6.3.1 二项式定理【4大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.1 二项式定理 题型预览 题型一 二项式定理的正用、逆用 题型二 项的系数与二项式系数 题型三 展开式中的特定项 题型四 利用二项展开式的通项求参数 知识清单 二项式定理 1．二项式定理 (a＋b)n＝ ，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝． 【注意】(1)次数：各项的次数和都等于二项式的次数n (2)顺序：字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n 题型突破 题型一 二项式定理的正用、逆用 1．（25-26高二下·全国·课后作业）求的二项展开式． 【答案】 【分析】法一：直接利用二项式定理展开并化简；法二：先化简再利用二项式定理展开． 【详解】法一： ， 法二： ， ， ． 2．（25-26高二下·上海·月考）（1）计算 （2）化简 （3）化简 【答案】（1）2；（2）（3） 【分析】（1）根据且以及得出的值，再应用组合数公式计算即可. （2）利用组合数性质及组合数公式计算； （3）应用二项式展开式的逆用即可得解. 【详解】（1）由题意知，需满足且， 即满足不等式组，即，解得 所以原式. （2） （3） 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）（1）求的展开式； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）法一：直接利用二项式的展开式即可得到结果；法二：整理可得，结合二项式的展开式即可得到结果； （2）根据题意，反向利用二项式定理，即可得到结果. 【详解】法一： ． 法二：． （2）原式． 4．（24-25高二下·山西大同·月考）（1）求的展开式； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二项式展开公式直接展开即可得解； （2）逆用二项式定理进行合并即可得解． 【详解】（1）． （2）原式． 5．（25-26高二上·全国·期末）求多项式的展开式. 【答案】 【分析】利用完全平方公式将三项式转化为二项式，然后根据二项式定理即可得到展开式. 【详解】因为， 所以. 所以多项式的展开式为. 6．（24-25高二下·江苏·课前预习）（1）求的展开式. （2）化简：. 【答案】（1）；（2）. 【分析】利用二项式定理化简求值. 【详解】（1）法一: . 法二: （2） . 题型二 项的系数与二项式系数 7．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）二项式的展开式的第3项的二项式系数是（　　） A．21 B． C．84 D． 【答案】A 【分析】根据二项式展开式的通项公式结合组合数公式计算求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为. 展开式的第3项的二项式系数为. 8．（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则常数项为___________ 【答案】 【分析】根据题意，结合二项式系数性质得，再根据通项公式得时，展开式为常数项，再代入通项公式求解即可. 【详解】因为的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等， 所以，根据组合数性质易知， 所以展开式的通项公式为： , 令得， 所以常数项为 9．（2026·上海杨浦·二模）在的二项展开式中，常数项的值为______. 【答案】160 【分析】利用二项式定理展开式求解即可. 【详解】由二项式定理可知展开式通项为， 令，得，此时. 所以常数值为160. 10．（吉林四平市实验中学等校2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题）在的展开式中，的系数为（   ） A． B．120 C． D．960 【答案】C 【详解】在中，的系数为. 11．（25-26高二下·上海·期中）在的展开式中，含项的系数为__________（用数字作答） 【答案】 【详解】的展开式的通项公式为， 令可得：， 故含项的系数为. 12．（2026·上海静安·二模）在的二项展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】15 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项展开式的通项公式为. 令，解得，则. 故的系数为15. 题型三 展开式中的特定项 13．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）的展开式的第2项是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】展开式第二项为． 14．（2026·云南大理·二模）二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出通项，进而计算第四项即可； 【详解】二项式的通项为， 则． 故选：A. 15．（25-26高二下·吉林四平·月考）的展开式中的第2项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】展开式中的第2项为． 16．（25-26高二上·江西九江·期末）在的展开式中，常数项为（   ） A．15 B．40 C．60 D．80 【答案】C 【分析】利用二项式定理的通项公式进行求解. 【详解】由题，展开式的通项为， 令，所以展开式中常数项为. 故选：C. 17．（25-26高三上·广东汕头·期末）的展开式的中间一项是（    ） A．20 B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得中间一项为第4项，结合通项公式，整理计算，即可得答案. 【详解】由题意展开共有7项，中间一项是第4项， 所以. 故选：B 题型四 利用二项展开式的通项求参数 18．（2026·重庆·模拟预测）在的展开式中常数项为6，则（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】A 【分析】写出展开式通项，令的指数为0即可求解. 【详解】展开式通项 ，令 得. 所以常数项为，解得. 19．（2026·吉林长春·二模）的展开式中的系数为160，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】D 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，则可得展开式中的系数为，所以，解得. 20．（山西晋中市2025-2026学年高二下学期素养测评（二）数学试题）已知在二项式的展开式中，的系数是的系数的5倍，则__________. 【答案】7 【分析】由通项公式确定两项的系数，进而构造等式求解即可. 【详解】根据二项式展开式的通项公式，展开式的通项为 ， 因此：的系数为 ，的系数为 ， 由题意得： ， 代入组合数公式展开： ，因为， 两边约去，化简得： ， 整理得一元二次方程： 解得 或 ，舍去负根， 得. 21．（江苏宿迁市2025-2026学年第二学期期中质量监测高二数学）若展开式中的常数项为90，则常数的值为（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】展开式的通项为， 令，则，故常数项为，则. 22．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知的展开式中的系数为，则______． 【答案】 【详解】根据二项式定理的展开式可得，的通项公式为： ， 令，则的系数为， 又因为系数为，所以， 化简得，求解可得. 23．（2026·河南信阳·模拟预测）已知的展开式中常数项为180，则实数的值为__________. 【答案】 【详解】因为的展开式通项为， 令，解得， 可得常数项为，解得. 24．（2026·河南许昌·模拟预测）若（）的展开式中存在常数项，则的最小值为______. 【答案】5 【详解】展开式的通项为：， 令，得，因为，所以当时，取得最小值5. 强化训练 1．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理，对所给式子进行变形，然后结合二项式定理的形式求出结果． 【详解】设． 根据组合数的性质，则． 由二项式定理可知， 即． 那么， 因为，所以． 即，则． 故选：A． 2．（25-26高二下·山东枣庄·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 3．（25-26高二下·广东深圳·月考）已知的二项展开式共有12项，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，的二项展开式总项数为， 则，所以. 4．（25-26高三下·四川成都·月考）的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．16 D．240 【答案】D 【分析】由二项式展开通式直接计算即可. 【详解】由展开式的通项得， 令，得，常数项为. 5．（2026·山西大同·一模）若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【详解】的展开式中第3项与第6项的二项式系数分别为，， 由题意得，所以. 6．（25-26高三下·云南曲靖·月考）的展开式中的常数项为（   ） A．60 B．15 C．-15 D．-60 【答案】A 【详解】通项公式，由， 代入得. 7．（25-26高二下·湖北武汉·期中）的展开式中，的系数为__________． 【答案】 【详解】根据二项式展开式的通项公式， 可知的通项：， 根据题意令，则， 所以系数为：. 8．（2026·吉林白山·二模）展开式的第4项的二项式系数是___________．（用数字作答） 【答案】 【详解】展开式的第4项的二项式系数是. 9．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则__________. 【答案】6 【分析】利用二项式系数的性质求解. 【详解】由题得，所以， 故答案为：. 10．（2026·湖北宜昌·二模）写出一个能使的展开式中含有常数项的正整数的值为__________. 【答案】（答案不唯一，即可） 【详解】 展开式中通项为， 若展开式中含有常数项，则有解，则， 满足题意的一个正整数（答案不唯一，满足即可）. 11．（2026·内蒙古包头·二模）在的展开式中，含的项的系数是__________. 【答案】16 【详解】易知含的项为， 因此其系数为16. 12．（河南商丘市商师联盟2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题）已知. (1)求的值； (2)求的二项展开式中的常数项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用组合数计算公式求出； （2）利用通项公式求出，可得答案. 【详解】（1）由，得，即，解得，   由，得且，所以； （2）由（1），得， 的二项展开式中通项公式为，      令，得，     所以的二项展开式中，常数项为. 13．（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56． (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中的常数项． 【答案】(1)1 (2)180 【分析】（1）根据二项式系数公式，结合赋值法进行求解即可； （2）利用二项式通项公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意知，或（舍去），所以，故令，可得展开式中各项系数的和为； （2）由于二项式的通项公式为， 令，求得． 故展开式中的常数项为． 14．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知二项式的展开式中第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据二项式系数的概念和组合数计算公式求解； （2）由二项展开式通项公式，令的指数为0，求出，从而求出常数项. 【详解】（1）由题意可知，，则， 又，所以，解得. （2）二项式的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.1 二项式定理 题型预览 题型一 二项式定理的正用、逆用 题型二 项的系数与二项式系数 题型三 展开式中的特定项 题型四 利用二项展开式的通项求参数 知识清单 二项式定理 1．二项式定理 (a＋b)n＝ ，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝． 【注意】(1)次数：各项的次数和都等于二项式的次数n (2)顺序：字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n 题型突破 题型一 二项式定理的正用、逆用 1．（25-26高二下·全国·课后作业）求的二项展开式． 2．（25-26高二下·上海·月考）（1）计算 （2）化简 （3）化简 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）（1）求的展开式； （2）化简：． 4．（24-25高二下·山西大同·月考）（1）求的展开式； （2）化简：． 5．（25-26高二上·全国·期末）求多项式的展开式. 6．（24-25高二下·江苏·课前预习）（1）求的展开式. （2）化简：. 题型二 项的系数与二项式系数 7．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）二项式的展开式的第3项的二项式系数是（　　） A．21 B． C．84 D． 8．（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则常数项为___________ 9．（2026·上海杨浦·二模）在的二项展开式中，常数项的值为______. 10．（吉林四平市实验中学等校2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题）在的展开式中，的系数为（   ） A． B．120 C． D．960 11．（25-26高二下·上海·期中）在的展开式中，含项的系数为__________（用数字作答） 12．（2026·上海静安·二模）在的二项展开式中，的系数为______．（用数字作答） 题型三 展开式中的特定项 13．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）的展开式的第2项是（   ） A． B． C． D．1 14．（2026·云南大理·二模）二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·吉林四平·月考）的展开式中的第2项是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·江西九江·期末）在的展开式中，常数项为（   ） A．15 B．40 C．60 D．80 17．（25-26高三上·广东汕头·期末）的展开式的中间一项是（    ） A．20 B． C． D． 题型四 利用二项展开式的通项求参数 18．（2026·重庆·模拟预测）在的展开式中常数项为6，则（   ） A． B．1 C． D．6 19．（2026·吉林长春·二模）的展开式中的系数为160，则（   ） A．-2 B． C． D．2 20．（山西晋中市2025-2026学年高二下学期素养测评（二）数学试题）已知在二项式的展开式中，的系数是的系数的5倍，则__________. 21．（江苏宿迁市2025-2026学年第二学期期中质量监测高二数学）若展开式中的常数项为90，则常数的值为（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 22．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知的展开式中的系数为，则______． 23．（2026·河南信阳·模拟预测）已知的展开式中常数项为180，则实数的值为__________. 24．（2026·河南许昌·模拟预测）若（）的展开式中存在常数项，则的最小值为______. 强化训练 1．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山东枣庄·期中）（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东深圳·月考）已知的二项展开式共有12项，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·四川成都·月考）的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．16 D．240 5．（2026·山西大同·一模）若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 6．（25-26高三下·云南曲靖·月考）的展开式中的常数项为（   ） A．60 B．15 C．-15 D．-60 7．（25-26高二下·湖北武汉·期中）的展开式中，的系数为__________． 8．（2026·吉林白山·二模）展开式的第4项的二项式系数是___________．（用数字作答） 9．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则__________. 10．（2026·湖北宜昌·二模）写出一个能使的展开式中含有常数项的正整数的值为__________. 11．（2026·内蒙古包头·二模）在的展开式中，含的项的系数是__________. 12．（河南商丘市商师联盟2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题）已知. (1)求的值； (2)求的二项展开式中的常数项. 13．（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56． (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中的常数项． 14．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知二项式的展开式中第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $