山东济宁市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

济宁一中2024级高二下学期期中考试数学试题 一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.己知函数f(x)=x-1,则f1)=（) A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知随机变量X服从正态分布N(3,7),P(X>2)=0.8,则P(X≥4)=() A.0.7 B.0.3 C.0.8 D.0.2 3.设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则其导函数"(x)的图象可能是() 4.函数f(x)=x3-12x在区间[-3,2]上的最大值是() A.16 B.-16 C.-9 D.9 5.在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1,2,3,4,5， 6,现从盒中一次取出2个小球，设事件A为“取出2个小球的数字之和大于6'，事件B为 “取出的2个小球中最小数字为3”，则P(B|A)=() 3 B.11 c. D. 6.（++2 的展开式中，常数项为() A.2 B.4 C.6 D.12 试卷第1页，共4页 7.若函数f)-士a+2血x在32习上有极值，则a的取值可能是() A.-1 B C.0 D.1 8.若存在a>0,对任意的x∈(0，+o),都有xlnx+2a≥ax+b,则b的最大值为() C.2ln2 D.1+n2 e 二、多项选择题：本题共有3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设离散型随机变量X的分布列为 X 6 8 P 0.3 0.4 m 若Y=2X-1,则() A.E(X)=6 B.D(X0=2.4 C.E(Y)=12 D.D()=9.6 10.A、B、C、D、E五名同学安排值日，下列说法正确的是() A.五人值五天，每人值一天，A、B两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种 B.安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法 C.五人值五天，每人值一天，要求A、B、C三人值日的先后顺序固定，则一共有20 种安排方法 D.A、B、C三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安 排方法 11.记函数f(x)的导函数为(x),己知f(I)=e,且x∈R,f'(x)<(x),则下列结论 正确的是() A.f(0)>1 B.f(2)>e2 C.若f(x)为偶函数，则f'(x)>-f(x)D.f(x)可能为二次函数 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f)=1+nx,其单调增区间为 13.若(1+x2)=4,+qx2+a,x4+ax+a4x3,则4-4+4-马+a4的值为 试卷第2页，共4页 14.甲和乙各自从n(n≥6，n∈N)门选修课中任意选取3门，记X为被甲或乙选中的选修课 数量，则X的数学期望E(X)为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 1” 在2x2+ 的二项展开式中 x (1)若n=6,求展开式中含x项的系数： (2)若展开式中含有常数项，求最小的正整数的值. 16.(15分) 为发展业务，某调研组对A,B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内n(∈N)个 人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计，若 一次抽取2个城市，全是小城市的概率为5 (1)求n的值； (2)若一次抽取3个城市，设取出小城市的个数为X,求X的分布列 17.(15分) 己知函数f(x)=e2-x+2a (I)求函数f(x)的单调区间和极值： @求证：当a>h2-1且x>0时，2e>22-2m+2 试卷第3页，共4页 18.(17分) 某人工智能实验室要对一款新型学习智能体进行轮测试（每轮测试的结果相互独立），每 轮测试中智能体会随机接受A类与B类任务中的一个.已知该智能体每轮成功完成A类任务 的概率均为子，每轮成功完成5类任务的概率均为行·成功完成一次A类任务得1分，成功 完成一次B类任务得2分，不成功均得0分.记智能体在第1轮测试后的得分为X. (1)求X的分布列： (2)记智能体经过2轮测试后的总得分为Y,求P(X=1Y≥3)： (3)每轮测试中智能体成功完成A类或B类任务就称为过关，.记轮测试中智能体过关的次 数为Z,求E(Z)和D(Z). 19.(17分) 己知函数f(x)=ae+lnx-1,g(x)为f(x)的导数. (1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)讨论g(x)零点的个数： (3)设为f(x)的零点，证明：当0<x<1时，f(x)<g(x) 试卷第4页，共4页济宁市第一中学2024.…高1”学期期中考试 数学答题卡 姓名： 班级： 贴条形码区 准考证号： 考场： 座号： 1答题前墙先将姓名、准考证号填写清楚，并认真核对考科目：如有条形码请在规定位置贴好。 注意 2.选择题必须使用2B铅笔涂；非选择请使用0.5米黑色签字笔书写，要求字体工登、笔迹清楚 事项3.墙严格按照题号在相应答题医域内作答，超出答题医域的答案无效：在草璃纸、战卷上答题无效 4.保持卷面清洁、不要装订、折产、被损。5正偏动涂：■锚误填涂：√一|0 选择题（共11题，满分58分，1到8每小题5分，9到11每小题6分) 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][c][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D]6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D]7.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 填空题（共3题，满分15分） 12. 13. 14. ■ -1- ■ 15.（13分) -2- ■ 16.（15分) ■ 3- 00 17.（15分) ■ -4- ■ 18.（17分) ■ -5- ■ ■ 19.(17分) ■ -6- ■《济宁一中2024级高二下学期期中考试数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 6 6 8 9 10 答案 0 D A ⊙ C ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1.D 【分析】借助导数运算法则计算即可得. 【详解】结合慰意得了)-2x+子，则了0=2x1+节=3 2.D 【分析】根据正态密度曲线的对称性可求得结果」 【详解】因为随机变量X服从正态分布N(3,7),P(X>2)=0.8, 故P(X≥4)=1-P(X<4)=1-P>2)=1-0.8=0.2. 故选：D 3.C 【详解】当x<0时，由图知函数f(x)减函数，则导函数f'(x)<0,排除A,B; 又因当x>0时，∫(x)的图象趋势依次为增、减、增，则'(x)的值应依次为正、负、正， 故D项不符合，C项符合· 4.A 【分析】根据题意，求导可得∫(x)的极值，从而得到结果 【详解】因为f'(x)=3x2-12,令f'(x)=0,解得x=±2， 当x∈(（-3，-2)时，f(x)>0,即(x)单调递增， 当x∈(（-2,2)时，'(x)<0,即f(x)单调递减， 所以∫(x)在x=-2时取得极大值，即最大值f(-2)=(-2)+2×12=16, 所以∫(x)在区间[-3,2]上的最大值是16： 故选：A 5.c 【分析】根据题意，分别求得事件A和事件AB的概率，结合条件概率的计算公式，即可求 答案第1页，共11页 解 【详解】从装有6个大小质地完全相同的小球的盒中一次取出2个小球，共有C%=15种取 法， 其中事件A={1,6),(2,5),(2,6),3,4),(3,5),(3,6,(4,5),(4,,(5,6)}, 有9种取法，概率为P(4=S 93 事件4B=《3,4.6,.B,O,有3种取法，概率为P4B)=； 所以P(B|A)= P(AB)1 P(A)3 故选：C 6.C 【分析】先将三项式变为两项式，再利用展开式的通项可得 【1+-可-（+- 通项为TH=C4x4(x)'=Cx42”, 令4-2r=0→r=2,所以常数项为C?=6. 故选：C 7.B 【分析】将函数求导，将函数有极值问题转化为方程α= 但-1在后习 上有变号实根， 通过求二次函数的值域即得α的取值范围， 【详解】函影f)x+2x在行2上有极值。 即=a-a2有变号零 也即方程a=（ 小-1在行小上有变号实根。 可州1目矿10，当日汉当=1时等号成立 答案第2页，共11页 故需使a∈(-1,0). 故选：B. 8.C 【分析】问题转化为b≤xnx+2a-ax在(0，+o)上恒成立，令f(x)=xlnx+2a-ar,利用导 数求出f(xmn=2a-ea-1,则存在a>0,使b≤2a-e1,令g(a)=2a-e-1(a>0),利用导 数求出g(a)的最大值即可得到b的最大值. 【详解】任意的x∈(0，+o),都有xnr+2a≥ar+b, 则有b≤xnr+2a-ac在(0，+o)上恒成立， 令f(x)=xnr+2a-ax,函数定义域为(0，+o), f'(x)=lnr+1-a,令f'(x)=0,解得x=e-1, 0<x<e1时，f(x)<0,f(x)在(0，e-1)）上单调递减： x>ea-1时，f'(x)>0,f(x)在(ea-1,+o）上单调递增， f(xmn=f(e-）=e-n(e-）-ae-1+2a=2a-e-1, 因此存在a>0,使b≤2a-ea-1, 令g(a=2a-ea(a>0),g'(a)=2-ea-1,令g'(a=0,解得a=1+hn2, 0<a<1+n2时g'(a)>0,g(a)在(0,1+ln2)上单调递增： a>1+ln2时g'(a)<0,g(a在(1+n2,+w)上单调递减， 有8(ax=g(（1+n2)=21+ln2e+21=2ln2, 所以a=1+n2时，b的最大值为2n2. 故选：C 9.ABD 【分析】根据分布列的性质得出m=0.3.进而根据期望方差公式得出E(X),D(X)的值，根据 对应关系Y=2X-1,得出E(Y),D()的值 【详解】对于A、B项，由表格可得0.3+0.4+=1，所以m=0.3」 答案第3页，共11页 则E(X)=4×0.3+6×0.4+8×0.3=6, D(X)=(4-6)×0.3+(6-6)×0.4+(8-6)×0.3=2.4.故A正确，B正确： 对于C、D项，因为Y=2X-1,E(X)=6,D(X)=2.4, 所以，E(Y)=2E(X)-1=2×6-1=11,D(Y)=2D(X)=9.6,故C错误，D正确， 故选：ABD 10.ACD 【分析根据相邻问题捆绑即可求解A,根据排列即可求解B,根据分组分配问题即可求解C, 利用列举，结合分步乘法计数原理即可求解D. 【详解】对于A,将A、B两名同学看作一个整体，与其他三个同学一起全排列，则共有 A4A?=48种情况，故A正确， 对于B,安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有 cccccccc=60+90=150种安排方法，故B错误， A A 对于C,由于A、B、C三人值日的先后顺序固定，只需要将剩下两名同学安排好即可，故共 有A=20种方法，故C正确， 对于D,从三个人中选2个人安排在第一天和第二天，则有A?=6种方法，假若前两天值日 的人为分别为AB,则6天的安排有ABCABC,ABCACB,ABCBAC,ABCBCA,ABACBC共有5 种，故总的安排有6×5=30，故D正确， 故选：ACD 11.ACD 【分析】构造函数（四，利用导数，由慰意可得（四是减函数，由此判断A,B:若f问 为偶函数，则f(-x)=∫(x),两边求导，可得"(x)为奇函数，由此判断C,用特殊值法， 可判断D 【详解】由f'(x)<f(x),得∫'(x)-∫(x)<0, 因为e>0,所 f)e-f国e<0 (e 答案第4页，共11页 所以O,f但，即了O)>1,所以A正确： e f2f但，即f(2)<e,所以B不正确： e2 e 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x) 两边求导，得-∫'(-x)=∫"(x),所以(x)是奇函数 由xeR,f'(x)<f(x),得f'(-x)<f(-x)=f(x). 所以f"(x)=-∫(-x)>-f(x),所以C正确： 假设f(x)=ar2+bx+c,则f'(x)=2ar+b 由f(I)=e,得a+b+c=e. 由f(0)>1,得c>l,所以b=e-c-a<e-a-1. 由f'(x)<f(x),得ax2+bx+c>2ax+b,即ax2+(b-2a)x+(c-b)>0恒成立； a>0 a>0 a=b-2n-4ae-bK0,即{424ac+b<0 则 令a=1,c=2,b=e-3,则4-8+(e-3)2=(e-5)(e-1)<0成立， 所以f(x)可能为二次函数，所以D正确. 12.(0,1) 【分析】先求出函数f(x)的导函数∫'(x),再通过导函数大于0即可求得函数的单调递增区 间. 【详解】由题得函数的定义域为(0，+∞) 由f)=1+血x,则f(=二hx, 2, 令f')=n>0,得xe(0,1), x2 所以f(x)的单调递增区间为(0,1). 故答案为：(0,1) 答案第5页，共11页 13.0 【分析】通过赋值x=i,代入即可求解 【详解】由(1+x2)=a,+4x2+a,.x4+ax+a4x3,令x=i, 则有(1+i)=a+42+4i4+4i+a财， 即4-4+a-4+a4=(1-1)A=0. 故答案为：0 14.6-9 【分析】设X为第i门课是否被选中，利用独立事件乘法公式求解P(X,=1),再利用数学 期望的线性性质求出E(X). 【详解】 法一：将n(n≥6，n∈N)门选修课编号为l,2,3,,n, 设X为第i门课是否被选中，X,= 1,第门课被选中 0,第门课未被选中' 则X=X+X+X++X, 又P(X=1)=1-P(X=0)=1 (x=2x+++X)=41=69 法二：X的可能取值是3,4,5,6，则 C31 P(X-3)CC PX=4)=c月cC-3-30m-3) C·C3C Px=5)=月c5c层-30n-3)0-4 2C3 PX=6) C3C2-3_CR3 C%·C3 C·cc 9 E(X)=6- n 15.(1)60 (2)5 【分析】(1)利用二项展开式的通项计算可得结果： 答案第6页，共11页 5 (2)由通项得出含有常数项时n=二k,再结合其范围可得当k=4时，n取最小值5. 4 【详解】(1)当n=6时，展开式的通项为 741=Cg(（2x2)- 26-C5x2- 令12-k=2,解得=4 所以展开式中含x2项的系数为2C。=60 @展大的运。c旷 =2cx2, 由于展开式含有常数政，可得2业&=0 即n=3k,又k∈N,n∈N 即当k=4时，n取最小值5，此时展开式含有常数项， 因此最小的正整数n的值为5. 16.(1)n=7 (2)分布列见解析 【分析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可。 (2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3，用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而 得到X的分布列 【详解】(1)由慰意一次抽取2个城市，全是小城市的概率为5， 4 8x7 4 n+8)0n+715,得n=7或n=-22(舍)， 故n=7. (2)由题知X的可能取值为0,1,2,3 P(x=0=9=3,P==gC9=24 C365 P(X=2)=cC28 8PT=) C365 故X的分布列为： 答案第7页，共11页 X 0 1 2 3 P 1 2 65 65 17.(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】(1)对函数f(x)求导并令导数为0，找到临界点，通过分析导数在不同区间的符 号确定函数单调性，进而求出极小值与极大值： (2)构造函数g(x)并求导，将问题转化为分析导函数g'(x)=f(x)的最小值，结合已知a的 范围判断g(x)恒正，从而推出g(x)单调性，最终证明不等式。 【详解】1)两数f=e-x+2a的定义域为4，f)-e1,令了)=0，解得 x=2In2, 当x∈(-w,2ln2)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(2n2,+o)时，f"(x)>0,f(x)单调递增。 所以f(x)的单调递减区间是(-p,2n2),单调递增区间是(2ln2,+o): 极小值为f(2ln2)=2-2n2+2a,无极大值， 2令g=。-传r-2ax+2则g=c-+2a=j网 由(1)可知，f(x)即g'(x)的最小值为f(2n2)=2-2ln2+2a, 已知a>ln2-1,代入得：f(2ln2)=2-2ln2+2a>2-2ln2+22-1)=0, 因此g'(x)>0对任意x恒成立，故g(x)在(0，+o)上单调递增， 当x>0时，8)>8@=21-0-0-2=0，即：2>2x-2a+2得证 2 【点睛】本题的核心是通过导数分析函数单调性，以极值为桥梁，将不等式证明转化为函数 最小值的符号判断， 18.(1)分布列为： 0 2 > 12 6 答案第8页，共11页 倒B(②n,D②)=3 5 144 【分析】(1)根据题意求出对应随机变量的概率，得到分布列： (2)根据条件概率公式求解即可； (3)利用二项分布的期望、方差公式求解即可 【详解】(1)X的可能取值为0,1,2， PC-0 x=x-6 所以分布列为： X 0 2 > 1 1 12 6 (2)由(1D,P≥3)=2x2x2x21, 111 x4666g,P(x=1nY≥3)=4624 1 所以P(x=1p≥3)P(X=1nY3).243 P(Y≥3) 18 9 (3)由题意，P(xX≥1)=1- 75 1212 所以z-) 所以（购，n列=合}溜 19.(1)y=0 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)利用导数的几何意义求得切线斜率即可求得切线方程： (2)由题意得g)=e-匹，等价于()=e-c在(0，+w)零点的个数，分a≤0，a>0 xe' 两种情况判断单调性，进而可得零点个数； 答案第9页，共11页 (3)(i)若a≤e,结合(2)的单调性，可得x,≥l,可得8()=ln+ 上-1，构造函数 k(x)=mx+1-1,求导可得结论：(i)若a>e,由(2)可知，g(四)在区间(0,1)存在一个 零点飞，可得了四≤f(5),可得f)=m,+士-1，进而构造函数()=了9)+g(四， 进而有p()=k(),p()=k(),可得结论 【详解】(1)当a=e时，fy)=e+nx-1,则f'(x)=-e-+ 故f(1)=0,f'(1)=0,曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=0. (2)因为g(N)=-ae‘+e二匹，且e>0,故8(x)零点的个数等价于函数 h(x)=e-r在(0，+o)零点的个数. 当a≤0时，h(x)>0,h(x)没有零点. 当a>0时，i(x)=e-a,令h(x)=0,则x=lna, 且当x<lna时，(x)<0,h(x)单调递减，当x>na时，h(x)>0,h(x)单调递增. 又h(x)≥h(ha=a(1-ha,当0<a<e时，h(x)>0,此时没有零点； 当a=e时，h(x)≥h(I)=0,此时有一个零点. 若a>e,则h(ha<0,又h(0)=1>0,h(1)=e-a<0,h(a)=e-a2>0, 结合h(x)的单调性可知，h(x)在区间(0,1)和(na,a各恰有一个零点， 即g(x)=f'(x)在区间(0,1)存在一个零点x1,在区间(lna,a存在一个零点x3. 综上，当a<e时，g(x)没有零点；当a=e时，g(x)有一个零点；当a>e时，g(x)有两个 零点 (3)(i)若a≤e,由(2)可知，h(x)在区间(0,1)没有零点，且f"(x)>0, 故f(x)在区间(0,1)单调递增，f()<f()=a-1≤0，且此时≥1. e 因为f6)=aet+m6-1=0,故8)=f'k)=ae+1m,+ 11 设(r1,则到当0x1时，(×0，()举调递减， 答案第10页，共11页 当x>1时，k'(x)>0,k(x)单调递增，故g()=k()≥k(1)=0. 故当a≤e时，f(x)<0≤g(). (i)若a>e,由(2)可知，8(x)在区间(0,1)存在一个零点1， 即f(x)在(0,1)存在唯一极大值点x,故当0<x<1时，f(x)≤f(:). 由(2)可知，玉>1，且f(3)=ae5+,-1=+是-1=k6,)>k0=0, X2 故当x≥时，都有f(x)>0. 又因为f(e)=ae-a-1<0,且f(x)在区间(0，x)单调递增， 故f(x)存在唯一零点，且满足e<<,<1. 设()-fe)+8()-n+日1-(， 则p(6)=f()+g()=g()=k(),p(:)=f(x)+g(:)=f(s)=k() 由上可知，k(x)在区间(0,1)单调递减，且0<<x1<1, 故k(s)=f(:)<()=g(),此时也有f(x)≤f()<g(), 综上，由(i),(i)可知，当0<x<1时，f(x)<g(). 答案第11页，共11页