期末复习-第9章 因式分解专题练习2025-2026学年苏科版八年级数学下册

期末复习-第9章 因式分解专题练习2025-2026学年苏科版八年级数学下册 一．选择题（共8小题） 1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．6a2b＝6ab•a B．a2+ab＝a（a+b） C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a2+2a+1＝a（a+2）+1 2．下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（　　） A．ma+mb﹣c＝m（a+b）﹣c B．4x2+y2﹣4xy＝（2x﹣y）2 C．a3﹣a＝a（a2﹣1） D．﹣a2+3ab﹣a＝﹣a（a+3b﹣1） 3．数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲：M+N B．乙：M﹣N C．丙：N+P D．丁：N﹣P 4．对于式子：①x2+2xy＝x（x+2y）；②（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6，从左到右的变形，下列说法正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 5．y﹣2x+1是4xy﹣4x2﹣y2﹣k的一个因式，则k的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．4 6．如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　） A．80 B．96 C．192 D．240 7．对于算式993﹣99，下列说法错误的是（　　） A．能被98整除 B．能被99整除 C．能被100整除 D．能被101整除 8．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）．如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有（　　） （1）F（48）； （2）15和26是“吉祥数”； （3）“吉祥数”中，F（t）的最大值为． （4）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共10小题） 9．因式分解：（x+2）（x+4）+1＝　 　 ． 10．如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m+n＝　 　 ． 11．已知x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2＝　 　 ． 12．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 　 　 三角形． 13．如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当k＝　 　 时，这个长方形的周长最长为 　 　 ． 14．如果一个正整数能写成两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，24＝72﹣52，24就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2025个智慧数是　 　 ． 15．以下三种方法中，能够验证等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的有　 　 （填序号）． 16．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，则8与24都是奇妙数．如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形的边长为79，则阴影部分的面积为　 　 ． 17．如果一个正整数可表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“平衡数”．（例如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，因此4和12都是“平衡数”）．在不超过200的正整数中，所有“平衡数”的和是　 　 ． 18．已知a，b，c，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是　 　 ． 三．解答题（共7小题） 19．已知：二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式及k的值． 20．因式分解： （1）2m2﹣4m； （2）4x（x﹣3y）+9y2． 21．（1）已知有理数a、b满足（a+2）2＝﹣b2+6b﹣9，求ab的值． （2）先观察下列计算过程，再解答问题． 99×99+199＝992+2×99+1＝（99+1）2＝1002＝104． 则：①999×999+1999＝ 　 　 ； ②求99999×99999+199999的值． 22．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8，16，24都是“正巧数”． （1）写出一个30到50之间的“正巧数”． （2）设两个连续正奇数为2k﹣1和2k+1（其中k是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由，如果不能，请举例说明． 23．初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设n、n+1、n+2都是自然数， ∵n（n+1）+（n+1）（n+2）…① ＝（n+1）（n+n+2） ＝（n+1）（2n+2） ＝2（n+1）2…② 且2（n+1）2能被2整除， ∴n（n+1）+（n+1）（n+2）能被2整除． ∴三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： （1）在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于　 　 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； （2）已知m＞0，且m是奇数．求证：m2﹣m+2能被2整除． 24．对于关于x的代数式ax2+bx+c若存在实数m，使得当x＝m时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2当x＝0时，代数式的值等0；当x＝1时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式x2﹣6的不动值是　 　 ． （2）判断关于x的代数式2x2﹣x+1是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由． （3）已知关于x的代数式ax2+（4﹣a）x﹣3（a≠0）． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为2，直接写出正整数a的值． 25．发现与探索． （1）根据小明的解答将下列各式因式分解 小明的解答：a2﹣6a+5＝a2﹣6a+9﹣9+5＝（a﹣3）2﹣4＝（a﹣5）（a﹣1） ①a2﹣12a+20 ②（a﹣1）2﹣8（a﹣1）+7 ③a2﹣6ab+5b2 （2）根据小丽的思考解决下列问题： 小丽的思考：代数式（a﹣3）2+4无论a取何值（a﹣3）2都大于等于0，再加上4，则代数式（a﹣3）2+4大于等于4，则（a﹣3）2+4有最小值为4． ①说明：代数式a2﹣12a+20的最小值为﹣16． ②请仿照小丽的思考解释代数式﹣（a+1）2+8的最大值为8，并求代数式﹣a2+12a﹣8的最大值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：6a2b＝6ab•a中等号左边是单项式，则A不符合题意， a2+ab＝a（a+b）符合因式分解的定义，则B符合题意， （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是乘法运算，则C不符合题意， a2+2a+1＝a（a+2）+1中等号右边不是积的形式，则D不符合题意， 故选：B． 2．【解答】解：A．不是几个整式乘积的形式，不符合题意； B．4x2+y2﹣4xy＝（2x﹣y）2，是因式分解，符合题意； C．a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），不符合题意； D．﹣a2+3ab﹣a＝﹣a（a﹣3b+1），不符合题意； 故选：B． 3．【解答】解：A、甲：M+N＝x2+5x+12+5x+13＝x2+10x+25＝（x+5）2，故此选项不符合题意； B、乙：M﹣N＝x2+5x+12﹣5x﹣13＝x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项不符合题意； C、丙：N+P＝5x+13+x2﹣13＝x2+5x＝x（x+5），故此选项不符合题意； D、丁：N﹣P＝5x+13﹣x2+13＝﹣x2+5x+26，故此选项符合题意； 故选：D． 4．【解答】解：①x2+2xy＝x（x+2y），左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解，故①正确； ②（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6，左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法，故②不正确； 综上，①是因式分解，②是整式乘法， 故选：C． 5．【解答】解：原式＝﹣（4x2+y2﹣4xy+k）＝﹣[（2x﹣y）2+k] 显然根据平方差公式的特点，两个平方项要异号才能继续分解 又由y﹣2x+1是4xy﹣4x2﹣y2﹣k的一个因式，可知第二个数是1 则k＝﹣1． 故选：B． 6．【解答】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴a+b＝8，ab＝12， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝12×8 ＝96． 故选：B． 7．【解答】解：∵993﹣99 ＝99×（992﹣1） ＝99×（99+1）×（99﹣1） ＝99×100×98， ∴原式能被99，100，98整除， 故选：D． 8．【解答】解：（1）∵48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，而48﹣1＞24﹣2＞16﹣3＞12﹣4＞8﹣6，6×8是48的最佳分解， ∴F（48），故正确； （2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x， ∵t是“吉祥数”， ∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝36， ∴y＝x+4， ∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数， ∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59，故正确； （3）F（15），F（26），F（37），F（48），F（59）， ∵， ∴“吉祥数”中，F（t）的最大值为，故正确． 故说法正确的有4个． （4）∵m是一个完全平方数， 设m＝x2（x＞0）， ∴x×x是m的最佳分解， ∴F（m）1，故正确； 故选：D． 二．填空题（共10小题） 9．【解答】解：原式＝x2+4x+2x+8+1 ＝x2+6x+9 ＝（x+3）2， 故答案为：（x+3）2． 10．【解答】解：∵x2﹣8x+m＝（x﹣10）（x+n）， ∴x2﹣8x+m＝x2+（﹣10+n）x﹣10n， ∴﹣10+n＝﹣8，m＝﹣10n， 解得：n＝2，m＝﹣20， m+n＝﹣20+2＝﹣18． 故答案为：﹣18． 11．【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2， ∴原式＝xy（x+y）＝6， 故答案为：6 12．【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc， ∴a2﹣b2﹣ac+bc＝0， （a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， （a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∵a，b，c为△ABC的三边， ∴a+b﹣c≠0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰． 13．【解答】解：当k＝3×4+1×1＝13时，3a2+13ab+4b2＝（3a+b）（a+4b），周长为：2[（3a+b）+（a+4b）]＝8a+10b； 当k＝3×1+1×4＝7时，3a2+7ab+4b2＝（3a+4b）（a+b），周长为：2[（3a+4b）+（a+b）]＝8a+10b； 当k＝3×2+1×2＝8时，3a2+8ab+4b2＝（3a+2b）（a+2b），周长为：2[（3a+2b）+（a+2b）]＝8a+8b； 即k＝13或7时，这个长方形的周长最长为8a+10b． 故答案为：13或7；8a+10b． 14．【解答】解：设k是正整数， 由于（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1， 所以，除1外，所有奇数都是智慧数； 又因为（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k， 所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； 被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． ∵（2025+2）÷3＝675⋯⋯2， ∴第2025个智慧数在1+675＝676（组），并且是第3个数，即675×4+3＝2703． 故答案为：2703． 15．【解答】解：图①中，左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成右图是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，所以面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图①符合题意； 图②中，左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成右图是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，所以面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图②符合题意； 图③中，左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成右图是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，所以面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图③符合题意； 综上所述，图①、图②、图③均能验证等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：①②③． 16．【解答】解：根据题意，第1个阴影部分的面积为32﹣12＝8， 第2个阴影部分的面积为72﹣52＝24＝8+16， 第3个阴影部分的面积为112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝40＝8+16×2， 第4个阴影部分的面积为152﹣132＝（15+13）（15﹣13）＝56＝8+16×3，⋯⋯， 最后一个阴影部分的面积为792﹣772＝（79+77）（79﹣77）＝312＝8+16×19，因此这是第20个阴影部分， ∴所有阴影部分的面积为：8+24+40+56+⋯+31220×（8+312）＝3200． 故答案为：3200． 17．【解答】解：设两个连续偶数为2k和2k+2， 则平衡数为： （2k+2）2﹣（2k）2 ＝4k2+8k+4﹣4k2 ＝8k+4 ＝4（2k+1）， 因为4（2k+1）≤200， 得2k+1≤50， 因为2k+1表示奇数， 即2k+1可取1，3，...，49（共25项）， 4×1+4×3+4×5+…+4×49 ＝4（1+3+5+…+49） ＝2×50×25 ＝2500． 故答案为：2500． 18．【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1， 2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac） ＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac ＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2 ＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2 ＝1+4+1 ＝6 故答案为6． 三．解答题（共7小题） 19．【解答】解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a） 则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a ∴， 解得：， ∴另一个因式为（2x+13），k的值为65． 20．【解答】解：（1）2m2﹣4m＝2m（m﹣2）； （2）4x（x﹣3y）+9y2＝4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2． 21．【解答】解：（1）∵（a+2）2＝﹣b2+6b﹣9， ∴（a+2）2+b2﹣6b+9＝0， （a+2）2+（b﹣3）2＝0， ∵（a+2）2≥0，（b﹣3）2≥0， ∴a+2＝0，b﹣3＝0， a＝﹣2，b＝3， ∴ab＝（﹣2）3＝﹣8； （2）①原式＝999×999+1998+1 ＝（999+1）2 ＝10002 ＝1000000 故答案为：1000000； ②原式＝999992+199998+1 ＝（99999+1）2 ＝1000002 ＝（105）2 ＝1010． 22．【解答】解：（1）设两个连续正奇数为2n+1和2n﹣1，n为正整数． 根据“正巧数”的定义，可得“正巧数”为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）] ＝8n， 由题意得30＜8n＜50， ∴， ∵n为正整数， ∴4≤n≤6， ∴n＝4或5或6， ∴8n＝32或40或48； （2）能被8整除，理由如下： 设两个连续正奇数为2k﹣1和2k+1（其中k是正整数），则： （2k+1）2﹣（2k﹣1）2 ＝[（2k+1）+（2k﹣1）][（2k+1）﹣（2k﹣1）] ＝4k•2 ＝8k， ∵k是正整数， ∴8k能被8整除， 即由2k﹣1和2k+1构成的“正巧数”能被8整除． 23．【解答】（1）解：∵从第①处到第②处的变形是把多项式n（n+1）+（n+1）（n+2）写成因式2、（n+1）2积的形式， ∴这个变形属于因式分解， 故答案为：因式分解； （2）证明：m2﹣m+2 ＝（m2﹣m）+2 ＝m（m﹣1）+2， ∵m＞0，且m是奇数， ∴m﹣1是偶数， ∴m（m﹣1）是偶数， ∴m（m﹣1）+2是偶数， ∴m（m﹣1）+2能被2整除， ∴m2﹣m+2能被2整除． 24．【解答】解：（1）x2﹣6＝x，x2﹣x﹣6＝0， （x﹣3）（x+2）＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2， 故答案为3或﹣2； （2）2x2﹣x+1＝x， 2x2﹣2x+1＝0， ∵Δ＝4﹣4×2＝﹣4＜0， ∴原方程无解， ∴关于x的代数式2x2﹣x+1没有不动值， （3）①由ax2+（4﹣a）x﹣3＝x得， ax2+（3﹣a）x﹣3＝0， ∵仅有一个不动值， ∴Δ＝0， ∴（3﹣a）2﹣4a•（﹣3）＝0， ∴a＝﹣3； ，②设ax2+（3﹣a）x﹣3＝0的两个根是m，n，∴|m﹣n|＝2， ∴（m+n）2﹣4mn＝4， ∴， ∴a1＝3，a2＝﹣1， ∴a＝3或﹣1． 25．【解答】解：（1）①a2﹣12a+20 ＝a2﹣12a+36﹣36+20 ＝（a﹣6）2﹣42 ＝（a﹣10）（a﹣2）； ②（a﹣1）2﹣8（a﹣1）+7 ＝（a﹣1）2﹣8（a﹣1）+16﹣16+7 ＝（a﹣5）2﹣32 ＝（a﹣8）（a﹣2）； ③a2﹣6ab+5b2 ＝a2﹣6ab+9b2﹣9b2+5b2 ＝（a﹣3b）2﹣4b2 ＝（a﹣5b）（a﹣b）； （2）①a2﹣12a+20 ＝a2﹣12a+36﹣36+20 ＝（a﹣6）2﹣16， 无论a取何值（a﹣6）2都大于等于0，再加上﹣16， 则代数式（a﹣6）2﹣16大于等于﹣16， 则a2﹣12a+20的最小值为﹣16； ②无论a取何值﹣（a+1）2都小于等于0，再加上8， 则代数式﹣（a+1）2+8小于等于8， 则﹣（a+1）2+8的最大值为8， ﹣a2+12a﹣8． ＝﹣（a2﹣12a+8） ＝﹣（a2﹣12a+36﹣36+8） ＝﹣（a﹣6）2+36﹣8 ＝﹣（a﹣6）2+28 无论a取何值﹣（a﹣6）2都小于等于0，再加上28， 则代数式﹣（a﹣6）2+28小于等于28， 则﹣a2+12a﹣8的最大值为28． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $