期末复习 第8章 四边形专题练习2025-2026学年苏科版八年级数学下册

期末复习-第8章 四边形专题练习2025-2026学年苏科版八年级数学下册 一．选择题（共8小题） 1．▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝3，AC＝6，BD＝4，则△AOB的周长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．13 2．已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．下列条件： ①AB∥CD，AD∥BC； ②AB∥CD，AD＝BC； ③∠A＝∠C，∠B＝∠D； ④∠A＝∠C，AO＝CO； ⑤AB∥CD，AO＝CO． 其中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．①③④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 3．要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（　　） A．AB＝BC B．AC＝BD C．∠B＝∠D D．AC⊥BD 4．如图，l1∥l2，平行四边形、三角形、梯形放置于l1和l2之间，它们的面积分别记为S1、S2，则下列正确的是（　　） A．S1＞S2＞S3 B．S1＝S2＞S3 C．S1＞S2＝S3 D．S1＝S2＝S3 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是CD的中点，过点E作EF⊥CD交AC于点F，连接BF，若∠BAC＝35°，则∠CBF的度数为（　　） A．20° B．35° C．55° D．70° 6．如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（　　） A．①∠ABC＝90° B．②AC⊥BD C．③BD平分∠ABC D．④AB＝BC 7．如图，已知不共线三点A，B，C，点D是平面内的动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．下列关于四边形MNPQ的说法正确的是（　　） ①存在无数个平行四边形MNPQ； ②存在无数个菱形MNPQ； ③存在无数个矩形MNPQ； ④存在两个正方形MNPQ． A．① B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（　　） ①EG＝EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB平分∠EFG； ④EA平分∠GEF； ⑤四边形BEFG是菱形． A．③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤ 二．填空题（共10小题） 9．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的对角线AC与BD的交点是原点O，已知点A的坐标是（﹣1，﹣1），则点C的坐标是　 　 ． 10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，∠AOD＝100°，作AE⊥BD，则∠BAE的度数为　 　 °． 11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝6，OD＝5，点P在AB上，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF＝　 　 ． 12．已知菱形ABCD，∠ABC＝30°，AD＝6，则S菱形ABCD＝　 　 ． 13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AC＝6．过点O作OE⊥CD于点E，则OE的长为　 　 ． 14．两个正方形按如图所示位置摆放，若∠2＝65°，则∠1＝　 　 ． 15．如图，DE是△ABC的中位线，CD是△ABC的高线，若AB＝6，CD＝4，则DE的长度为　 　 ． 16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，若∠D＝130°，则∠B＝　 　 °． 17．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点P在AD上，且PD＝2，点E是线段BC上不与端点重合的一个动点，连接BP，EP，将△BPE关于直线PE对称的三角形记作△FPE，若PF垂直于矩形的一边，则线段BE的长是　 　 ． 18．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝　 　 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 三．解答题（共9小题） 19．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，BF＝DE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 20．如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点B在伞柄（AB）上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，A，E，H三点重合（即AF＝EF，EG＝HG），点B与点M重合，四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC＝14cm，EF＝10cm． （1）求CF的长度； （2）若BC＝AC，∠BAC＝60°，BC＝AC，∠BAC＝60°，DG＝22cm，求E，H两点之间的距离． 21．如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长． 22．如图，平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，∠ABC的平分线交边AD于点F，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）记AE、BF的交点为O，连接OC．若AB＝4，AD＝7，∠ABC＝60°，求OC的长． 23．我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为a，b（a≥b），我们把定义为菱形的“神似度”． （1）当菱形的“神似度”＝　 　 时，菱形就是正方形； （2）当∠BAD＝60°时，求菱形ABCD的“神似度”． 24．请用不同于课本呈现的方法，证明三角形的中位线性质定理． 定理：三角形的中位线　 　 ． 已知：　 　 ． 求证：　 　 ． 证明： 25．如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形（AB＝CD，AD∥BC，AD≠BC），某同学想知道该杯子最大盛水高度（即C到AD的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据：AC＝AD＝13cm，CD＝10cm．请帮该同学计算： （1）杯子最大盛水高度； （2）内底面的直径（BC的长度）． 26．如图，四边形OABC是平行四边形，其中点A坐标是（10，0），点O坐标是（0，0），点C坐标是（4，6）． （1）请直接写出点B的坐标 　 　 ； （2）已知点D是线段CB上一个动点，若三角形OAD是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； （3）已知直线：y＝kx+b正好将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 27．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）经过多少时间，四边形ABQP成为矩形？ （2）经过多少时间，四边形PQCD成为等腰梯形？ （3）问四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝4， ∴，， ∴△AOB的周长为OA+OB+AB＝3+2+3＝8， 故答案为：A． 2．【解答】解：根据平行四边形的判定可得：①③⑤能使四边形ABCD是平行四边形， 故选：B． 3．【解答】解：A、由AB＝BC，能判定平行四边形ABCD是菱形，不一定是矩形，故不符合题意； B、由AC＝BD，能判定平行四边形ABCD是矩形，故符合题意； C、由∠B＝∠D，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意； D、AC⊥BD，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意； 故选：B． 4．【解答】解：设l1和l2之间的距离为h， ∵l1∥l2， ∴S1＝5h，，， ∴S1＝S2＝S3＝5h． 故选：D． 5．【解答】解：连接DF， ∵菱形ABCD， ∴AB＝BC，AC垂直平分BD， ∴∠BCA＝∠BAC＝35°， ∵点F在AC上， ∴DF＝BF， ∵E为CD中点，且FE⊥CD， ∴FE垂直平分CD， ∴DF＝CF， ∴CF＝BF， ∴∠CBF＝∠BCA＝35°， 故选：B． 6．【解答】解：A、根据四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°得出四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意； B、根据四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD得出四边形ABCD是菱形，故此选项不符合题意； C、∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形， 故此选项不符合题意； D、菱形ABCD本身就具备AB＝BC，所以此选项符合题意； 故选：D． 7．【解答】解：连接AC、BD， ∵AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q， ∴PQ∥AC，PQAC，MN∥AC，NMAC，PN∥BD，PNBD， ∴PQ∥MN，PQ＝MN，QM∥PN，QM＝PN， ①当AC与BD不平行时，如图1， ∵PQ∥MN，PQ＝MN， ∴中点四边形MNPQ是平行四边形， 故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形； ②当AC＝BD且AC与BD不平行时，如图2， ∵PQ＝MNAC，QM＝PNBD，AC＝BD， ∴PQ＝MN＝QM＝PN， ∴中点四边形MNPQ是菱形； 故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形； ③当AC⊥BD（B，D不重合）时，如图3， ∵PQ∥MN∥AC，QM∥PN∥BD，AC⊥BD， ∴PQ⊥PN， ∴中点四边形MNPQ是矩形； 故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形； ④当AC⊥BD，AC＝BD时，如图4， ∵PQ∥MN∥AC，QM∥PN∥BD，AC⊥BD， ∴PQ⊥PN， ∵PQ＝MNAC，QM＝PNBD，AC＝BD， ∴PQ＝MN＝QM＝PN， ∴中点四边形MNPQ是正方形； 故存在两个中点四边形MNPQ是正方形． 综上：正确的有①②③④． 故选：D． 8．【解答】解：设GF和AC的交点为点P，如图： ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EF∥CD，且EFCD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，且AB＝CD， ∴∠FEG＝∠BGE， ∵点G为AB的中点， ∴BGABCD＝FE， 在△EFG和△GBE中，， ∴△EFG≌△GBE（SAS），即②正确， ∴∠EGF＝∠GEB，GF＝BE， ∴GF∥BE， ∵BD＝2BC，点O为平行四边形对角线交点， ∴BOBD＝BC， ∵E为OC中点， ∴BE⊥OC， ∴GP⊥AC， ∴∠APG＝∠EPG＝90° ∵GP∥BE，G为AB中点， ∴P为AE中点，即AP＝PE，且GPBE， 在△APG和△EGP中，， ∴△APG≌△EPG（SAS）， ∴AG＝EGAB， ∴EG＝EF，即①正确， ∵EF∥BG，GF∥BE， ∴四边形BGFE为平行四边形， ∴GF＝BE， ∵GPBEGF， ∴GP＝FP， ∵GF⊥AC， ∴∠GPE＝∠FPE＝90° 在△GPE和△FPE中，， ∴△GPE≌△FPE（SAS）， ∴∠GEP＝∠FEP， ∴EA平分∠GEF，即④正确． ∵BG＝FE，GF＝BE， ∴四边形BEFG是平行四边形， 没有条件得出BEFG是菱形，⑤③不正确； 故选：B． 二．填空题（共10小题） 9．【解答】解：过A作AM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N， ∴∠CNO＝∠AMO＝90°， ∵A的坐标是（﹣1，﹣1）， ∴OM＝1，AM＝1， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝OA， ∵∠CON＝∠AOM，∠CNO＝∠AMO， ∴△CON≌△AOM（AAS）， ∴ON＝OM＝1，CN＝AM＝1， ∴则点C的坐标是（1，1）． 故答案为：（1，1）． 10．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AE⊥BD， ∴∠BAE+∠ABD＝90°，∠ADE+∠ABD＝90°， ∴∠BAE＝∠ADE， ∵矩形对角线相等且互相平分， ∴OA＝OD， ∴∠OAB＝∠OBA（180°﹣50°）＝65°， ∴∠BAE＝∠ADE＝90°﹣65°＝25°， 故答案为：25． 11．【解答】解：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝6，OD＝5， ∴∠ABC＝90°，AO＝BO＝CO＝DO＝5， ∴BD＝2OD＝10， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， ∴， 又∵S△OAB＝S△OAP+S△OBP ， ∴， ∴， 故答案为：． 12．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝6， ∴AB＝BC＝AD＝6， 过点A作AO⊥BC于点O， 由条件可知， ∴S菱形ABCD＝BC•AO＝6×3＝18． 故答案为：18． 13．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵AB＝5，AC＝6， ∴DC＝5，， ∴， ∴， ∵OE⊥CD， ∴， ∴． 故答案为：． 14．【解答】解：如图， 由题意可知，∠4+∠2＝∠3+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°， ∴∠3＝∠2＝65°，∠5＝25°， ∴∠1＝180°﹣25°＝155°， 故答案为：155°． 15．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴D为AB的中点，E为AC的中点， ∴， ∵CD是△ABC的高线， ∴∠ADC＝90°， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：2.5． 16．【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠D+∠C＝180°， ∵∠D＝130°， ∴∠C＝180°﹣130°＝50°， ∵梯形ABCD中，AB＝CD， ∴∠B＝∠C＝50°， 故答案为：50． 17．【解答】解：在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，CD＝AB＝6， ∵AP＝AD﹣PD＝8， ∴由勾股定理得， 由折叠的性质可得FP＝BP＝10，BE＝EF， 当PF⊥AB时，如图2所示， 过F作FG⊥BC交BC延长线于点G， ∵PF⊥AB，PA⊥AB， ∴PA∥PF， ∴P、A、F三点共线， 则四边形BAFG是矩形， ∴FG＝AB＝6，BG＝AF＝AP+PF＝18， 设BE＝EF＝y，则EG＝18﹣y； 在Rt△EFG中，由勾股定理得EG2+FG2＝EF2， ∴（18﹣y）2+62＝y2， 解得y＝10． ∴BE＝10． 当PF⊥BC时，如图1所示， 则四边形APQB是矩形， ∴PQ＝AB＝6，BQ＝AP＝8， ∴FQ＝PF﹣PQ＝4， 设BE＝EF＝x，则EQ＝BQ﹣BE＝8﹣x， 在Rt△EFQ中，由勾股定理得EQ2+FQ2＝EF2， ∴（8﹣x）2+42＝x2， 解得x＝5， ∴BE＝5； 综上所述，满足条件的BE的值为5或10． 故答案为：5或10． 18．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 当5＜t时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm， ∴10﹣t＝30﹣4t， 解得：t； 当t≤10时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm， ∴10﹣t＝4t﹣30， 解得：t＝8． 综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形． 故答案为：秒或8秒． 三．解答题（共9小题） 19．【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDE， ∵BF＝DE， ∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△AEB≌△CDF（ASA）， ∴AB＝CD， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 20．【解答】解：（1）∵AF＝EF，EF＝10cm，AC＝14cm， ∴AF＝10cm， ∴CF＝AC﹣AF＝14﹣10＝4（cm）； （2）∵四边形CDEF是平行四边形， ∴CF＝DE＝4cm， ∵BC＝AC，∠BAC＝60°，DG＝22cm， ∴EG＝GH＝DE+DG＝26cm， 如图2，BC＝AC，∠BAC＝60°，连接EH，过点G作GP⊥EH于点P， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形， ∴AC∥DE，DN∥MG， ∴∠ACB＝∠EDC＝∠EGM＝60°， ∴∠EGH＝180°﹣∠EGM＝120°， ∵EG＝HG， ∴， ∵GP⊥EH， ∴，EH＝2EP， 在直角三角形EGP中，由勾股定理得：， ∴． 21．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵BE＝AB， ∴BE＝CD， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵AD＝BC，AD＝DE， ∴BC＝DE， ∴▱BECD是矩形； （2）如图， ∵CD＝3， ∴AB＝BE＝3． ∵AD＝6，∠ABD＝90°， ∴BD3， ∴CE＝3， ∴AC3． 22．【解答】（1）证明：∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAE＝∠EAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， 同理，AB＝AF， ∴BE＝AF． ∵AD∥BC， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝BE， ∴▱ABEF是菱形； （2）解：过点O作OG⊥BC于点G，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝7， ∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°， ∴BE＝AB＝4，∠OBE＝30°，∠BOE＝90°． ∴OEBE＝2，∠OEB＝60°，CE＝BC﹣BE＝3， ∴GE＝1，OGGE， ∴GC＝GE+CE＝4， ∴OC． 23．【解答】解：（1）由题意可得： 当AC＝BD时，菱形为正方形， ∴． 故答案为：1； （2）连接AC和BD，交于点O，设AB＝x， 在菱形ABCD中，AB＝AD， ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝x，， ∴， ∴， ∴，即菱形ABCD的“神似度”为． 24．【解答】解：定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 已知：△ABC中，D、E是AB和AC的中点． 求证：DE∥BC，DEBC． 证明：过点E作AB的平行线，交BC于N，过点A作BC的平行线，与AB的平行线交于M． ∵AM∥BC， ∴∠MAC＝∠BCA， 在△AEM与△CEN中， ， ∴△AEM≌△CEN（ASA）， ∴AM＝NC，EN＝EM， ∵AB∥MN，AM∥BC， ∴四边形ABNM是平行四边形， ∴AM＝BN，AB＝MN， ∵AM＝NC， ∴BNBC， ∵D、E是AB和AC的中点， ∴BD＝EN， ∴四边形DBNE是平行四边形， ∴DE＝BNBC，DE∥BC． 故答案为：平行于第三边，且等于第三边的一半；△ABC中，D、E是AB和AC的中点；DE∥BC，DEBC． 25．【解答】解：（1）如图，过点C作CF⊥AD于F， 设AF＝xcm，则DF＝（13﹣x）cm， 在Rt△ACF中，CF2＝AC2﹣AF2， 在Rt△DCF中，CF2＝CD2﹣DF2， ∴AC2﹣AF2＝CD2﹣DF2，即132﹣x2＝1002﹣（13﹣x）2， 解得：x， 则CF（cm）， 答：杯子最大盛水高度为cm； （2）如图，过点B作BE⊥AD于E， 则四边形EBCF为矩形， ∴BC＝EF， ∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AE＝DF＝13（cm）， ∴BC＝EF＝132（cm）， 答：内底面的直径为cm． 26．【解答】解：（1）点A坐标是（10，0），O（0，0）， ∴OA＝10， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，BC＝OA， ∵点C坐标是（4，6）， ∴B（14，6）， 故答案为：（14，6）； （2）∵点D是线段CB上一个动点， ∴设D（m，6）， ∵三角形OAD是等腰三角形， ①当OD＝OA＝10时， ∴OD10， ∴m＝8（负值舍去）， ∴D（8，6）， ②当OD＝AD时，则点D在OA的垂直平分线上， ∴D（5，6）， ③OA＝AD＝10时， ∴AD10， ∴m＝2＜4（不合题意舍去）， 综上所述，D（8，6）或（5，6）； （3）如图，连接AC，OB交于E， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AE＝CE， ∵点A坐标是（10，0），点C坐标是（4，6）， ∴E（7，3）， ∵y＝kx+b正好将平行四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线y＝kx+b过E（7，3）， ∴3＝7k+b， ∴k， 即k与b的函数关系式为kb． 27．【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AP∥BQ， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP成为矩形， 此时有t＝22﹣3t，解得t． ∴当ts时，四边形ABQP成为矩形； （2）∵PD∥QC， ∴当PQ＝CD，PD≠QC时，四边形PQCD为等腰梯形． 过P，D分别作PE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F． ∴四边形ABFD是矩形，四边形PEFD是矩形， ∴BF＝AD＝16cm，EF＝PD， ∵BC＝22cm， ∴FC＝BC﹣BF＝22﹣16＝6（cm）． 由等腰梯形的性质知，QE＝FC＝6cm． ∴QC＝EF+QE+FC＝PD+12＝AD﹣AP+12， 即3t＝（16﹣t）+12，解得t＝7． ∴当t＝7s时，四边形PQCD是等腰梯形； （3）四边形PBQD不能成为菱形．理由如下： ∵PD∥BQ， ∴当PD＝BQ＝BP时，四边形PBQD能成为菱形． 由PD＝BQ，得16﹣t＝22﹣3t，解得t＝3， 当t＝3时，PD＝BQ＝13，BP13， ∴四边形PBQD不能成为菱形； 如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形， 由题意，得，解得． 故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $