精品解析：重庆市南川区三校联盟2024-2025学年八年级下学期5月联合诊断（期中）数学试题

南川区“三校联盟”2025年春期联合诊断 八年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式．根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一般地，在某一变化过程中，有x和y两个变量，如果对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数． 【详解】解：A、C、D中的曲线都满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，能表示y是x的函数，不符合题意； B中的曲线对于x的每一个取值，y与之对应的值不唯一，不能表示y是x的函数，符合题意． 3. 如图，矩形中，对角线，交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定及性质；由矩形的性质得，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，即可求解；掌握矩形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， 故选：A． 4. 如图，为测量位于一水塘旁的两点间的直线距离，在地面上确定可直线到达点、点的点，分别取的中点，量得，则之间的直线距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的知识，理解并掌握三角形中位线的性质是解题关键．三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，据此即可获得答案． 【详解】解：∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 5. 已知一次函数（），随的增大而增大，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟记一次函数图象与系数的关系，属于中考必考题型．根据一次函数图象与系数的关系可知时，随的增大而增大，根据选项即可得到答案． 【详解】解：一次函数，随的增大而增大， ， 在四个选项中，只有A选项，， 故选：A 6. 估计的值在（　　） A. 7到8之间 B. 8到9之间 C. 9到10之间 D. 10到11之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算、无理数的估算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先将原式进行计算，然后估算其结果在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断． 【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误； D、有一个角是直角的菱形是正方形，故D选项正确； 故选：D． 8. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 时，两架无人机都上升了 B. 时，两架无人机的高度差为 C. 乙无人机上升的速度为 D. 时，甲无人机距离地面的高度是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图象的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由图象可得， A．时，甲无人机上升了，乙无人机上升了，故错误； C．甲无人机的速度为：，乙无人机的速度为：，故错误； B．时，两架无人机的高度差为：，故正确； D．时，甲无人机距离地面的高度是，故错误； 故选：B． 9. 如图，在正方形中，M是边上一点，E是的中点，平分，下列结论：①，②平分，③，④，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理；①延长交的延长线于，由可判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的判定及性质，即可判断；②等腰三角形的性质，即可判断；③设，，由勾股定理得，即可判断；④由①得，即可判断；掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，能添加恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 【详解】解：①延长交的延长线于， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， E是的中点， ， 在和中 ， （）， ， ， 故①正确， ②，， 平分， 故②正确； ③设，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故③正确； ④由①得： ， ， ， 故④正确； 故选：D． 10. 定义一种新运算：，例如：，给出下列说法： ①； ②的解集为； ③若点P是函数的图象上一点，则点P到x轴的距离最小值是2． 以上说法中正确的是( ) A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据新定义运算法则并结合一次函数的性质即可判断求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故正确； 当，即时， 由得，， 解得， ∴不等式无解，该情况不存在； 当，即时， 由得，， 解得， ∴，故错误； 当，即时，， ∵， ∴， ∴点到到轴的距离大于； 当，即时， ， 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴点到到轴的距离大于； ∴点到到轴的距离大于，故正确； ∴正确的是：① 故选：． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 如图，在菱形中，，，点为边的中点，连接．则的长是______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由菱形的性质可得，，，进而得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， 故答案为：． 13. 一次函数的图象经过点两点，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式，掌握待定系数法成为解题的关键． 将两点代入的二元一次方程组求解得到k、b的值，然后求和即可． 【详解】解：将两点代入可得：，解得：， 所以． 故答案为：3． 14. 如图，在长方形中，，，点E为边上的一个动点，把沿折叠，若点A的对应点刚好落在边的垂直平分线上，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，由折叠的性质得到：，由勾股定理求出，由矩形的性质得到，求出，令，由勾股定理得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵垂直平分， ∴垂直平分， ， 由折叠的性质得到：， ， ， 四边形是矩形， ， ， 令， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，图形折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题关键． 15. 已知整数a使得不等式组的解集为，且使得一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a的和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一元一次不等式组，利用一次函数的性质确定的取值范围是解决问题的关键． 先利用不等式组的解集的确定方法得到，再根据一次函数的性质得到，从而得到的取值范围，然后确定整数的值，从而计算满足条件的整数的和． 【详解】解：解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， ∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得， ∴的范围为， ∵为整数， ∴为、、， ∴满足条件的整数的和为． 故答案为：． 16. M是一个四位数自然数各个数位上的数互不相等且都不为0，若，称M为95数，则最小的95偶数M是_______；已知知M为95数，若，当最大且是8的倍数时称M是最美95数，则最大的最美95数是_______． 【答案】 ①. 1382 ②. 7619 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式的表示，先根据最小的95偶数M，可知各个数位上的数，解答①；根据题意要使得最大，千位要尽可能大，从9开始考虑，表示出，然后讨论最大，且是8的倍数时可得答案． 【详解】解：∵，即 要得这个数是最小的95偶数M，则要最小，即，要最小且为偶数，即， ∴，， 即最小的95偶数； ∵为95数， ∴， ∵， 要使得最大，千位要尽可能大，从9开始考虑， 若，则大于90，则小于5，与为两位数矛盾，不符合题意； 若，则只能为1，此时， ∴， 当时，有最大值14，但不是8的倍数，故此时不是最美95数，不符合题意； 若，则可以取1，2， 当时，此时， ∴， 当时，有最大值13，但不是8的倍数，故此时不是最美95数，不符合题意； 当时，此时， ∴， 当时，是8的倍数且最大，符合题意； 综上，最大的最美95数是7619． 故答案为：1382，7619． 三、解答题：（本大题共9个小题，17、18题各8分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，记住先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）先将括号内的二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式即可； （2）利用乘法公式计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 学习了平行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，这两条角平分线与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： （1）如图，用直尺和圆规，过点D作的角平分线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：四边形是平行四边形，连接平分平分．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，①________， ． 平分平分， ． ②________， ③________ ， 四边形是平行四边形． 实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则四边形为④________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，角平分线的尺规作图，平行四边形的性质与判定，等角对等边等等，熟知菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据已给推论过程，结合平行四边形性质与判定定理，菱形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，①， ． 平分平分， ． ②， ③， 四边形是平行四边形． 实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则④四边形是菱形． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果：；求值结果： 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，完全平方公式因式分解．根据题意先将括号内通分，再计算除法即可，后将代入化简结果即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 将代入得． 20. 已知关于的函数． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若，求该函数图象与轴的交点坐标． 【答案】（1）3 （2）函数图象与x轴的交点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数，熟悉正比例函数和一次函数的特点是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义即可得出的值； （2）当时，函数为一次函数，令，即可得出图象与轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：是的正比例函数， ， 解得． 故的值为：3． 【小问2详解】 解：当时，该函数的表达式为， 令，得， 解得， 当时，该函数图象与轴的交点坐标为． 21. 如图，在中，点，分别为，的中点，延长至点，使得，连接，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形判定，平行四边形的判定的综合，掌握全等三角形判定，平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）根据点是的中点，可得，根据，可得，由“角边角”即可求证； （2）根据中位线，平行线的性质，四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：点是的中点， ， ， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ，， 四边形是平行四边形． 22. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿着折线运动（点不与点重合）．设点运动的路程为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值． 【答案】（1） （2）图像见详解，性质：当时，y随着x的增大而增大（答案不唯一） （3）1或4 【解析】 【分析】（1）分类讨论，表示出底和高，直接求解即可； （2）画出正比例函数和一次函数的图像，找出两点，连接即可，注意端点是空心，性质可以写正比例函数和一次函数的性质即可； （3）从图像直接观察即可求解． 【小问1详解】 解：如图：当， 如图：当时， ∴， 综上所述：； 【小问2详解】 解：函数的图象为， 一条性质：当时，y随着x的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：观察图象可得时或． 【点睛】本题考查了求函数解析式的求解，画函数图像，已知函数值求自变量的值，正比例函数和一次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 23. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定及性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质． （1）由和平分可得，从而，进而根据菱形的定义得证结论； （2）由求出，进而，，在中，根据勾股定理构造方程，即可求得的长，根据面积公式即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴， ∵在菱形中，， ∴． 24. 某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的收取费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示： （1）填空：甲种收费方式的函数关系式是________，乙种收费方式的函数关系式是________． （2）该校某年级每次需印刷（含200和500）份学案，选择哪种印刷方式较合算． 【答案】（1），； （2）当时，选择乙种方式合算；当时，甲、乙两种方式一样合算；当时，选择甲种方式合算． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，读懂函数图像是解题的关键． （1）设甲种收费的函数关系式，乙种收费的函数关系式是，直接运用待定系数法就可以求出结论； （2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当时，当时，当时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式． 【小问1详解】 解：设甲种收费的函数关系式，乙种收费的函数关系式是， 由题意，得，， 解得：，， ∴，； 则甲种收费方式的函数关系式是（且x为整数）， 乙种收费方式的函数关系式是（且x为整数）， 【小问2详解】 解：由题意，得当时，，得；； 当时，，得； 当时，，得； 当时，选择乙种方式合算； 当时，甲、乙两种方式一样合算； 当时，选择甲种方式合算． 25. 如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． （1）求证：； （2）在图1中，若在上，且，连接，求证：； （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，请直接写出的长度________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）因为为正方形，所以，，又因为，则，即可求证； （2）因为，，则有，又因为，所以，，则，故成立； （3）①过点作交的延长线于点，利用勾股定理即可求得的长；②把旋转得到，过作于，根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质可得到，，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：在正方形中，，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：，， ， （已证）， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①如图，过点C作，交的延长线于点， 由（2）和题设知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； ②如图，把旋转得到，过作于， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南川区“三校联盟”2025年春期联合诊断 八年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，矩形中，对角线，交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 4. 如图，为测量位于一水塘旁的两点间的直线距离，在地面上确定可直线到达点、点的点，分别取的中点，量得，则之间的直线距离是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数（），随的增大而增大，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 6. 估计的值在（　　） A. 7到8之间 B. 8到9之间 C. 9到10之间 D. 10到11之间 7. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 8. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 时，两架无人机都上升了 B. 时，两架无人机的高度差为 C. 乙无人机上升的速度为 D. 时，甲无人机距离地面的高度是 9. 如图，在正方形中，M是边上一点，E是的中点，平分，下列结论：①，②平分，③，④，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 定义一种新运算：，例如：，给出下列说法： ①； ②的解集为； ③若点P是函数的图象上一点，则点P到x轴的距离最小值是2． 以上说法中正确的是( ) A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 如图，在菱形中，，，点为边的中点，连接．则的长是______． 13. 一次函数的图象经过点两点，则的值为______． 14. 如图，在长方形中，，，点E为边上的一个动点，把沿折叠，若点A的对应点刚好落在边的垂直平分线上，则的长为____． 15. 已知整数a使得不等式组的解集为，且使得一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a的和为_______． 16. M是一个四位数自然数各个数位上的数互不相等且都不为0，若，称M为95数，则最小的95偶数M是_______；已知知M为95数，若，当最大且是8的倍数时称M是最美95数，则最大的最美95数是_______． 三、解答题：（本大题共9个小题，17、18题各8分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 学习了平行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，这两条角平分线与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： （1）如图，用直尺和圆规，过点D作的角平分线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：四边形是平行四边形，连接平分平分．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，①________， ． 平分平分， ． ②________， ③________ ， 四边形是平行四边形． 实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则四边形为④________． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知关于的函数． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若，求该函数图象与轴的交点坐标． 21. 如图，在中，点，分别为，的中点，延长至点，使得，连接，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿着折线运动（点不与点重合）．设点运动的路程为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值． 23. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 24. 某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的收取费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示： （1）填空：甲种收费方式的函数关系式是________，乙种收费方式的函数关系式是________． （2）该校某年级每次需印刷（含200和500）份学案，选择哪种印刷方式较合算． 25. 如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． （1）求证：； （2）在图1中，若在上，且，连接，求证：； （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，请直接写出的长度________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $