7.2 离散型随机变量及其分布列【4大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.2 离散型随机变量及其分布列 题型预览 题型一 写出简单离散型随机变量分布列 题型二 利用随机变量分布列的性质 题型三 由随机变量的分布列求概率 题型四 两点分布 知识清单 随机变量的概念及分类 (1)随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)随机变量的特点 ①取值依赖于样本点． ②所有可能取值是明确的． (3)随机变量的表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. (4)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量． (5)离散型随机变量的特征 ①可用数值表示． ②试验之前可以判断其出现的所有值． ③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出． 离散型随机变量的分布列 1．概率分布列 (1)概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示：离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (3)性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1． 2．两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝ 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0—1分布． 【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是 题型突破 题型一 写出简单离散型随机变量分布列 1．（25-26高二下·河南·期中）4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 2．（2026高三·全国·专题练习）一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个.小松一次性从袋子中随机摸出3个小球. (1)求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； (2)记摸出的小球上标记的最大数字为，求的分布列. 3．（25-26高二下·河南·期中）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 4．（2026·陕西·模拟预测）为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了名，统计他们的成绩（满分分），其中成绩不低于分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)估计参加这次竞赛的学生成绩的第百分位数和平均数； (2)若在抽取的名学生中，利用等比例分层随机抽样的方法从成绩不低于分的学生中随机抽取8人，再从8人中随机选择3人作为学生代表，设被选中的“航天达人”人数为随机变量，求的分布列． 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分． (1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率； (2)现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列． 6．（25-26高二下·山东临沂·期中）将 3 个标号不同的红球和 2 个标号不同的白球排成一排. (1)求 2 个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记 为 2 个白球之间红球的个数，求 的分布列，期望. 题型二 利用随机变量分布列的性质 7．（25-26高二下·山东济南·期中）离散型随机变量的分布列为：则（    ） A． B． C．或 D．或 8．（25-26高二下·广西贵港·期中）已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（   ） A．1.8或0.2 B．1.8 C．0.2 D．0.4 9．（2026·广东惠州·二模）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·福建厦门·月考）设随机变量的分布列为，则或__________. 11．（25-26高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则________，________． 12．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 题型三 由随机变量的分布列求概率 13．（2026高三·全国·专题练习）（多选）设随机变量的分布列为，则（     ） A． B． C． D． 14．（2026·山东东营·一模）甲、乙、丙三人每人制作两张卡片，将卡片放在同一个盒子中，每人不放回地随机抽取两张，设至少取回一张自己的卡片的人数为X，则_______. 15．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·广东佛山·月考）一批产品的质量检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为0.5，且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率： (2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），分别求和. 题型四 两点分布 17．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 18．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则__________. 19．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 20．（25-26高三上·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·全国·单元测试）已知随机变量服从两点分布，且，令，则______． 22．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 强化训练 1．（山西晋中市2025-2026学年高二下学期素养测评（二）数学试题）经检测，某箱10件产品中（分别标有不同的编号）有2件一等品，其余为二等品.从中抽取3件产品，下列说法正确的是（    ） A．取出的3件产品中恰有2件一等品，则不同的取法有7种 B．若表示取出的3件产品中一等品的数量，则 C．已知取出的3件产品中有一等品，则恰有2件一等品的概率为 D．若表示取出的3件产品中一等品的数量，则 2．（25-26高二下·河南·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 3．（2025高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列如表所示，则常数为（    ） 0 1 A． B． C．或 D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 6．（24-25高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 7．（2025高三·全国·专题练习）（多选）若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法错误的是（    ） 0 1 A．常数的值为或 B．常数的值为 C． D． 8．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·期中）（多选）已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·安徽·月考）（多选）已知某企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立、随机的从中抽取3名工人参加夜间安全巡查.设该小组在一周内的两次抽取中共有ξ名不同的工人被抽中，则下列结论正确的是（   ） A．该小组中的工人甲一周内恰好两次都被选中的概率为 B． C． D． 10．（25-26高二下·北京丰台·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则___． X 0 1 P 2m m 11．（25-26高三·全国·一轮复习）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.36 则常数________． 12．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则_______ X 0 1 2 3 P a 5a 13．（25-26高二下·宁夏银川·月考）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 14．（2026·辽宁抚顺·一模）将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排. (1)求2个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记为2个白球之间红球的个数，求的分布列. 15．（25-26高二下·全国·课后作业）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分的分布列． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2 离散型随机变量及其分布列 题型预览 题型一 写出简单离散型随机变量分布列 题型二 利用随机变量分布列的性质 题型三 由随机变量的分布列求概率 题型四 两点分布 知识清单 随机变量的概念及分类 (1)随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)随机变量的特点 ①取值依赖于样本点． ②所有可能取值是明确的． (3)随机变量的表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. (4)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量． (5)离散型随机变量的特征 ①可用数值表示． ②试验之前可以判断其出现的所有值． ③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出． 离散型随机变量的分布列 1．概率分布列 (1)概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示：离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (3)性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1． 2．两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝ 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0—1分布． 【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是 题型突破 题型一 写出简单离散型随机变量分布列 1．（25-26高二下·河南·期中）4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 【答案】(1)0.85 (2) 0 1 2 0.02 0.26 0.72 【分析】（1）根据全概率公式求解即可. （2）分析可能取值为，再求出其相应概率，写出分布列即可. 【详解】（1）设事件为选用机器人A，事件为选用机器人B， 用事件表示机器人成功，则 由全概率公式得. （2）由题意得的取值可能为. ， ， ， 的分布列为 0 1 2 0.02 0.26 0.72 2．（2026高三·全国·专题练习）一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个.小松一次性从袋子中随机摸出3个小球. (1)求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； (2)记摸出的小球上标记的最大数字为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）（法1）先求对立事件“摸出的3个小球中没有标记数字3的小球”的概率，再利用对立事件概率公式计算目标概率；（法2）按照摸出的小球中标记数字为3的小球的个数分类，计算概率，然后再利用和事件的概率公式计算即可； （2）首先确定的所有可能取值，然后分别计算取每个值时的概率，计算时的概率时，（法1）利用分布列概率和等于1计算；（法2）按照摸出小球的情况分类计算即可；最后根据计算结果列出分布列. 【详解】（1）（法1）在8个小球中，有6个标记数字不为3的小球. 则摸出的小球中有标记数字为3的小球的概率为. （法2）摸出的小球中只有1个标记数字为3的小球的概率为. 摸出的小球中有2个标记数字为3的小球的概率为. 则摸出的小球中有标记数字为3的小球的概率为. （2）由（1）得. 若，则必须摸出3个标记数字为1的小球，则. （法1）则. （法2）若，则摸出小球的情况有3种. ① 摸出3个标记数字为2的小球，此时. ② 摸出2个标记数字为2的小球与1个标记数字为1的小球， 此时. ③ 摸出1个标记数字为2的小球与2个标记数字为1的小球， 此时. 则. 综上，的分布列见下表. 1 2 3 3．（25-26高二下·河南·期中）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）先利用组合数公式分别求出甲、乙面试合格的概率，再根据事件的独立性，通过两概率相乘计算出甲乙都合格的概率； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再针对每个取值，用组合数公式计算出对应概率，最后整理得到分布列. 【详解】（1）设事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：甲、乙面试都合格， 由题知，A，B相互独立，， ∵，， ∴， ∴甲、乙面试都合格的概率为． （2）由题知，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 P 4．（2026·陕西·模拟预测）为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了名，统计他们的成绩（满分分），其中成绩不低于分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)估计参加这次竞赛的学生成绩的第百分位数和平均数； (2)若在抽取的名学生中，利用等比例分层随机抽样的方法从成绩不低于分的学生中随机抽取8人，再从8人中随机选择3人作为学生代表，设被选中的“航天达人”人数为随机变量，求的分布列． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 【分析】（1）利用频率分布直方图计算百分位数及平均数； （2）计算分层抽样人数及抽样比，进而计算出各层抽样人数，计算概率并求出分布列． 【详解】（1）由频率分布直方图可知： 的频率为：； 的频率为：； 的频率为：； 的频率为：； 的频率为：； 的频率为：； 第百分位数位于区间，设百分位数为， 则，解得； 平均数 ． （2）成绩不低于分的学生总人数：， “航天达人”总数量为：， 非“航天达人”总数量为：， 抽样比为，故抽取的8人中，“航天达人”数量为：， 非“航天达人”数量为， 表示选中的航天达人数，取值为， 则； ； ； ； 分布列为： 0 1 2 3 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分． (1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率； (2)现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过把甲同学所有可能选择答案的样本空间列出，再使用古典概型计算公式计算甲同学得4分的概率； （2）列出2道多项选择题的总得分变量的取值情况，再通过独立事件乘法公式计算出每种情况的概率，列出变量的分布列. 【详解】（1）设“甲同学得4分”为事件， 该同学所有可能的选择答案的样本空间， 包含6个样本点，而事件A包含3个，所以 所以他本题得4分的概率为． （2）设“这2道多项选择题的总得分”为随机变量，可能取值为0，3，6，9，12， 则，， ，       ，， 所以随机变量的概率分布如下： 6．（25-26高二下·山东临沂·期中）将 3 个标号不同的红球和 2 个标号不同的白球排成一排. (1)求 2 个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记 为 2 个白球之间红球的个数，求 的分布列，期望. 【答案】(1)36种 (2)分布列见解析，1 【详解】（1）先从中间的 3 个空位中选出 2 个空位排 2 个白球， 再把 3 个红球全排放入剩下的 3 个空位，共 (种)，所以 2 个白球均不排在两端的所有排法种数为36 . （2）由题意知 的所有可能取值为0，1，2，3， 则 ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以. 题型二 利用随机变量分布列的性质 7．（25-26高二下·山东济南·期中）离散型随机变量的分布列为：则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据分布列的性质可得出关于的等式或不等式，解之即可. 【详解】由分布列的性质可得，即，解得. 8．（25-26高二下·广西贵港·期中）已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（   ） A．1.8或0.2 B．1.8 C．0.2 D．0.4 【答案】C 【详解】因为概率和为1，所以， 化简得，解得或， 又因为，概率不能为负数，故. 9．（2026·广东惠州·二模）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由分布列的性质可知，，所以. 因为函数，. 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 所以函数的值域为. 10．（25-26高二下·福建厦门·月考）设随机变量的分布列为，则或__________. 【答案】 【分析】根据分布列的性质，求得参数，再利用概率公式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 故或. 11．（25-26高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则________，________． 【答案】 【分析】由分布列中概率和为，求得的值；结合分布列，根据加法公式求得. 【详解】由，得． ． 故答案为： 12．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由概率之和为1，求解即可； （2）由，求解即可. 【详解】（1）由，得. （2）， . 题型三 由随机变量的分布列求概率 13．（2026高三·全国·专题练习）（多选）设随机变量的分布列为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质即可求解，再逐一判断选项即可. 【详解】因为随机变量的分布列为， 所以，解得，A 正确； ，B 正确； ，C 错误； ，D 错误． 故选：AB． 14．（2026·山东东营·一模）甲、乙、丙三人每人制作两张卡片，将卡片放在同一个盒子中，每人不放回地随机抽取两张，设至少取回一张自己的卡片的人数为X，则_______. 【答案】 【分析】用字母表示出甲、乙、丙的卡片，计算出相应样本空间与总样本空间求出概率即可. 【详解】设甲制作的卡片为；乙制作的卡片为；丙制作的卡片为. 代表三人只有一人至少取回一张自己的卡片， 有种情况；不妨设是甲至少取回一张自己的卡片； 当甲只取回一张自己的卡片时，有种； 例如：甲取到的卡片为，此时丙不能取， 只能取，即甲取回一张自己的卡片时，样本数为； 当甲取回两张自己的卡片时，此时乙与丙只能相互交换， 即有种；而总样本空间为甲、乙、丙三人各自任取两张卡片，即， 所以; 代表三人有两人至少取回一张自己的卡片， 即有一个人没有取回自己的卡片，有种情况； 不妨设是丙没有取回自己的卡片，则丙要在四张中取两个， 显然丙不能取或，所以丙有种取法， 例如：丙取的是，则甲留下，只能在中取一个，即种，剩下两张给乙， 即共有种，所以. 所以. 15．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 16．（25-26高二上·广东佛山·月考）一批产品的质量检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为0.5，且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率： (2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），分别求和. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）先设出第一次和第二次的事件，再利用和事件和条件概率求解； （2）第一次取出的4件，费用400元；，再取4件，费用800元；如果，再取1件，费用500；其它情况（，，），不继续取出，费用保持400元，求相应的概率即可得解. 【详解】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件， 第二次取出的4件产品都是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件， 这批产品通过检验为事件，依题意有，且与互斥， 则 . （2）第一次取出的4件，费用400元； 如果，再取4件，费用800元； 如果，再取1件，费用500； 其它情况（，，），不继续取出，费用保持400元， ， . 题型四 两点分布 17．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【分析】由题意得计算求解即可. 【详解】由题可得. 故选：A 18．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则__________. 【答案】/ 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质可知各概率，再根据概率的加法可得解. 【详解】由已知可得， 解得， 则， 故答案为：. 19．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【分析】利用两点分布的性质直接求解即可. 【详解】由题意得，，又， 联立解得，. 20．（25-26高三上·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 21．（25-26高二上·全国·单元测试）已知随机变量服从两点分布，且，令，则______． 【答案】0.6/ 【分析】由两点分布可得答案. 【详解】由得， 所以． 故答案为：. 22．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两点分布分别求得的概率，再，由求出，由条件概率公式计算. 【详解】随机变量均服从两点分布， ，， 又， ，由条件概率公式， 故选：D. 强化训练 1．（山西晋中市2025-2026学年高二下学期素养测评（二）数学试题）经检测，某箱10件产品中（分别标有不同的编号）有2件一等品，其余为二等品.从中抽取3件产品，下列说法正确的是（    ） A．取出的3件产品中恰有2件一等品，则不同的取法有7种 B．若表示取出的3件产品中一等品的数量，则 C．已知取出的3件产品中有一等品，则恰有2件一等品的概率为 D．若表示取出的3件产品中一等品的数量，则 【答案】B 【分析】由古典概率模型计算公式和条件概率计算公式，结合组合数逐项判断即可. 【详解】从10件产品中，取出3件，不同的取法有种， 其中没有一等品的不同取法有种， 恰有1件一等品的不同取法有种， 恰有2件一等品的不同取法有种，A错， 则，B对，，D错， 则取出的3件产品中有一等品，共有种， 故恰有2件一等品的概率为，C错. 2．（25-26高二下·河南·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【详解】因为X服从两点分布，所以，结合条件得，． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列如表所示，则常数为（    ） 0 1 A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质进行求解． 【详解】由题意可得，解得． 故选：A． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量分布列求概率即可. 【详解】由题得，则， 故． 故选：C. 5．（25-26高二上·全国·单元测试）设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据离散型随机变量取各个值的概率和为1求得，由求出结果． 【详解】由分布列的性质知，所以． 因为，所以． 故选：A． 6．（24-25高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【分析】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率. 【详解】，解得； ， 故选：B. 7．（2025高三·全国·专题练习）（多选）若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法错误的是（    ） 0 1 A．常数的值为或 B．常数的值为 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据分布列的性质求解. 【详解】由题意知，解得或， 当时，，所以舍去， 故，AB错误， 计算可得，C错误，D正确， 故选:ABC． 8．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·期中）（多选）已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由分布列中概率之和为1可得A正确；由分布列中概率的计算可依次判断BCD. 【详解】由分布列性质可知，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC． 9．（24-25高二下·安徽·月考）（多选）已知某企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立、随机的从中抽取3名工人参加夜间安全巡查.设该小组在一周内的两次抽取中共有ξ名不同的工人被抽中，则下列结论正确的是（   ） A．该小组中的工人甲一周内恰好两次都被选中的概率为 B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于A，根据组合数的计算，结合古典概型以及概率的乘法，可得其正误；对于BCD，根据离散型随机变量，由古典概型以及概率的乘法，可得其正误. 【详解】对于A，每次工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周内被选中两个的概率为，故A正确； 对于B，的可能取值为，则，， ，，故B正确、CD错误. 故选：AB. 10．（25-26高二下·北京丰台·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则___． X 0 1 P 2m m 【答案】 【分析】由离散型随机变量的性质，概率之和为1即可求解. 【详解】由概率之和为1可得：，解得. 11．（25-26高三·全国·一轮复习）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.36 则常数________． 【答案】/ 【分析】根据分布列的性质列式求解即可. 【详解】由题意可知：， 即，解得或， 又因为，解得， 所以常数. 故答案为：0.2. 12．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则_______ X 0 1 2 3 P a 5a 【答案】 【分析】根据分布列的性质求出，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故答案为： 13．（25-26高二下·宁夏银川·月考）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 【答案】(1) (2)的分布列为： 2 3 4 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）判断随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列. 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， ，， 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，. 所以的分布列为： 2 3 4 14．（2026·辽宁抚顺·一模）将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排. (1)求2个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记为2个白球之间红球的个数，求的分布列. 【答案】(1)36 (2) 0 1 2 3 P 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，先选好白球位置，剩下的给红球；（2）先确定所有可能取值，再计算相应的概率. 【详解】（1）先从中间的3个空位中选出2个空位排2个白球，再把3个红球全排放入剩下的3个空位，共（种）， 所以2个白球均不排在两端的所有排法种数为36. （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3， 则 所以的分布列为 0 1 2 3 P 15．（25-26高二下·全国·课后作业）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分的分布列． 【答案】(1)125，135，145，235，245，345． (2)答案见解析 【分析】（1）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”； （2）由题意得随机变量的取值为：，求出相应的概率，即可得到甲得分的分布列. 【详解】（1）个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345． （2）由题意知，全部“三位递增数”的个数为， 随机变量可能的取值为. ，，． 所以的分布列为 0 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $