精品解析：重庆市南川区第一中学校2025-2026学年八年级下学期4月期中阶段性数学试卷

南川一中2025—2026八下期中测试 数学试卷 一、选择题：（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，解题的关键是掌握（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念求解即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列各组线段 中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，7 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，22+32=13≠42，不符合题意； 选项B，32+42=25≠62，不符合题意； 选项C，52+122=169=132，符合题意； 选项D42+62=52≠72，不符合题意． 由勾股定理的逆定理可得，只有选项C能够成直角三角形， 故选C． 3. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行 B. 对角线互相平分 C. 一组对边相等 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理（①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形，④有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【详解】解：A、错误．一组对边平行无法判断四边形是平行四边形； B、正确．对角线互相平分的四边形是平行四边形； C、错误．一组对角相等无法判断四边形是平行四边形； D、错误．对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形 【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 4. 估计的值应在( ) A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】首先估算出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵3＜＜4， ∴5＜＜6． 故选C． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 5. 如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， ∴， 故选：D． 6. 若，则的值为（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质以及二次根式的性质，由题意中，根据绝对值的性质以及二次根式的性质化简即可，掌握以上性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， ∴ ， 故选：A． 7. 下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中梅花的朵数，发现规律即可解决问题，能根据所给图形发现梅花朵数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； ； ∴第个图形中梅花的朵数为， 当时，（朵）， 即第个图形中梅花的朵数为朵， 故选：． 8. 如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长，再通过菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，从而求出菱形的高． 【详解】解：如图，令交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ． ∵菱形面积， 设边上的高为h， ∵菱形面积， ∴， ． 9. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；解题的关键是由折叠性质得，结合平行线内错角相等推出，从而，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：矩形沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 10. 如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】在上取一点，使，连接，此时的最小值为的长． 【详解】解：在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， 在等腰直角中，，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴的最小值是5． 二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 12. 若正多边形的每一个外角为，则这个正多边形是_____边形． 【答案】五 【解析】 【分析】由一个多边形的外角为和每一个外角都是，可求得其边数． 此题考查了多边形的外角和定理．熟练掌握“多边形的外角和等于”是解答此题的关键． 【详解】解：正多边形的外角和等于， ∴这个正多边形的边数， 故这个正多边形是五边形． 故答案为：五． 13. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，点的坐标特征以及勾股定理的应用，解题关键是利用矩形性质将求的长转化为求对角线的长． 根据点坐标得到两直角边长度，运用勾股定理计算出的长度，利用矩形对角线相等的性质，将求的长转化为求的长即可． 【详解】解：如图所示： 连接、，过点向轴作垂线，垂足为，向轴作垂线，垂足为 ， ∵点D的坐标是，O是原点， ∴， ， 在中， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 14. 如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，中，，，，在同侧分别以，为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，勾股定理，阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差是解题的关键；由勾股定理得，根据等于以为直径的半圆面积和加上直角三角形的面积再减去以为直径的半圆面积，即可求得结果． 【详解】解：由勾股定理得：； 即 以为直径的半圆面积以为直径的半圆面积以为直径的半圆面积 ； 故答案为：24． 16. M是一个四位数自然数各个数位上的数互不相等且都不为0，若，称M为95数，则最小的95偶数M是_______；已知知M为95数，若，当最大且是8的倍数时称M是最美95数，则最大的最美95数是_______． 【答案】 ①. 1382 ②. 7619 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式的表示，先根据最小的95偶数M，可知各个数位上的数，解答①；根据题意要使得最大，千位要尽可能大，从9开始考虑，表示出，然后讨论最大，且是8的倍数时可得答案． 【详解】解：∵，即 要得这个数是最小的95偶数M，则要最小，即，要最小且为偶数，即， ∴，， 即最小的95偶数； ∵为95数， ∴， ∵， 要使得最大，千位要尽可能大，从9开始考虑， 若，则大于90，则小于5，与为两位数矛盾，不符合题意； 若，则只能为1，此时， ∴， 当时，有最大值14，但不是8的倍数，故此时不是最美95数，不符合题意； 若，则可以取1，2， 当时，此时， ∴， 当时，有最大值13，但不是8的倍数，故此时不是最美95数，不符合题意； 当时，此时， ∴， 当时，是8的倍数且最大，符合题意； 综上，最大的最美95数是7619． 故答案为：1382，7619． 三、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除混合运算，先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题方法是解题的关键． （1）先计算零指数幂，再根据二次根式的乘除法则运算，最后合并即可； （2）先根据完全平方公式计算，再根据二次根式的乘除运算，然后合并即可； 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 小育同学在学习了平行四边形的知识后，思考：如何在平行四边形里面作出一个菱形？他发现：通过角平分线构造平行四边形，再利用平行四边形边的关系可得到菱形．请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）在中，用尺规作的角平分线交于点，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：中，，的角平分线交于，在上截取，连接．证明：四边形是菱形． 证明：平分 ①______． 四边形为平行四边形， ， ②______， ， ③______． ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 是菱形．（④______） 【答案】（1）见详解 （2），，，一组邻边相等的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作图—角平分线，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线的做法进行作图，得出点E，再以点为圆心，以的长为半径，画弧交于一点，即为，进行作答即可； （2）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，得出，再通过等角对等边得，结合，则，再证明四边形是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：平分 ． 四边形为平行四边形， ， ， ． ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 是菱形．（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 故答案为：，，，一组邻边相等的平行四边形是菱形 四、解答题（本大题共7题，每题10分，共70分） 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将除法转化为乘法运算，再进行加减运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 20. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，） 【答案】（1）米 （2）他应该往回收线6米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意可知：米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴（负值已舍去)， 米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 ∵风筝沿方向下降7米，保持不变，如图， ∴此时的(米)， 即此时在中，米，有(米)， 相比下降之前，缩短长度为(米)， ∴他应该往回收线6米． 21. 如图，在中，点，分别为，的中点，延长至点，使得，连接，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形判定，平行四边形的判定的综合，掌握全等三角形判定，平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）根据点是的中点，可得，根据，可得，由“角边角”即可求证； （2）根据中位线，平行线的性质，四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：点是的中点， ， ， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ，， 四边形是平行四边形． 22. 重庆动物园的大熊猫“渝可”“渝爱”憨态可掬，获得不少市民喜爱，动物园文创超市售有相应的熊猫抱枕和熊猫挂件． （1）已知熊猫抱枕单价比熊猫挂件单价贵30元，若购买8个熊猫抱枕和18个熊猫挂件共花费500元，则熊猫抱枕和熊猫挂件的单价分别为多少元？ （2）新年伊始，重庆动物园又推出了龙年专属抱枕与龙年专属挂件，某校准备购进一批龙年专属抱枕与龙年专属挂件，已知龙年专属抱枕单价是龙年专属挂件的3倍，若学校1200元购进的龙年专属挂件的数量比学校2700元购进的龙年专属抱枕的数量多20个，则学校购进了多少个龙年专属抱枕？ 【答案】（1）熊猫抱枕的单价是40元，则熊猫挂件的单价为10元； （2）学校购进了60个龙年专属抱枕； 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的实际应用，根据题意找到等量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设熊猫抱枕的单价是x元，则熊猫挂件的单价为元，根据购买8个熊猫抱枕和18个熊猫挂件共花费500元列出方程，解方程即可得到答案； （2）设学校购进了x个龙年专属抱枕，根据龙年专属抱枕单价是龙年专属挂件的3倍列方程，解方程并检验后即可得到答案． 【小问1详解】 解：设熊猫抱枕的单价是x元，则熊猫挂件的单价为元， ， 解得， 则， 答：熊猫抱枕的单价是40元，则熊猫挂件的单价为10元； 【小问2详解】 设学校购进了x个龙年专属抱枕，则购进龙年专属挂件的数量为个， 解得 经检验是分式方程的解且符合题意， 答：学校购进了60个龙年专属抱枕 23. 如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）详见解析 （2）96 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识， （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证； （2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，问题随之得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形对角线交于点O， ∴，即． ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 24. 如图，在四边形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为． （1）直接写出：_______，______；（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点P与点C不重合，且，当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】（1）； （2）当时，四边形是平行四边形； （3）当或秒时，是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可知，，则可用含的式子表示出； （2）根据四边形是平行四边形，且，得到，则，求解即可； （3）分两种情况讨论：①，②，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，且， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：由（1）知．，， ∵是等腰三角形，且， ∴①当时， ∴点在的垂直平分线上， ， ， ， ②当时，过点作于，如图： ， ，， ， ∴四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， ∵点在边上，不和重合， ∴此种情况符合题意， 综上，或秒时，是等腰三角形． 25. 在平行四边形中，． （1）如图1，若．求四边形的面积； （2）如图2，，点为边上一点，连接，点为上一点，连接交于点，连接，若点为边的中点，连接，且，求证：； （3）如图3，已知，点与点分别为线段与上的动点，满足，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点H，根据等腰三角形三线合一得到，根据勾股定理得到，即可求出平行四边形的面积； （2）分别延长交于点，根据等边对等角得到，可知，进而得到，根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得到，进而得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据勾股定理即可求证； （3）过点A作，使，根据全等三角形的判定和性质求出，可知当B、P、R三点共线时，的值最小，最小值为，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：过点D作于点H， ∴ ∵，， ∴ 在中，，， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：分别延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 在和中 ∴． ∴， ∴， ∴， ∴ ∵点H为边的中点 ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的最小值为 过点A作，使， ∵，， ∴ ∵， ∴ ， ∴， 当B、P、R三点共线时，的值最小，最小值为． ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南川一中2025—2026八下期中测试 数学试卷 一、选择题：（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组线段 中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，7 3. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行 B. 对角线互相平分 C. 一组对边相等 D. 对角线互相垂直 4. 估计的值应在( ) A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 5. 如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（　　） A. 3 B. C. D. 7. 下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 12. 若正多边形的每一个外角为，则这个正多边形是_____边形． 13. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是________． 14. 如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为______． 15. 如图，中，，，，在同侧分别以，为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为______． 16. M是一个四位数自然数各个数位上的数互不相等且都不为0，若，称M为95数，则最小的95偶数M是_______；已知知M为95数，若，当最大且是8的倍数时称M是最美95数，则最大的最美95数是_______． 三、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 小育同学在学习了平行四边形的知识后，思考：如何在平行四边形里面作出一个菱形？他发现：通过角平分线构造平行四边形，再利用平行四边形边的关系可得到菱形．请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）在中，用尺规作的角平分线交于点，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：中，，的角平分线交于，在上截取，连接．证明：四边形是菱形． 证明：平分 ①______． 四边形为平行四边形， ， ②______， ， ③______． ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 是菱形．（④______） 四、解答题（本大题共7题，每题10分，共70分） 19. 先化简，再求值：，其中 20. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，） 21. 如图，在中，点，分别为，的中点，延长至点，使得，连接，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 22. 重庆动物园的大熊猫“渝可”“渝爱”憨态可掬，获得不少市民喜爱，动物园文创超市售有相应的熊猫抱枕和熊猫挂件． （1）已知熊猫抱枕单价比熊猫挂件单价贵30元，若购买8个熊猫抱枕和18个熊猫挂件共花费500元，则熊猫抱枕和熊猫挂件的单价分别为多少元？ （2）新年伊始，重庆动物园又推出了龙年专属抱枕与龙年专属挂件，某校准备购进一批龙年专属抱枕与龙年专属挂件，已知龙年专属抱枕单价是龙年专属挂件的3倍，若学校1200元购进的龙年专属挂件的数量比学校2700元购进的龙年专属抱枕的数量多20个，则学校购进了多少个龙年专属抱枕？ 23. 如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求菱形的面积． 24. 如图，在四边形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为． （1）直接写出：_______，______；（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点P与点C不重合，且，当t为何值时，是等腰三角形？ 25. 在平行四边形中，． （1）如图1，若．求四边形的面积； （2）如图2，，点为边上一点，连接，点为上一点，连接交于点，连接，若点为边的中点，连接，且，求证：； （3）如图3，已知，点与点分别为线段与上的动点，满足，连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $