第六章 计数原理——二项式定理题型汇总【11大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理—二项式定理题型汇总 题型预览 题型一 展开式中的特定项 题型二 求有理项或其系数 题型三 二项式系数的增减性与最大值 题型四 求系数最大(小)的项 题型五 系数之和与二项式系数之和 题型六 奇次项与偶次项的系数和 题型七 绝对值的系数和 题型八 多项乘积展开式的系数问题 题型九 三项展开式的系数问题 题型十 整除和余数问题 题型十一 近似值的问题 题型十二 杨辉三角形的性质与应用 知识清单 二项式定理 1．二项式定理 (a＋b)n＝ ，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝． 【注意】(1)次数：各项的次数和都等于二项式的次数n (2)顺序：字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n 二项式系数的性质 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的二项式系数相等； (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数相加，即＝． 二项式系数的增减性与最大值 增减性与最大值： ＝，即，所以，当>1，即k<时随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 【注意】二项式系数取得最大值的项，其系数不一定是系数中最大的 二项式系数与二项展开式各项系数之和 ．＋＋＋…＋＝2n； ．＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n-1． 求展开式的各项系数之和常用赋值法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f (x)的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 题型突破 题型一 展开式中的特定项 1．的展开式中，第四项的二项式系数为（    ） A．1 B．5 C．10 D．20 【答案】C 【详解】由题意可知：第四项的二项式系数为. 2．的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．16 D．240 【答案】D 【分析】由二项式展开通式直接计算即可. 【详解】由展开式的通项得， 令，得，常数项为. 3．的展开式的常数项是___________（用数字作答）． 【答案】 【分析】先求出展开式的通项，令的指数为零即可求解. 【详解】展开式的通项为， 令的指数为零，即，解得， 因此，常数项为. 4．的二项展开式中x的系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的二项展开式的通项公式为， 化简得， 令，得，所以， 所以的展开式中x的系数是． 题型二 求有理项或其系数 5．已知的展开式中第5项为常数项． (1)求n； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2)，，，． 【分析】（1）根据二项展开式，令的指数为0即可得解； （2）根据展开式中，的指数为整数即可得解. 【详解】（1）的展开式的通项为，      因为第5项为常数项，所以当时，， 解得． （2）由（1）知，展开式的通项为，其中，1，2，…，6．        展开式中的有理项即x的指数为整数的项，分别为： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． 6．在的展开式中，有理项的个数共有__________个． 【答案】2 【详解】因为， 所以当时，为整数，因此有理项的个数有2个. 7．的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（    ） A．-30 B．-29 C．1 D．31 【答案】B 【分析】先求得二项展开式的通项，结合通项，得到展开式中系数为有理数的项，即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 当和时，可得展开式中系数为有理数的项为， 其系数之和为. 8．已知在的展开式中，第9项为常数项.求： (1)的值； (2)展开式中二项式系数最大项； (3)展开式中的有理项并写出个数. 【答案】(1)10 (2) (3)展开式中的有理项共有6个，详见解析. 【分析】（1）展开式的通项公式为，根据第9项为常数项，由，且求解； （2）根据，利用二项式系数的性质求解； （3）由展开式的通项公式为，根据展开式中的项为有理项，由为整数求解. 【详解】（1）的展开式的通项公式为： ， 因为第9项为常数项，所以，且， 解得，； （2）由（1）知：二项式的展开式共有项， 由二项式系数的性质得：中间一项即第6项的二项式系数最大，； （3）由（1）知通项公式为， 若展开式中的项为有理项，则为整数，为偶数， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，. 展开式中的有理项共有6个，分别是，，，，，. 题型三 二项式系数的增减性与最大值 9．已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】解：因为的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大， 所以． 10．已知的展开式中共有11项． (1)求的值； (2)求展开式中的系数； (3)求二项式系数最大的项． 【答案】(1) (2)960 (3) 【分析】（1）利用二项式展开式中共有项可求得的值； （2）求出二项展开式的通项，令指数为4，求出参数的值，代入通项即可得出结果； （3）根据二项式系数的性质可得二项式系数最大的项的项数，再由二项式定理得结论． 【详解】（1）由题意得，解得. （2）由（1）可知展开式的通项为． 令，解得，则． 故展开式中的系数为960． （3）根据题意可得二项式系数最大的项为． 11．的二项展开式中二项式系数最大的项是（   ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据的二项式系数最大为再计算二项系数最大项. 【详解】的二项展开式中二项系数最大为， 所以二项展开式中二项系数最大的项是和. 故选：C. 12．已知二项式的展开式中，二项式系数的和为，则二项式系数最大的项是（   ） A．第3项 B．第、项 C．第4项 D．第、项 【答案】C 【分析】根据二项式系数的和为求出 的值，再利用二项式系数的性质即可求解. 【详解】因为的展开式中，二项式系数的和为64，所以，解得；所以该二项式的展开式共7项，所以二项式系数最大的项为第4项. 故选：C． 题型四 求系数最大(小)的项 13．在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为. (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)， (2)系数最大的项为第 项： 【分析】（1）先写出二项展开式的通项，由第项与第项的系数比求出；再由通项中的指数等于求常数项； （2）考查二项展开式中“系数最大项”的判断，可用相邻两项系数作比来确定最大值出现的位置. 【详解】（1）二项式的展开式通项为 所以第项为，第项为 因为第3项和第4项的系数比为，所以化简得 所以， 于是，解得 当时， 则第项的系数为第项的系数为， 即第3项和第4项的系数比为，满足题意，故， 此时通项为 要使展开式中出现常数项，应有，解得 所以常数项为 故且常数项为 （2）由（1）知其系数为 考察相邻两项系数之比： 当时，系数递增；当时，系数递减. 由得即 所以当时，系数递增；当时，系数递减. 因此系数最大的项对应即第项. 第项为 故展开式中系数最大的项为 14．已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比是6:1. (1)求展开式中所有二项式系数的和. (2)若展开式中，第k项为有理项，求k的取值集合. (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据展开式的通项及第6项系数与第4项系数之比是6:1，求出的值，根据即可求得二项式系数和； （2）利用（1）的结论及展开式的通项知，当k为偶数时为有理项，由此可得k的取值集合. （3）利用通项写出各项的系数，列出相应的不等式组，求解可得的值，即可得到展开式中系数绝对值最大的项. 【详解】（1）的展开式的通项为. 因为第6项系数与第4项系数之比是6:1，所以，即， 化简得，即. 因为，所以. 所以的展开式中所有二项式系数的和为. （2）由（1）知的展开式的第项为. 若展开式中，第k项为有理项，则是整数，即是奇数，所以为偶数. 所以k的取值集合为. （3）的展开式的通项为，系数为. 令，即， 解得. 因为，所以. 所以展开式中系数绝对值最大的项为. 15．（多选）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式中（    ） A．各项二项式系数和为128 B．奇数项的各项系数和为 C．有理项共有4项 D．展开式中第5项的系数最大 【答案】ACD 【详解】由二项展开式共8项，得，即，二项式为. 通项公式：，. 选项A：二项式系数和为，A正确. 选项B： 时，；时，； 时，；时，， 奇数项分别为第1、3、5、7项，即，系数和为，故B错误. 选项C：有理项满足，，共4项，C正确. 选项D：展开式各项的系数为 (). 当 为偶数时，系数为正，分别为； 当 为奇数时，系数为负. 比较所有正系数，最大值为，此时 ，对应第项，故D正确. 16．已知的二项展开式有项. (1)求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (2)求该展开式中含的项； (3)求该展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据二项式系数和为求出的值,再通过赋值求出多项式各项系数和,最后作比算出两者的比值. （2）先写出二项展开式的通项公式,整理得到的指数表达式,令指数等于7解出,再把代回通项算出对应项. （3）沿用已得的通项,取出各项系数构造相邻项系数大小的不等式组,化简不等式求出的取值范围,结合为自然数确定,进而求出系数最大的项. 【详解】（1）因为二项展开式有7项，所以，解得. 所以二项式系数和为， 令，得各项系数和为. 因此各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为. （2）由（1）可得展开式通项为. 令，解得. 代入通项得. 故含的项为. （3）由（1）可得展开式通项为 设第项系数最大，则第项系数为. 列不等式组，即 化简得，解得，又，故. 系数最大的项为. 题型五 系数之和与二项式系数之和 17．（多选）若的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A． B．展开式中各二项式系数的和为1024 C．展开式中各项系数的和为 D．展开式中不存在常数项 【答案】ABD 【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式中共有11项， 所以，故A选项正确； 各二项式系数的和为，故B选项正确； 令x＝1，则展开式中各项系数的和为，故C选项错误； 的展开式中的通项为，， 令，解得（舍去），所以展开式中不存在常数项，故D正确． 18．已知，则______． 【答案】 【详解】， 令时，即得. 19．若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】令，则； 令，则； ． 20．已知，则______. 【答案】243 【分析】根据题意利用赋值法，令代入求解即可. 【详解】因为， 令，得， 两边同时乘以32，得. 21．（多选）已知，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．展开式的二项式系数和为 B． C．展开式的各项系数和为 D． 【答案】BD 【详解】由得，， 展开式的二项式系数和为，故A错误； 令得，故B正确； 令得展开式的各项系数和为，故C错误； 令得， 所以，故D正确. 22．已知多项式，则的值为__________. 【答案】 【分析】令求出,令，化简即可求解. 【详解】令，可得：， 令，可得：， 即. 题型六 奇次项与偶次项的系数和 23．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用赋值法计算求解A，B，C，求出导函数再应用赋值法计算判断D. 【详解】因为， 令，则，所以，A选项正确； 令，则， 所以， 所以，B选项正确； 令，则， 又因为， ，C选项错误； 因为， 求导数得， 令，则， ，D选项正确； 24．已知. (1)求展开式中所有项的二项式系数之和； (2)求； (3)求. 【答案】(1)32 (2)121 (3)405 【分析】（1）根据二项式系数之和的性质，可直接求得二项式系数之和； （2）先分别令和，得到两个等式，再将两个等式相减，即可求得结果； （3）先对已知等式两边求导，再令，即可求得. 【详解】（1）因为中，，所以展开式中所有的二项式系数之和为. （2）因为， 令，可得，即①，令，可得，即②，用①式减去②式得：，即. （3）对两边求导， 可得， 令，可得， 即. 25．若，则___________． 【答案】 【分析】利用赋值法，令，和，即可求解. 【详解】由题意得： 令，得， 令，得， 令，得， 所以， 所以. 26．已知函数，则（    ） A． B． C． D．的个位数是9 【答案】C 【分析】赋值法求系数和判断A、B；由，结合展开式通项得个位数由决定，即可判断D；由并应用二项式定理求对应项系数判断C. 【详解】由题设，令，则，A错误； 令，则， 所以，即，B错误； 由， 展开式通项为，， 当时，，即， C正确. 由，展开式通项为， 显然个位数由决定，即个位数是1，D错误； 题型七 绝对值的系数和 27．若，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式展开式系数的性质，观察展开式后每项的符号，去掉绝对值，再利用赋值法进行求解. 【详解】解：设， 易观察多项式展开后，偶次项的系数为正，奇次项的系数为负， 即，，，，，均大于；，，，，均小于， 所以， 令，则， 令，则， 因此，. 28．若，则__________；__________.（用数字作答） 【答案】 【分析】令，利用赋值法可得出的值；分析可知当为奇数时，；当为偶数时，.结合赋值法可得出的值. 【详解】令，则， 的展开式通项为， 则， 故当为奇数时，；当为偶数时，. 所以 . 故答案为：；. 29．若，则（   ） A．0 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【详解】在中，偶数次项系数为正，奇数次项系数为负， 所以，取， 可得， 故所求式的值为. 30．求的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 【答案】(1)4096 (2)2048 (3)2048 (4)4096 (5)16777216 (6) 【分析】（1）利用二项式系数的性质即可求解； （2）利用二项式系数的性质即可求解； （3）利用二项式系数的性质即可求解； （4）令，得各项系数和； （5）令，得各项系数的绝对值和； （6）令，即可求解. 【详解】（1）各项二项式系数和为． （2）奇数项二项式系数和为. （3）偶数项二项式系数和为. （4），令，得各项系数和为4096． （5）令，得各项系数的绝对值和为. （6）令奇数项系数和为，偶数项系数和为． 令得；令得． ，． 所以奇数项系数和为 8390656 ，偶数项系数和为 −8386560. 题型八 多项乘积展开式的系数问题 31．的展开式中的系数为______________．（用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式，分析的展开式中含项的系数，含项的系数，即可得解． 【详解】由二项式的展开式的通项为， 其中含项的系数为0，含项的系数为， 所以的展开式中的系数为． 32．展开式中的系数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【分析】首先利用分配律展开为，再根据的生成形式，求的系数. 【详解】， 中，含的系数即中含项的系数，即， 中，含的系数即中含项的系数，即， 所以展开式中的系数为. 33．的展开式中的系数为______. 【答案】32 【详解】的展开式的通项为. 令，得，展开式中的系数为， 令，得，展开式中的系数为， 令，得，展开式中的系数为. 则的展开式中的系数为. 34．若的展开式中的系数为30，则__________ 【答案】 【详解】因为的展开式的通项公式为，其中， 令，得，即， 所以的展开式中的系数为，解得. 题型九 三项展开式的系数问题 35．的展开式中的常数项为______． 【答案】49 【分析】分类讨论利用多项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式中得到常数项的方法分类如下： （1）4个因式全取1，相乘得到常数项.常数项为； （2）4个因式中有1个取，则再取1个，其余因式取，相乘得到常数项.常数项为； （3）4个因式中有2个取，则再取2个，相乘得到常数项为， 合并同类项，所以展开式中常数项为. 36．在的展开式中，含的项的系数为__________. 【答案】 【详解】因为， 所以展开式的通项为，， 含项的系数为. 37．已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式求解. 【详解】依题意，展开式中含的项为， 所以. 38．（1）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，，求的值； （2）求的展开式中的系数. 【答案】（1）5；（2）30 【分析】（1）所有项的二项式系数之和为，令可求得各项的系数之和，即可根据已知条件列方程求出n； (2)首先把三项式重组为二项式并写出通项，根据y的指数锁定k，然后用二项式定理分析的通项，最后计算最终系数. 【详解】（1）因为， 当时，， 所以，解得； （2）， 设通项为，则， 令，则， 对于，设其通项为，则， 令，则， 故，的系数为. 题型十 整除和余数问题 39．若能被整除，则正数的最小值是______． 【答案】 【分析】把写成，二项式展开后前面都是的倍数，只剩，要被1000整除，正数最小就是24. 【详解】 ，为整数. 所以要使能被整除，即能被整除， 又是正数，所以的最小值为． 40．除以5的余数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据二项式展开式计算余数. 【详解】 因为， 所以除以5的余数为1，所以除以5的余数为， 所以除以5的余数与 除以5的余数相同，即余数为2. 41．今天是星期三，再过天是星期几（   ） A．星期三 B．星期五 C．星期六 D．星期日 【答案】D 【分析】通过二项式定理将逐步变形为与7相关的展开式，消去能被7整除的项，最终求得除以7的余数，进而推算出对应的选项 【详解】， 因为98能被7整除，所以上式前50项都能被7整除，只需确定最后一项除以7的余数，， 所以除以7的余数为， 因为今天是星期三，所以再过天，是星期日. 42．除以的余数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，再写出的展开式，即可判断. 【详解】因为，其中 所以， 即， 因此除以的余数是，故D正确. 题型十一 近似值的问题 43．下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【答案】B 【详解】 从选项可知精确到0.01即可. 所以原式. 44．实数精确到的近似值为______. 【答案】 【分析】先将变形为，再利用二项式定理展开化简即可得解. 【详解】因为 ， 将精确到，故近似值为. 故答案为：. 45．用二项式定理估算______.（精确到0.001） 【答案】1.105 【分析】利用二项式定理进行近视计算作答. 【详解】 . 故答案为：1.105 46．（1）证明：能被整除； （2）求的近似值（精确到0.001）. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用二项式展开式证明即可； （2）构造二项式展开式进行求解即可. 【详解】（1）证明：因为 所以能被整除； （2） 题型十二 杨辉三角形的性质与应用 47．（多选）杨辉三角是中国古代数学文化的瑰宝，包含了很多有趣的性质．观察图中数字排列的规律，下列结论正确的是（    ） A．第2026行的第1013个数和第1015个数相等 B．从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1330 C．记杨辉三角中第行的第个数为，则 D．第行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字 【答案】ACD 【分析】根据题意结合组合数性质判断AB；构造，利用赋值法判断C；根据，结合二项式定理分析判断D. 【详解】对于选项A：第2026行的第1013个数和第1015个数分别为，， 由组合数性质可得，所以第2026行的第1013个数和第1015个数相等，故A正确； 对于选项B：因为 ， 所以从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1540，故B错误； 对于选项C：因为杨辉三角中第行的第个数为，则， 又因为， 令，可得， 所以，故C正确； 对于选项D：第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 又因为， 且展开式中项的系数为， 因此，D正确. 48．（多选）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，如图，下列关于“杨辉三角”的说法正确的是（    ） A．每行的首位和末位均为1 B．对应的行中共有4个质数 C．若有不同的两行同时出现了相同数字，且该数字不为1，则该数字的最小值为6 D．对应的行的各项数字之和为 【答案】ACD 【分析】结合杨辉三角性质，利用组合数公式、质数定义、二项式系数和逐项判断即可得. 【详解】对于A，显然，故A正确； 对于B，易知对应的行中的数为1，5，10，10，5，1，显然只有2个质数，故B错误； 对于C，注意到前5行不存在不同的两行同时出现了相同数字，且该数字不为1， 而第6行后除1以外数字最小为6，且其在对应的行出现过，故C正确； 对于D，当时，该行的数依次为二项式展开式中各项的系数顺序排列所得， 取得和为，故D正确． 49．（多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是 B．第行的第个数最大 C． D．记第n行的第i个数为，则 【答案】ACD 【详解】选项：由题目所给的杨辉三角可知，从第行起，第行第个数可表示为, 故第行从左到右第四个数是，故正确 . 选项：第行第个数可表示为,由组合数的性质可知最大,因此时最大，故错误. 选项：,故正确. 选项：第行第个数,因此,令,则, 即,故正确. 50．（多选）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的是（   ） A．第2026行共有2027个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为6 D．去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列前135项的和为 【答案】ABD 【分析】根据杨辉三角的性质求得第2026行共有2027个数，即可判断A；根据组合数的性质化简即可判断B；利用二项式定理求解第48行的所有数字的和，进而根据二项式定理，根据整除的性质即可求解，进而判断C；根据二项式的和，结合等比数列以及等差数列的性质求解，即可判断D. 【详解】对于A选项，由题意，第行的第个数可以表示为（时）， 所以第2026行的第1个数为，最后1个数为，共有2027个数，故A正确； 对于B选项，由题意可得，从第4行起到第19行， 每一行的第4个数字分别为、、、、、、， 其和为 ，故B正确； 对于C选项，第48行的所有数字之和为 ， 又 ， 由于能被7整除， 所以第48行的所有数字之和被7除的余数为1，故C错误； 对于D选项，第行的所有数字之和为， 当时，第行中去除为1的项的和为，第0行为1， 故前行中去除为1的项的和为， 故前17行中去除为1的项的和为， 去除所有为1的项后，则从第1行开始，剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，， 可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，则行共有个数， 当时，， 因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为， 则此数列前135项的和为，故D正确. 强化训练 1．的展开式中的系数为（   ） A．12 B．36 C．54 D．108 【答案】D 【分析】由二项展开式通项公式求解. 【详解】的展开式通项公式为， 令得的展开式中的系数为. 2．的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先把三项式整体看成二项式，利用二项式通项找到含的项，再对用二项式通项找到含的项，最后将两部分系数相乘，即得的系数． 【详解】先将看成， 根据二项式定理，其展开式的通项为， 含有的项为， 的展开式的通项为， 含有的项为， 所以的项的系数． 3．在的展开式中，项的系数与常数项之比为4，则实数a的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据二项式展开式通项求解即可. 【详解】的展开式通项为. 令，解得，则项的系数为. 令，解得，则常数项为. 由题意，化简得，即. 4．若，则的值为（    ） A．15 B．16 C．120 D．240 【答案】D 【详解】令，则， 原式转化为. 由二项式定理，展开式通项为. 令，解得， 则. 5．的展开式中的系数为（    ） A．120 B．－120 C．110 D．－110 【答案】D 【详解】展开式的通项公式为， 的展开式中的系数为. 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 令，得； 令，得； 故． 7．若二项式的展开式中，x和的系数相同，则非零常数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意可得x的系数为，的系数为， 则有，解得或（舍去）． 8．已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项式定理系数的性质，求出，然后通过二项式定理的通项公式求出常数项即可． 【详解】由题意知，，解得， 展开式通项公式为， 令，则，所以. 9．的展开式中，的系数为（    ） A．220 B． C．100 D． 【答案】B 【详解】的展开式的通项为， 所以含有的项的系数为. 10．（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二项式定理和赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，令，则， 即，所以A正确； 对于B，令，则， 即，所以B错误； 对于C，令，则， 即①， 令，则， 即②， ①-②得， 所以，所以C正确； 对于D，将原等式变形得， 令，则，由A项可知， 所以，所以D正确. 11．（多选）设，则（    ） A． B． C． D．除以的余数是 【答案】ACD 【详解】展开式的通项为. 为展开式的常数项，由得，所以A正确； 令，得， 所以，所以B不正确； 因为是的系数，所以当为奇数时，为负数；当为偶数时，为正数. 令，得， 所以，所以C正确； ， 因为均能被整除， 所以除以的余数是，所以D正确. 12．（多选）关于的展开式，下列说法正确的是（   ） A．展开式共有8项 B．展开式中第5项的二项式系数最大 C．展开式各项的系数之和为1 D．展开式中项的系数为448 【答案】BC 【分析】选项，由二项式展开式共有项，即可判断；选项，根据二项式系数的性质，二项式系数先增后减中间项最大，可判断第5项的二项式系数最大；选项，令，对应的值即为展开式各项系数之和；选项，利用二项式定理的通项公式，令的次数为，代入计算即可. 【详解】选项，由二项式展开式共有项，可知展开式共有项，错误； 选项，根据二项式系数的性质，二项式系数先增后减中间项最大， 因为展开式共有项， 所以第5项的二项式系数最大，正确； 选项，令，则，即展开式各项的系数之和为1，正确； 选项，设第项为， 令，则， 所以展开式中项的系数为，错误. 13．（多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律.如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中，从左到右第8个数字是120 B．第20行所有数字中，从左到右数第11个数字最大 C．第9行所有数字之和为2046 D．从第2行到第行，每一行从左到右的第3个数字之和为 【答案】ABD 【详解】第10行中，从左到右第8个数字是，所以A正确； 可知第20行第个数字为，可知最大，即第11个数字最大，所以B正确； 第9行所有数字之和为，所以C错误； 从第2行到第行，每一行从左到右的第3个数字之和为， 因为，所以，所以D正确； 14．（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．常数项为1120 B．第4项二项式系数最大 C．所有项的二项式系数和为 D．所有项的系数和为 【答案】ACD 【详解】对于A，展开式的常数项为，A正确； 对于B，展开式共9项，第5项的二项式系数最大，B错误； 对于C，所有项的二项式系数和为，C正确； 对于D，取，得所有项的系数和为，D正确. 15．的展开式中的系数为__________． 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式分析的展开式中含项的系数，含项的系数即可得解. 【详解】因为的展开式通项为， 其中含项的系数为，含项的系数为， 所以的展开式中的系数为. 16．已知二项式的展开式中的常数项为，则实数______． 【答案】 【详解】由题意得的展开式中的通项为， 令，得，则常数项为， 即，解得． 17．已知的展开式中，项的系数为-10，则________. 【答案】4 【详解】项系数为，解得． 18．已知，则______，______． 【答案】 0 【分析】运用二项式的通项公式，结合求导的运算法则进行求解即可. 【详解】展开式的通项 ， 令，得，则，即． 设， 则． 令，得． 19．在二项式展开式中，第1项和第2项的二项式系数比为 (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，再利用展开式的通项公式求解即可； （2）设第项的系数最大，从而得，求解即可. 【详解】（1）因为展开式中第1项和第2项的二项式系数分别为：， 所以，解得， 所以展开式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为； （2）由（1）可知展开式中每项的系数为， 设第项的系数最大，则，即， 由，可得， 即，解得，同理由，可得， 又因为为0到9之间的整数，所以， 所以原式展开式中系数最大项为. 20．已知展开式共有11项. (1)求n的值，并求二项式系数的最大值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)，252 (2) (3)0 【分析】（1）根据展开式的项数特征可求得，进而求得二项式系数的最大值； （2）先分析原二项式展开式系数的正负性，再通过赋值法，将原二项式中的负号转化为正号后令，从而得到值； （3）利用赋值法，令，代入原二项式展开式直接得到值. 【详解】（1）二项式展开式的项数为， 由题知展开式共11项，因此，得， 因为10是偶数，故二项式系数的最大值为； （2）展开式中，系数的符号由决定， 即对应将原式中换为1后的系数， 等价于令代入原式：， 计算得，因此结果为； （3）令，代入等式得， 左边等于，因此结果为0. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理—二项式定理题型汇总 题型预览 题型一 展开式中的特定项 题型二 求有理项或其系数 题型三 二项式系数的增减性与最大值 题型四 求系数最大(小)的项 题型五 系数之和与二项式系数之和 题型六 奇次项与偶次项的系数和 题型七 绝对值的系数和 题型八 多项乘积展开式的系数问题 题型九 三项展开式的系数问题 题型十 整除和余数问题 题型十一 近似值的问题 题型十二 杨辉三角形的性质与应用 知识清单 二项式定理 1．二项式定理 (a＋b)n＝ ，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝． 【注意】(1)次数：各项的次数和都等于二项式的次数n (2)顺序：字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n 二项式系数的性质 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的二项式系数相等； (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数相加，即＝． 二项式系数的增减性与最大值 增减性与最大值： ＝，即，所以，当>1，即k<时随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 【注意】二项式系数取得最大值的项，其系数不一定是系数中最大的 二项式系数与二项展开式各项系数之和 ．＋＋＋…＋＝2n； ．＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n-1． 求展开式的各项系数之和常用赋值法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f (x)的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 题型突破 题型一 展开式中的特定项 1．的展开式中，第四项的二项式系数为（    ） A．1 B．5 C．10 D．20 2．的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．16 D．240 3．的展开式的常数项是___________（用数字作答）． 4．的二项展开式中x的系数是（   ） A． B． C． D． 题型二 求有理项或其系数 5．已知的展开式中第5项为常数项． (1)求n； (2)求展开式中所有的有理项． 6．在的展开式中，有理项的个数共有__________个． 7．的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（    ） A．-30 B．-29 C．1 D．31 8．已知在的展开式中，第9项为常数项.求： (1)的值； (2)展开式中二项式系数最大项； (3)展开式中的有理项并写出个数. 题型三 二项式系数的增减性与最大值 9．已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 10．已知的展开式中共有11项． (1)求的值； (2)求展开式中的系数； (3)求二项式系数最大的项． 11．的二项展开式中二项式系数最大的项是（   ） A． B． C．和 D．和 12．已知二项式的展开式中，二项式系数的和为，则二项式系数最大的项是（   ） A．第3项 B．第、项 C．第4项 D．第、项 题型四 求系数最大(小)的项 13．在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为. (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 14．已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比是6:1. (1)求展开式中所有二项式系数的和. (2)若展开式中，第k项为有理项，求k的取值集合. (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 15．（多选）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式中（    ） A．各项二项式系数和为128 B．奇数项的各项系数和为 C．有理项共有4项 D．展开式中第5项的系数最大 16．已知的二项展开式有项. (1)求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (2)求该展开式中含的项； (3)求该展开式中系数最大的项. 题型五 系数之和与二项式系数之和 17．（多选）若的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A． B．展开式中各二项式系数的和为1024 C．展开式中各项系数的和为 D．展开式中不存在常数项 18．已知，则______． 19．若，则（    ） A． B． C．1 D． 20．已知，则______. 21．（多选）已知，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．展开式的二项式系数和为 B． C．展开式的各项系数和为 D． 22．已知多项式，则的值为__________. 题型六 奇次项与偶次项的系数和 23．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 24．已知. (1)求展开式中所有项的二项式系数之和； (2)求； (3)求. 25．若，则___________． 26．已知函数，则（    ） A． B． C． D．的个位数是9 题型七 绝对值的系数和 27．若，则___________． 28．若，则__________；__________.（用数字作答） 29．若，则（   ） A．0 B．9 C．12 D．18 30．求的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 题型八 多项乘积展开式的系数问题 31．的展开式中的系数为______________．（用数字作答） 32．展开式中的系数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．15 33．的展开式中的系数为______. 34．若的展开式中的系数为30，则__________ 题型九 三项展开式的系数问题 35．的展开式中的常数项为______． 36．在的展开式中，含的项的系数为__________. 37．已知，则（    ）． A． B． C． D． 38．（1）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，，求的值； （2）求的展开式中的系数. 题型十 整除和余数问题 39．若能被整除，则正数的最小值是______． 40．除以5的余数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 41．今天是星期三，再过天是星期几（   ） A．星期三 B．星期五 C．星期六 D．星期日 42．除以的余数是（ ） A． B． C． D． 题型十一 近似值的问题 43．下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 44．实数精确到的近似值为______. 45．用二项式定理估算______.（精确到0.001） 46．（1）证明：能被整除； （2）求的近似值（精确到0.001）. 题型十二 杨辉三角形的性质与应用 47．（多选）杨辉三角是中国古代数学文化的瑰宝，包含了很多有趣的性质．观察图中数字排列的规律，下列结论正确的是（    ） A．第2026行的第1013个数和第1015个数相等 B．从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1330 C．记杨辉三角中第行的第个数为，则 D．第行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字 48．（多选）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，如图，下列关于“杨辉三角”的说法正确的是（    ） A．每行的首位和末位均为1 B．对应的行中共有4个质数 C．若有不同的两行同时出现了相同数字，且该数字不为1，则该数字的最小值为6 D．对应的行的各项数字之和为 49．（多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是 B．第行的第个数最大 C． D．记第n行的第i个数为，则 50．（多选）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的是（   ） A．第2026行共有2027个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为6 D．去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列前135项的和为 强化训练 1．的展开式中的系数为（   ） A．12 B．36 C．54 D．108 2．的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 3．在的展开式中，项的系数与常数项之比为4，则实数a的值为（   ） A． B．1 C． D．2 4．若，则的值为（    ） A．15 B．16 C．120 D．240 5．的展开式中的系数为（    ） A．120 B．－120 C．110 D．－110 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．若二项式的展开式中，x和的系数相同，则非零常数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 9．的展开式中，的系数为（    ） A．220 B． C．100 D． 10．（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选）设，则（    ） A． B． C． D．除以的余数是 12．（多选）关于的展开式，下列说法正确的是（   ） A．展开式共有8项 B．展开式中第5项的二项式系数最大 C．展开式各项的系数之和为1 D．展开式中项的系数为448 13．（多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律.如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中，从左到右第8个数字是120 B．第20行所有数字中，从左到右数第11个数字最大 C．第9行所有数字之和为2046 D．从第2行到第行，每一行从左到右的第3个数字之和为 14．（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．常数项为1120 B．第4项二项式系数最大 C．所有项的二项式系数和为 D．所有项的系数和为 15．的展开式中的系数为__________． 16．已知二项式的展开式中的常数项为，则实数______． 17．已知的展开式中，项的系数为-10，则________. 18．已知，则______，______． 19．在二项式展开式中，第1项和第2项的二项式系数比为 (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 20．已知展开式共有11项. (1)求n的值，并求二项式系数的最大值； (2)求的值； (3)求的值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $