1)随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)随机变量的特点 ①取值依赖于样本点． ②所有可能取值是明确的． (3)随机变量的表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. (4)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量． (5)离散型随机变量的特征 ①可用数值表示． ②试验之前可以判断其出现的所有值． ③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出． 离散型随机变量的分布列 1．概率分布列 (1)概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示：离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (3)性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1． 2．两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝ 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0—1分布． 【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X )＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y )＝E(aX＋b)＝aE(X )＋b． 2．两点分布的均值 若随机变量X服从两点分布，则E(X )＝p. 【注意】分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平 离散型随机变量均值的性质 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可． 离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X )的偏差的平方(x1－E(X ))2，(x2－E(X ))2，…，(xn－E(X ))2. 因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X )的偏离程度，我们称D(X )＝(x1－E(X ))2p1＋(x2－E(X ))2p2＋…＋(xn－E(X ))2pn＝ 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X )，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X )． 【注意】(1)方差也可以用公式D(X )＝计算 (2)随机变量的方差是非负常数 离散型随机变量方差的线性运算性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X )． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 3．E(k)=k，D(k)=0，其中k为常数. 4．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 5．D(X)=E(X2)-(E(X))2. 6．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). n重伯努利试验 1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 【注意】(1)每次试验结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生 (2)每次试验在相同的条件下进行且各次试验中的事件互不影响 二项分布 1．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 2．二项分布的均值与方差 若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X )＝np，D(X )＝np(1－p)． 【注意】(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1 (2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布 二项分布问题的两个关注点 (1)判断：关键有两点，一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． (2)参数意义：X～B(n，p)中，n为试验次数，p为成功概率． (3)公式用途：公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)是求n重伯努利试验发生k次的概率． 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 【注意】(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件” (2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型 判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法 (1)总体是否可分为两类明确的对象． (2)是否为不放回抽样． (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 超几何分布的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E＝p，即E(X )＝np. 正态曲线及其特征 1．我们称f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，则E(X )＝μ，D(X )＝σ2. 4．正态曲线的特点： (1)非负性：∀x∈R，f (x)>0，它的图象在x轴的上方． (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为1． (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (6)当参数σ取固定值时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (7)当参数μ取固定值时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 【注意】正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形的面积为1 利用正态分布的性质求概率 (1)三个特殊区间内取值的概率 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 对于正态分布X～N(μ，σ2)而言，随机变量X在区间[μ－3σ，μ＋3σ]以外取值的概率大约只有0.002 7，几乎不可能发生．它在产品检查、质量检验中起着重要的作用． 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法 (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值． (2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化． (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这三个性质求出最后结果． 题型突破 题型一 计算条件概率 1．已知事件满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．盒中有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球．记事件A为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件B为“第二次取出小球的数字为5”，则（   ） A． B． C． D． 3．甲、乙两名游客慕名来到重庆旅游，准备分别从解放碑、洪崖洞、李子坝、磁器口、长江索道这5个景点中随机选一个.事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好有一人选择洪崖洞.则条件概率________. 4．一个袋子里放有除颜色外完全相同的个白球、个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为______；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为______． 题型二 条件概率乘法公式的应用 5．已知事件、满足．若，，则（   ） A． B． C． D． 6．对于事件，，，，，（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知随机事件，均包含于必然事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）在一个有限样本空间中，，且与相互独立，与互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 题型三 利用全概率与贝叶斯公式求概率 9．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术.在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率.假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件是“AI模型筛选出候选分子”，事件是“AI模型筛选出候选分子”.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 10．现有甲､乙､丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产400件，乙车间每日生产600件，丙车间每日生产200件，产品的合格率分别为.现随机抽取1件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自乙车间的概率为（    ） A． B． C． D． 11．甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 12．某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. (1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； (2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 题型四 求离散型随机变量的方差与标准差 13．为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 14．若随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差（    ） A．1 B．1.4 C．2 D．2.4 15．已知甲盒中放有1个红球、3个白球(除颜色外，其他完全相同)，乙盒中放有2个红球、2个白球(除颜色外，其他完全相同)，每次等可能地从甲、乙两个盒子中选择一个盒子，有放回地摸1个球，若连续摸到2个红球，则停止摸球．记停止摸球时摸球的总次数为X，则E(X)=________． 16．袋中有9个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和4个黄球．每次不放回从袋中随机摸出一个球，共摸4次，记这4次摸球中，摸到黄球的个数为X，则随机变量X的数学期望为________． 17．李先生计划在五一后错峰旅游，从自然景观类中的泸沽湖、玉龙雪山、大理洱海、石林风景区4个景区和人文与民族风情类中的大理古城、丽江古城2个景区中，随机选取3个景区游玩． (1)求李先生选取的3个景区既有自然景观类，又有人文与民族风情类的概率； (2)设X表示选取人文与民族风情类景区的个数，求X的分布列与数学期望． 18．在某次运动会期间，有学生10人为运动员服务.由于5000米跑，跳远，铅球比赛是同时进行的，所以他们10人分成了三组分别服务这3个赛项.4人服务于5000米赛跑，3人服务于跳远比赛，3人服务于铅球比赛.赛后从这10人中随机选出3人作为代表参加座谈会. (1)设为事件“选出的3人服务的赛项互不相同”，求事件发生的概率； (2)设为选出的3人中服务的赛项是5000米跑的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 题型五 均值与方差的性质以及求参 19．已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 则（   ） A． B．1 C．2 D．3 20．（多选）已知随机变量的分布列为 0 1 2 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（多选）设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（   ） A． B． C． D． 22．（多选）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 23．袋中有编号为的四个大小､质地均相同的小球，从中依次不放回地随机取出两个球，设第一次取出的球的编号为，第二次取出的球的编号为，设随机变量. (1)求的分布列及数学期望； (2)定义随机变量，求的期望及方差. 题型六 利用二项分布求分布列 24．设随机变量，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 25．已知离散型随机变量服从二项分布，则（    ） A． B． C． D． 26．某非遗传承工作室针对传统手工艺进行数字化复原测试，经技术测算：使用AI智能修复技术（甲方案）修复一张破损纹样的成功率为，使用人工精细修复技术（乙方案）修复一张破损纹样的成功率为．现组建3个测试样片组，每组包含4张待修复纹样，其中2张用甲方案修复，2张用乙方案修复．若某个样片组中，甲方案修复成功的张数超过乙方案修复成功的张数，则称该组为“智能组”． (1)求一个测试样片组为“智能组”的概率； (2)现观察3个这样的测试样片组，用X表示这3个组中“智能组”的个数，求X的分布列和数学期望． 27．某公司对其开发的AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为，现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为. (1)若从该指定题库中随机选取1道题让AI软件回答，求AI软件回答正确的概率； (2)若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设表示AI软件回答正确的题数，求的分布列与期望. 题型七 利用超几何分布求分布列 28．某校高三年级共有12个班级，其中有4个班级被评为先进班集体，现从这12个班级中随机选出5个班级，设选出的5个班级中有X个班级被评为先进班集体，则（     ） A． B． C． D． 29．某奶茶店推出一款新奶茶——抹茶奶绿．已知从该店在售的奶茶中随机购买1杯，买到抹茶奶绿的概率是． (1)若顾客甲从该店在售的奶茶中随机购买3杯奶茶，求顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率； (2)若顾客乙从该奶茶店已经做好的10杯奶茶（其中抹茶奶绿有3杯）中随机购买4杯，记顾客乙购买的奶茶中抹茶奶绿的数量为，求的分布列与数学期望． 30．某学院为了调查本校学生年月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了名本校学生，统计他们在该月天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求出这名学生中健康上网天数超过天的人数，以及估计上网天数的样本数据的平均数和中位数； (2)现从这名学生中任取名，设为取出的名学生中健康上网天数超过天的人数，求的分布列及均值. 题型八 正态曲线的性质以及对称性求参数 31．已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A． B． C． D． 32．已知服从正态分布，记函数，，则正确的是（注：若，则，（    ） A． B． C． D．的图象关于对称 33．已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 34．（多选）下列命题正确的有（   ） A．若服从标准正态分布，则 B．若，则越小，正态密度曲线越“瘦高” C．若，且，则 D．若，且，则 题型九 正态分布的实际应用 35．信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为，经典信道完成信息匹配的概率为，且两个信道工作相互独立．只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败． (1)求该系统单次有效密钥分发成功的概率； (2)若该系统独立进行次密钥分发，记为有效分发成功的次数，求的数学期望； (3)科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率（单位：）服从正态分布．若准确率不低于为“最优传输”，估算次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数． 附：若，则，，． 36．为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 37．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩 (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 题型十 二项分布的概率最大问题 38．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 39．“十四五”期间，我国的机器人产业大爆发，实现了从“低端制造”到“高端突破”的历史性转变. 某学校的兴趣小组在校内随机调查了100名学生，统计其关注的机器人类型，得到如下的统计表： 类型 医疗机器人 特种机器人 表演机器人 服务机器人 工业机器人 人数 10 40 30 10 10 (1)先按比例用分层随机抽样的方法从上面100名学生中随机抽取10人. （i）分别求抽取的10人中关注“特种机器人”和关注“表演机器人”的人数； （ii）再从这10人中随机抽取3人，记抽到关注“特种机器人”的人数为，关注“表演机器人”的人数为，设，求的分布列. (2)该兴趣小组调查某款表演机器人，得知输入动作指令后其能准确完成指令的概率为，若输入次动作指令，其能准确完成指令的次数为，记事件的概率为，假设每次输入指令相互独立，且，则当为何值时，的值最大？ 40．某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有． (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和期望； (2)将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 41．某公司开展“每月幸运抽好礼”活动，规则如下：在抽奖箱中放入标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外无任何差异，每位参与者从抽奖箱中随机抽取1个球，抽到3号球即可获得礼品，每次抽取后将球放回抽奖箱中，每位员工每月仅参与一次． (1)设该公司A部门有4位员工参加该活动，用X表示获得礼品的人数，求X的分布列和数学期望； (2)该公司B部门有20位员工参加该活动，用Y表示获得礼品的人数，令，，若为数列的最大项，求k的值． 强化训练 1．若，则（    ） A．2 B．6 C．8 D．18 2．已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 3．甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 4．若事件满足，则（   ） A． B． C． D． 5．已知随机变量，且，则（   ） A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25 6．若随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 7．把1、2、3、4四个数字随机排成一行，从左到右依次读取，从第二个数开始，每当读到的数字比前面所有数字都大时，称该数为一个“新高”.记排列中“新高”的个数为随机变量，则（    ） A．1 B． C． D． 8．（多选）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选）下列命题正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，，，则 10．（多选）若随机变量服从正态分布，则，现已知两个随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选）某学校有两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则王同学（    ） A．第天去餐厅的概率为 B．第天去餐厅的概率为 C．第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为 D．第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为 12．（多选）已知三个密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C．若，，则 D．若，，则，使得 13．（多选）已知随机变量，且，的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B． C． D． 14．某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 15．将颜色分别红、黄、蓝的三个小球放入甲、乙、丙三个盒子中，每个小球放入各个盒子的概率均为，且互不影响，则三个小球分别放入不同盒子的概率为_____；在至少有两个小球放入甲盒的前提下，红球放入甲盒的概率为_____． 16．一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数，现随机将骰子抛掷3次，且各次抛掷结果相互独立，则三次抛掷出现向上的点数之积能被4整除的概率为______． 17．现有一个基于数字变换的游戏.初始时黑板上写有数字2，每轮游戏会对该数字进行一次独立变换，每一次变换有的概率将其擦去并写上原先数字加1的数，否则将其擦去并写上原先数字2倍的数，设轮变换后黑板上的数字为，已知在的前提下，第1轮变换前后数字之差为1的概率为，则__________. 18．2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为； 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为． (1)估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）； (2)该企业将AI智能质量检测投入使用． ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列； (3)企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望． 19．某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动．本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀．为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示． (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； 20．为促进销售，某生产商联合商超对定价为100元的产品推出“摸奖+闯关”优惠活动，规则如下：进商超的消费者首先获得一次摸奖机会，可获得一张10元或20元的“基础优惠券”（摸到10元“基础优惠券”的概率为0.6，摸到20元“基础优惠券”的概率为0.4）；然后进行答题闯关游戏，闯关成功可再获得一张能叠加使用的20元“进阶优惠券”.记消费者答题闯关成功的概率为.已知摸奖与闯关优惠活动的结果相互独立. (1)记消费者购买一件该产品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和； (2)已知本次活动中优惠券的成本将由生产商承担“基础优惠券”面额的30%，“进阶优惠券”面额的50%.记生产商销售一件该产品的期望利润为（单位：元），消费者购买该产品的概率为.已知，商品成本为41元.试求的最大值及取得最大值时的值.（结果保留1位小数） 注：期望利润=消费者购买概率×（支付金额的期望－商品成本－优惠券成本的期望） 21．质监部门从某超市销售的甲､乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲､乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较与的大小（只要求写出结果）； (2)在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布.其中近似为样本平均数近似为样本方差，现从乙种食用油中随机抽取10桶，设X表示质量指标值位于的桶数，求X的数学期望.（结果保留两位小数） 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若，则. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $