10.3 实际问题与二元一次方程组 同步练习 2025--2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组实际应用，以基础巩固为核心，通过古代数学情境与生活问题分层设计，构建从单一等量关系到综合方案设计的知识进阶路径，培养数学眼光与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一等量关系列方程组|选用《算法统宗》饮酒、分银两等古代数学诗题（选择1-4），强化文字信息转化能力| |中档|复杂情境等量关系构建|设置幻方填充（填空11）、植树活动（填空10）等问题，提升多条件关联推理能力| |提高|综合应用与方案设计|设计消毒液购买方案（解答16）、长方形分割（解答15）等题，渗透分类讨论思想，发展数学思维|

人教版七年级下学期10.3实际问题与二元一次方程组 一．选择题（共6小题） 1．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多薄？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2．我国明代数学读本《算法统宗》里有一道题，其题意为：客人一起分银两，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为x人，银子为y两，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树．”设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 4．古代一歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，请问能算士，鸦树多少数．若设乌鸦x只，树y棵，由题意则可得方程组（　　） A． B． C． D． 5．古书《四元玉鉴》中有记载：“酒分醇醨，醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？（一斗为十升）”，译文：“酒分为醇酒和醨酒（醇酒是浓酒，醨酒是淡酒），醇酒1升可以醉倒3位客人：醨酒3升可以醉倒1位客人．总共饮用了‘一斗九’的酒（即19升），醉倒了33位客人．问：饮用了多少醇酒和多少醨酒？（注：1斗＝10升）”．则下列说法错误的是（　　） A．设饮用了x升醇酒，y升醨酒．列出方程组为： B．设饮用了x升醇酒，则饮用了（19﹣x）升醨酒．列出方程为： C．饮用了10升醇酒 D．饮用了10升醨酒 6．龙年来临，小兰要做玩偶龙和福袋作为新年礼物，她去市场买了36米布，每米布可以做龙玩偶25只，或者福袋40个，小兰将1只玩偶龙和2个福袋配成一套礼物，结果发现布没有剩余，恰好配套做成了礼物．若设用x米布做龙，用y米布做福袋，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 7．《九章算术》中有如下问题：“雀五、燕六共重十九两；雀三与燕四同重．雀重几何？”题意是：若5只雀、6只燕共重19两；3只雀与4只燕一样重．设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，根据题意，可列方程组为 　 　 ． 8．某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵：如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学 　 　 人． 9．《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？设共有x人买鸡，鸡价为y文钱，可列方程组为　 　 ． 10．市三中七年级学生开展义务植树活动，参加者是未参加者人数的3倍，若该年级人数减少6人，未参加人数增加6人，则参加者是未参加者人数的2倍，则该校七年级学生共有　 　 人． 11．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则m的值为　 　 ． 12．南北朝时期，《荆楚岁时记》记载：“夏至节日食粽．”粽子成为夏至节令食物，唐宋时期，夏至吃粽子的习俗纳入到端午．端午节来临之际，小北同学和他的妈妈一起去超市购买粽子，已知3个甲种粽子和5个乙种粽子共19元，2个甲种粽子和3个乙种粽子共12元．若设每个甲种粽子x元，每个乙种粽子y元，则根据题意，可列方程组为　 　 ． 三．解答题（共4小题） 13．某广播站要招聘一名小记者，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试、面试以及成员评议（每人必须投一票，每票记1分），其成绩如下： 笔试 面试 成员评议 甲 80 90 m 乙 85 80 n 丙 70 90 12 （1）求m、n的值． （2）根据招聘要求，笔试低于80分不录用，“笔试”“面试”“成员评议”按照50%、40%、10%折算计入总分，总分最高者将被录用．已求得甲的总分为77.8分，那么谁将被录用？请说明理由． 14．甲、乙两个码头相距140千米，有一艘轮船在两地间航行，从甲到乙顺水航行需要7小时，从乙返回甲逆水航行10小时，求轮船在静水中的速度及水流速度． 15．在长为10m，宽为8m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分割出三个形状、大小完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示．求一个小长方形花圃的面积． 16．初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格200ml的甲品牌消毒液和规格500ml的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． （1）求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； （2）若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共4000ml，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多薄？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒”列出方程组，即可求解． 【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意得： ， 故选：A． 2．我国明代数学读本《算法统宗》里有一道题，其题意为：客人一起分银两，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为x人，银子为y两，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】设客人为x人，银子为y两，根据每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，列出二元一次方程组，即可求解． 【解答】解：设客人为x人，银子为y两，根据每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，列出二元一次方程组为： ， 故选：C． 3．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树．”设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用已知表示出乌鸦的数量进而得出答案． 【解答】解：设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组： ． 故选：A． 4．古代一歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，请问能算士，鸦树多少数．若设乌鸦x只，树y棵，由题意则可得方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意列二元一次方程组即可． 【解答】解：根据题意可列方程组为， 故选：C． 5．古书《四元玉鉴》中有记载：“酒分醇醨，醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？（一斗为十升）”，译文：“酒分为醇酒和醨酒（醇酒是浓酒，醨酒是淡酒），醇酒1升可以醉倒3位客人：醨酒3升可以醉倒1位客人．总共饮用了‘一斗九’的酒（即19升），醉倒了33位客人．问：饮用了多少醇酒和多少醨酒？（注：1斗＝10升）”．则下列说法错误的是（　　） A．设饮用了x升醇酒，y升醨酒．列出方程组为： B．设饮用了x升醇酒，则饮用了（19﹣x）升醨酒．列出方程为： C．饮用了10升醇酒 D．饮用了10升醨酒 【分析】根据题意正确列出方程组或方程，求解即可得到答案． 【解答】解：根据题意列方程得， 故选项A正确，不符合题意； 设饮用了x升醇酒，根据题意列方程得：， 解得：x＝10， 则19﹣x＝9， ∴饮用了10升醇酒，饮用了9升醨酒， 故选项B、C正确，不符合题意；选项D错误符合题意； 故选：D． 6．龙年来临，小兰要做玩偶龙和福袋作为新年礼物，她去市场买了36米布，每米布可以做龙玩偶25只，或者福袋40个，小兰将1只玩偶龙和2个福袋配成一套礼物，结果发现布没有剩余，恰好配套做成了礼物．若设用x米布做龙，用y米布做福袋，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组． 【解答】解：由题意可得， ， 即， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．《九章算术》中有如下问题：“雀五、燕六共重十九两；雀三与燕四同重．雀重几何？”题意是：若5只雀、6只燕共重19两；3只雀与4只燕一样重．设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，根据题意，可列方程组为 　　 ． 【分析】根据“5只雀、6只燕共重19两；3只雀与4只燕一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵5只雀、6只燕共重19两， ∴5x+6y＝19； ∵3只雀与4只燕一样重， ∴3x＝4y． ∴所列方程组为． 故答案为：． 8．某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵：如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学 　65　 人． 【分析】设原长方形彩旗队阵有同学n人，设n+16＝a2，n﹣16＝b2，根据题意列出方程组，即可求出a、b的值，从而求出n的值． 【解答】解：设原长方形彩旗队阵有同学n人， 由已知得n+16和n﹣16均为完全平方数， 设n+16＝a2，n﹣16＝b2， 则a2﹣b2＝32，即（a+b）（a﹣b）＝32， 由a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a，b都为自然数，可得 ， 解得， 所以n＝a2﹣16＝65（人）， 故答案为：65． 9．《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？设共有x人买鸡，鸡价为y文钱，可列方程组为　　 ． 【分析】设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，根据“如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱， 根据题意得：， 故答案为：， 10．市三中七年级学生开展义务植树活动，参加者是未参加者人数的3倍，若该年级人数减少6人，未参加人数增加6人，则参加者是未参加者人数的2倍，则该校七年级学生共有　96　 人． 【分析】可设参加者有x人，未参加者有y人，根据参加者是未参加者人数的3倍可列出一个方程，再根据该年级人数减少6人，未参加人数增加6人，则参加者是未参加者人数的2倍可列出第二个方程，求方程组的解即可． 【解答】解：设参加者有x人，未参加者有y人，根据题意得： ， 解得：， 则该校七年级学生共有x+y＝72+24＝96（人）． 故答案填：96． 11．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则m的值为　4　 ． 【分析】根据“每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，”列出方程组，即可求解． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：4． 12．南北朝时期，《荆楚岁时记》记载：“夏至节日食粽．”粽子成为夏至节令食物，唐宋时期，夏至吃粽子的习俗纳入到端午．端午节来临之际，小北同学和他的妈妈一起去超市购买粽子，已知3个甲种粽子和5个乙种粽子共19元，2个甲种粽子和3个乙种粽子共12元．若设每个甲种粽子x元，每个乙种粽子y元，则根据题意，可列方程组为　　 ． 【分析】设每个甲种粽子x元，每个乙种粽子y元，根据3个甲种粽子和5个乙种粽子共19元可得方程3x+5y＝19，根据2个甲种粽子和3个乙种粽子共12元可得方程2x+3y＝12，据此列出方程组即可． 【解答】解：由题意得， 故答案为：． 三．解答题（共4小题） 13．某广播站要招聘一名小记者，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试、面试以及成员评议（每人必须投一票，每票记1分），其成绩如下： 笔试 面试 成员评议 甲 80 90 m 乙 85 80 n 丙 70 90 12 （1）求m、n的值． （2）根据招聘要求，笔试低于80分不录用，“笔试”“面试”“成员评议”按照50%、40%、10%折算计入总分，总分最高者将被录用．已求得甲的总分为77.8分，那么谁将被录用？请说明理由． 【分析】（1）先求出成员评议总分，根据题意列出方程组，进而得出答案； （2）根据题意淘汰丙，再根据已知条件求出乙的总分，进而得出答案． 【解答】解：12÷50%＝60（分）， ， 解得：， 答：m＝18，n＝30． （2）甲被录用，理由如下： ∵笔试低于80分不录用， ∴丙被淘汰， 乙的总分为85×50%+80×40%+30×10%＝77.5（分）， ∵77.8＞77.5， ∴甲被录用． 14．甲、乙两个码头相距140千米，有一艘轮船在两地间航行，从甲到乙顺水航行需要7小时，从乙返回甲逆水航行10小时，求轮船在静水中的速度及水流速度． 【分析】设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时，由于甲、乙两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，由此即可方程组解决问题． 【解答】解：设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时， 依题意得， 解得． 答：这艘船在静水中的速度和水流速度分别为17千米/小时，3千米/小时． 15．在长为10m，宽为8m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分割出三个形状、大小完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示．求一个小长方形花圃的面积． 【分析】设一个小长方形花圃的长为xm，宽为ym，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【解答】解：设一个小长方形花圃的长为xm，宽为ym，根据题意得， ， 解得， ∴一个小长方形花圃的面积为xy＝2×4＝8（m2）． 16．初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格200ml的甲品牌消毒液和规格500ml的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． （1）求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； （2）若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共4000ml，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案． 【分析】（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶，根据甲，乙两种品牌消毒液总共4000ml列出方程，求出方程的所有整数解，即可得到答案． 【解答】解：（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元， ， 解得， 答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶，甲，乙两种品牌消毒液总共4000ml， 200m+500n＝4000， ∴， 当n＝2时，， 当n＝4时，， 当n＝6时，， 有三种方案： 方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/11 18:27:23；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $