8.1.2 样本相关系数(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

8.1.2　样本相关系数

课标要求

1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义（数学抽象）.

2.结合实例，会通过样本相关系数判断多组成对样本数据的相关性（数学运算、数据分析）.               　　

情境导入

散点图可以说明变量间有无线性相关关系，但无法量化两个变量之间的相关程度的大小，更不能精确地说明成对样本数据之间关系的密切程度，那么我们如何才能寻找到这样一个合适的量来对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢？

知识点一｜样本相关系数

问题　（1）观察如下散点图，你能判断出图1的相关性与图2的相关性哪一个更强吗？

提示：根据散点图不一定能判定.

（2）设x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为和.将每个变量的观测数据减去其均值，得到成对数据为（x1－，y1－），（x2－，y2－），…，（xn－，yn－），并绘制散点图，则绘制的散点图有什么特征？你能利用正负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗？

提示：由散点图（图略），发现正相关时关于均值平移后的散点大多数分布在第一象限、第三象限，负相关时关于均值平移后的散点大多数分布在第二象限、第四象限.构造一个量：

Lxy＝[（x1－）（y1－）＋（x2－）（y2－）＋…＋（xn－）（yn－）].

一般情形下，Lxy＞0表明成对样本数据正相关；Lxy＜0表明成对样本数据负相关.

（3）你认为Lxy的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗？

提示：不一定.因为Lxy的大小与数据的度量单位有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小.

【知识梳理】

相关系数：对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为和.r＝＝，称r为变量x和变量y的样本相关系数.

　　提醒：样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性可以反映出成对样本数据的变化特征.当r＞0时，称成对样本数据正相关； 当r＜0时，称成对样本数据负相关.

【例1】　为了对某班考试成绩进行分析，现从全班同学中随机抽取8位同学，他们的数学、物理成绩对应如表.根据表中数据计算y与x之间的样本相关系数，并判断y与x是正相关关系还是负相关关系.

解：由表中数据得，＝×（60＋65＋70＋75＋80＋85＋90＋95）＝77.5，

＝×（72＋77＋80＋85＋88＋90＋93＋95）＝85.

（xi－）（yi－）＝685，（xi－）2＝1 050，（yi－）2＝456.

所以r＝＝≈0.99，y与x之间具有正相关关系.

【规律方法】

样本相关系数的计算步骤

（1）求出，的值；

（2）求出（xi－）（yi－），（xi－）2，（yi－）2的值；

（3）代入公式计算得结果.

训练1　暑期社会实践中，小娴所在的小组调查了某地家庭人口数x与每天对生活必需品的消费y的情况，得到的数据如下表：

计算y与x之间的样本相关系数，并判断y与x是正相关关系还是负相关关系.

参考数据：≈4.359.

解：由表中数据，计算得＝×（2＋4＋5＋6＋8）＝5，

＝×（20＋30＋50＋50＋70）＝44，

＝22＋42＋52＋62＋82＝145，

＝202＋302＋502＋502＋702＝11 200，

xiyi＝2×20＋4×30＋5×50＋6×50＋8×70＝1 270，代入r的计算公式得

r＝≈0.975.

所以y与x之间具有正相关关系.

知识点二｜线性相关的强弱

【知识梳理】

样本相关系数r的绝对值大小反映成对样本数据之间线性相关的程度.

（1）当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度　越强　；

（2）当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度　越弱　；

（3）当r＝0时，成对样本数据间没有　线性相关　关系，但不排除它们之间有其他相关关系；

（4）当｜r｜＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系.

【例2】　（链接教材P101例1）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图如图所示.依据散点图可以看出，变量x与y线性相关，请计算y与x的样本相关系数r，并说明变量x与y是否具有较强的线性相关关系（若r＞0.75，则线性相关程度很强）.