第4章 §2 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 （Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦两角和与差的正弦、正切公式及其应用，以已学的两角和差余弦公式为基础，通过诱导公式推导正弦公式，结合商数关系推导正切公式，构建完整的三角公式体系，为三角恒等变换提供学习支架。 资料以川剧“变脸”类比公式拓展激发兴趣，通过问题链引导公式推导培养推理能力，例题按“给角求值、给值求值、给值求角”分类，结合“看角、看名、看结构”方法提升应用意识。课中辅助教师引导学生自主推导，课后即时练与总结助学生巩固知识、查漏补缺。

2．2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 新课导入 学习目标 同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？其神奇的表演让观众叹为观止，在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习的两角和与差的余弦公式就是这样的“表演者”之一，今天我们就利用两角和与差的余弦公式的“变脸”，对公式进一步拓展． 1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式推导两角和与差的正弦公式． 2．能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导两角和与差的正切公式． 3．能利用两角和与差的三角函数公式进行简单的化简、求值等． 思考1　你能把两角和的正弦用两角差的余弦公式和诱导公式表示出来吗？ 提示：sin (α＋β)＝cos [－(α＋β)]＝cos [(－α)－β]. 思考2　试比较sin (α－β)和sin (α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？ 提示：我们注意到α－β＝α＋(－β)，于是我们可以根据两角和的正弦公式推出两角差的正弦公式． 思考3　根据同角三角函数的商数关系tan θ＝，怎样由sin (α＋β)以及cos (α＋β)的公式将tan (α＋β)，tan (α－β)用tan α，tan β来表示？ 提示：tan (α＋β)＝＝， 分子分母同除以cos αcos β，弦化切可得tan (α＋β)＝；用“－β”替换tan (α＋β)中的“β”就可得到tan (α－β)＝. [知识梳理] 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正弦 sin (α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β Sα＋β α，β为任意角 两角差的正弦 sin (α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β Sα－β 两角和的正切 tan (α＋β)＝ Tα＋β α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan (α－β)＝ Tα－β α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (　　) (2)存在α，β∈R，使得sin (α－β)＝sin α－sin β成立． (　　) (3)对于任意α，β∈R，sin (α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．　 (　　) (4)sin 78°cos 18°－cos 78°sin 18°＝. (　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．＝ (　　) A．－ B． C． D．1 解析：选C.因为cos 85°＝sin 5°，所以＝＝＝＝.故选C. 3．求值：＝________． 解析：＝ ＝tan (－)＝tan (－)＝－tan ＝－. 答案：－ 解决给角求值问题的方法 (1)一看“角”，首先要清楚题目中有几个角，如果有多个角度，可以考虑先统一角度；其次看已知条件和要求的式子中的角度，是否存在等量关系． (2)二看“名”，即函数名称．看题目中正弦、余弦、正切，考虑变函数名，如用诱导公式将正弦余弦相互转化． (3)三看“结构”，即看式子的结构特征，包括整体特征和局部特征，根据特征联想合适的式子． 常用结论 tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan (α－ β)(1＋tan αtan β)， tan αtan β＝1－＝－1. [例1] (1)(对接教材例3)若α∈(0，)，且cos (α－)＝，则sin α的值为 (　　) A． B． C． D． (2)(对接教材例4)已知tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝4，则tan 2α＝________． (3)已知0＜α＜＜β＜π，cos β＝－，sin (α＋β)＝，则tan α＝________． 【解析】　(1)因为α∈(0，)， 所以α－∈(－，)， 又因为cos (α－)＝＜cos (－)＝， 所以α－∈(，)， 所以sin (α－)＝＝， 则sinα＝sin [(α－)＋]＝sin (α－)＋cos (α－)＝.故选A. (2)tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)] ＝＝－. (3)由题意，sin β＝＝， 且＜α＋β＜， 故cos(α＋β)＝－＝－. 故sinα＝sin [(α＋β)－β] ＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β ＝×(－)－(－)×＝. 故cos α＝＝， tan α＝＝＝. 【答案】　(1)A　(2)－　(3) 解决给值求值问题的策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后运用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． [跟踪训练1] (1)若cos α＝－，α∈，则sin ＝____________． 解析：因为cos α＝－，α∈， 所以sin α＝＝＝， 所以sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝. 答案： (2)若＝3，tan (α＋β)＝3，则tan β＝_________． 解析：＝＝3，即tan α＝2， 故tan β＝tan (α＋β－α)＝＝＝. 答案： [例2] 已知α∈，β∈，且tan α＝2，tan β＝3，则α＋β＝ (　　) A． B． C． D． 【解析】　由tan α＝2，tan β＝3得tan (α＋β)＝＝＝－1， 由于α∈，β∈， 且tan α>0，tan β>0，所以α，β∈， 所以α＋β∈(0，π)，故α＋β＝. 【答案】　C 母题探究　本例条件“tan α＝2，tan β＝3”变为“tan α，tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两实根”，则α＋β＝____________． 解析：因为tan α，tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两个根， 所以tan α＋tan β＝－6<0，tan αtan β＝7>0， 则有tan α，tan β均小于零，则α，β∈， 则tan (α＋β)＝＝＝1. 又由α，β∈，则α＋β∈(－π，0)， 则α＋β＝－. 答案：－ 解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某个三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角的范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角的范围是(，)或(－，)时，选取求正弦值． [跟踪训练2] (1)如图，有三个相同的正方形相接，若∠ABC＝α，∠ACD＝β，则α＋β＝ (　　) A． B． C． D． 解析：选B.设正方形的边长为1，由题图可得tan α＝，tan β＝，则tan (α＋β)＝＝1，又0＜α＋β＜π，所以α＋β＝.故选B. (2)已知α为钝角，β为锐角，且满足cos α＝－，sin β＝，则α－β＝________． 解析：方法一：由题意知，sin α＝，cos β＝，且0＜α－β＜π，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝－.所以α－β＝. 方法二：由α为钝角且cos α＝－可得<α<π，由β为锐角且sin β＝可得0<β<，故<α－β<π，同方法一可得sin α＝，cos β＝，所以sin (α－β)＝sin αcos β－sin βcos α＝，所以α－β＝. 答案： 1．若tan α＝3，tan β＝5，则tan (α－β)的值为 (　　) A．－ B．－ C． D．－ 解析：选A.tan (α－β)＝＝＝－，故选A. 2．(多选)下列式子正确的是 (　　) A．sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝1 B．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝1 C．＝ D．sin 14°cos 74°－cos 14°sin 74°＝－ 解析：选CD.对于A，易得sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin 22°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin (22°＋48°)＝sin 70°≠1，故A错误；对于B，sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝sin 20°·(－cos 70°)＋(－cos 20°)sin 70°＝－sin (20°＋70°)＝－1≠1，故B错误；对于C，＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝，故C正确；对于D，sin 14°cos 74°－cos 14°·sin 74°＝sin (14°－74°)＝－sin 60°＝－，故D正确．故选CD. 3．(2025·萍乡月考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos β＝，则α＋β＝________． 解析：由题知cos β＝，β为锐角， 故sin β＝＝， 故tan β＝＝＝， 故tan (α＋β)＝＝＝1，又α，β为锐角，故α＋β∈(0，π)，故α＋β＝. 答案： 4．已知α∈(0，π)，β∈(0，π)，sin (α－β)＝，＝－5，求α＋β的值． 解：由sin (α－β)＝，得sin αcos β－cos αsin β＝，由＝－5，得sin αcos β＝－5cos αsin β，于是sin αcos β＝，cos αsin β＝－，而α∈(0，π)，β∈(0，π)，显然sin α＞0，sin β＞0，则cos α＜0，cos β＞0，即α∈(，π)，β∈(0，)，于是α＋β∈(，)，又sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋(－)＝，所以α＋β＝. 1．已学习：两角和与差的正弦、正切公式的正用、逆用、变形用；给角求值、给值求值、给值求角． 2．须贯通：利用和角、差角公式求值(化简)时，关键是找出已知式子与待求式子之间的联系及函数名称和结构的差异，弄清已知角与所求角之间的关系，恰当的运用拆角、拼角技巧，化异角为同角． 3．应注意：(1)两角和与差的正弦、正切公式的结构特征；(2)给值求角问题中角的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $