4.1同角三角函数的基本关系 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

4.1同角三角函数的基本关系 一、教学目标 1.理解并掌握同角三角函数的两个基本关系式， 2.能利用基本关系解决知一求二、化简、证明三角恒等式问题， 3.体会等价转化与分类讨论思想，提升运算与逻辑推理能力. 二、教学重难点 教学重点：平方关系、商数关系的推导与直接应用 教学难点：根据角所在象限判断符号；齐次式化简与恒等式证明， 三、本节内容和内容解析 本节课是三角恒等变换的第一节，以单位圆与三角函数定义为基础，推导得出平方关系与 商数关系内容包括：公式推导、知一求二、化简求值、恒等式证明，是后续三角变换的基础， 起到承上启下的作用. 四、学情分析 学生已掌握任意角三角函数定义、单位圆、象限符号判断，但对符号取舍、齐次式处理、 恒等变形不够熟练，需通过例题强化步骤规范， 五、教学准备 教师准备：准备好课件，利用课件动态展示教学内容. 学生准备：提前预习教材146-149页内容 六、教学过程设计 (一)知识拓展，情境入： 教师活动： 1.提问：任意角的终边与单位圆交点坐标是什么？ 2.由坐标满足的关系，引出本节课内容：同角三角函数的基本关系 学生活动： 1.回答：坐标为cos,sima) 2.观察并猜想关系式，进入新课 (二)新课讲授 探索新知：推导基本关系 教师活动 1.由单位圆上点到原点距离为1，得：sma+cos2Qx=1(平方关系) 2.由正切定义得：tana sinc(cosa≠0)（商数关系） cosa 3.强调：同角才能用， 学生活动 理解推导过程，熟记两个公式. 例题讲评： 例1已知sino= ;,且角a的终边在第二象限，求cosa和tana的值 解：由(4.1)式有cosa=1-sim2a=1-(侍)2=是， 3 又角x的终边在第二象限，cos<0,所以cosa=-5' 再由(4.2)式有tana=器=专÷（-号)=-寺. 例2已知cosa=- 3,求sina和tana的值. 1 解：由(4.1)式有sin2a=1-cos2a=1-（-￥)=2瓷： 12 因为cosa=- <0,所以角α的终边在第二或第三象限。 当α的终边在第二象限时，s>0, sna=V隔=，tan=器=条÷(-最)=-是， 当a的终边在第三象限时，s<0, sa=-V路=-条，tan=器=（-)÷（-最)=是 例3已知tana=mm≠0：求sina和cos. sin2a+cos2m=1① 解：由(4.1)和(4.2)这两个关系式，有 器=m② 由②式得sim2a=m2os2a:③ 将③式代入①式得2cos2a+cos2a=1从而cos2a= m2+1 因为tana=m≠0，即角a的终边不在x轴、y轴上，所以 1 当a是第一、第四象限角时； V1+m COSO= V1+mg 当是第二、第三象限角时 m V1+m2' 当α是第一、第四象限角时； sina=cosatana= m V1+n, 当α是第二、第三象限角时. 例4已知sin-cosa=- ,r<a< 3π 2 求tana的值， 解：由已知条件和(4.1)式，有 sin-cos=-专 sin a+cos2a 1 消去cosa,得25n2a+5sina-12=0. 或sina=-4.因为元<a< 3 解方程，得sino= 3π 5 5 2 snr<0,所以sina=-4, 代入已划条华利ea=子于是由生2》 tana=器=（-)÷（-)=寺. 例5已知tax=3,求sima+cose sina-cosa sina+1 解：因为tana= in&=3,所以cos≠0：所以 sina +cosa cosa 3+1=2 cos a ina-cosa sina1 3-1 cosa 例6求证： cosa 1+sina 1-sina cosa cosa 证明： 1+sina_cos2a-(1+sina)(1-sina) 1-sina cosa (1-sina)cosa cos2a-(1-sin'a) (1-sina)cosa os2a-os3g=0,所以原式成立. (1-sina)cosa 例7求证： 1-2sin0 cos0 cos20-sin20 cos20-sin20 1+2sin0 cos0 证明：由(4.1)式有-2血9 sin20+cos20-2sinecose cos20-sin'e cos20-sin‘8 sine-cose) = cos0sine (cose-sineXcos0+sine) cos0+sine cos20-sin2e (cose-sine)(cos0+sine) cose-sine 1+2sin0 cos0 (sine+cose)2 cos8+sin8· 故-29cs9 cos20-sine cps2g-sin日 =1+2sin0cos日· (三)课堂练习 3 1.已知a是第二象限角，sinx=亏，则cosa=() B.5 D. 4 5 2.已知tana= cosa 2-sina 则sina=() A.5 B. 3 2 D 4 2 (四课堂小结 1.两个基本关系 平方关系：sim2+cos2=1 商数关系：tana=sina (cosa≠0) cosa 2.知一求二步骤 用平方关系求第二个，由象限定符号，用商数求第三个 3.常用技巧 齐次式：同除cos2a化为tana 证明：化简一边等于另一边 4.关键：先定符号，再算数值 (五布置作业 教材第150页，练习第1-4题