甘肃兰州市某校2025-2026学年九年级下学期阶段性测试数学试卷（二）

**基本信息** 融合科技前沿（郭守敬望远镜光谱数）、文化传承（《天工开物》《算法统宗》）与生活实践（食品质量检测、蒜苗实验），通过真实情境考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/33|实数、中心对称图形、整式运算、三视图|第2题以科技企业图标考中心对称，第5题科学记数法结合LAMOST数据| |填空题|4/12|因式分解、坐标、中位线、圆的面积|第13题结合春晚吉祥物小篆字体考坐标，第15题以圆弧转弯路线考扇形面积| |解答题|11/75|函数综合、统计分析、实践测量、几何探究|第20题通过蒜苗实验数据考平均数与方差应用，第26题新定义“交割线段”考查创新意识|

交大附中2025--2026学年第二学期九年级模拟考试参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 1．D．2．D．3．A．4．C．5．A．6．C． 7．D．8．B．9．A．10．B．11．B． 二．填空题（共4小题） 12．（a﹣3）2． 13．　（0，﹣1）　 ． 14．1． 15．（）． 三．解答题（共11小题） 16．【解答】解：（1）原式＝﹣321 ＝﹣3+21 ＝22； 17．原式• • • ＝2． 18．【解答】解：原方程两边同乘以（x﹣2）得：1﹣x+1＝x﹣2． 解得x＝2． 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， 所以x＝2为分式方程增根，故原分式方程无解． 19．【解答】解：（1）由条件可得， ∴k＝﹣8， ∴反比例函数的解析式为， 把（8，m）代入得m＝﹣1， ∴点C的坐标为（8，﹣1）， 把A（﹣2，4）和点C（8，﹣1）代入y＝ax+b得，解得， ∴一次函数的解析式为． 综上所述：∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为． （2）如图，方法不唯一，P点坐标为 20．【解答】解：（1）由题意得，m＝（12.8+11.9+11.7+12.5+11.3+13.3+12.3+12.6）÷8＝12.3； 将pH值为6的8个数据排列为：12.7，12.8，12.8，12.9，13.3，13.5，13.6，14 ∴中位数， 补全条形统计图如下： （2）根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（pH值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，则： 根据实验数据可得，当酸碱度（pH值）为6时，蒜苗高度不低于13cm的占比为， ∴（株） 答：这块试验田中高度不低于13cm的蒜苗有60株； （3）①从平均数角度分析：土壤的酸碱度（pH值）为6时，蒜苗生长高度的平均数最高，说明该酸碱度下蒜苗的整体生长水平最优；当pH值偏离6（无论升高或降低），平均数均呈下降趋势； ②从中位数角度分析：土壤的酸碱度（pH值）为6时，蒜苗生长高度的中位数最高，与平均数趋势一致，进一步验证该酸碱度下蒜苗的中等生长高度也最优； ③从方差角度分析：土壤的酸碱度（pH值）为6时方差最小，说明该酸碱度下蒜苗个体间的高度差异最小，生长状态最稳定；土壤的酸碱度（pH值）为10时方差最大，说明该酸碱度下蒜苗个体生长差异最大，生长状态最不稳定． 21．【解答】：择方案一，理由为测量工具较简单，方便， ∵CD＝2.6m，EF＝1.6m， ∴CG＝CD﹣EF＝1m， ∵DF＝1.4m，GH＝38.6m， ∴GE＝1.4m，HE＝GH+GE＝40m， ∵CG∥AH， ∴△ECG∽△EAH， ∴， 即， 解得AH≈28.57， ∴AB＝AH+FE﹣1.4＝28.57+1.6﹣1.4＝28.77≈28.8（m）， 答：旗杆AB的高度为28.8米； 选择方案二，理由为测量较准确， 设AB＝xm， ∵∠ACB＝45°，∠ABC＝90°， ∴BC＝AB＝xm， ∵在Rt△ABE中，∠AEB＝42°，BE＝BC+CE＝x+3.2， ∴tan∠AEB， 即tan42°0.90， 解得x＝28.8， 答：旗杆AB的高度为28.8米． 22．【解答】故答案为：FD＝FB，∠BED，AD∥BC，OD＝OB，DE＝BF，． 23．【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵BC平分∠ABE， ∴∠OBC＝∠CBE， ∴∠OCB＝∠CBE， ∴OC∥BE， ∵BE⊥CE， ∴OC⊥CE， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠A＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝CDB＝90°， ∵∠A+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠ABC， ∴△ACD∽△CBD， ∴， 即CD2＝AD•BD， ∵CD＝6cm，AB＝13cm＝AD＝BD， ∴62＝AD•（13﹣AD）， 解得AD＝4或AD＝9， 当AD＝4时，BD＝13﹣4＝9， 当AD＝9时，BD＝13﹣9＝4， ∵AD＜BD， ∴AD＝4． 24．【解答】解：（1）由题意可得：， 解得：． （2）①A（x1，y1），B（x2，y2）两点均在该抛物线上， ∴，， ∴， ∵x1+x2＝2， ∴y1﹣y2＝2（x1﹣x2）+x1﹣x2＝3（x1﹣x2）， ∵x1≠x2， ∴． ②证明：∵x1+x2＝2， ∴x2＝2﹣x1， ∵，， ∴， ∴， ∵x1≠x2， ∴x1≠1， ∴x1﹣1≠0， ∴， ∴y1+y2＞6． 25．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是长方形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC． 在△ABP和△ADP中， ， ∴△ABP≌△ADP（SAS）； （2）解：∠BPE的大小不发生变化；理由如下： 如图2，四边形ABCD是正方形，过点P作PM⊥AD于点M，作PG⊥AB于点G， ∴AC平分∠BAD，∠BAD＝90°， ∴． 又∵PM⊥AD，PG⊥AB， ∴PM＝PG，∠PMA＝∠PMD＝90°，∠PGA＝∠PGB＝90°， ∴四边形AMPG是矩形． ∵PM＝PG， ∴四边形AMPG是正方形， ∴∠MPG＝90°，AM＝PM． 由旋转得，PB＝PE， 在Rt△BPG和Rt△EPM中， ， ∴Rt△BPG≌Rt△EPM（HL）， ∴∠BPG＝∠EPM． ∵∠MPG＝∠EPM+∠EPG＝90°， ∴∠EPG+∠BPG＝90°，即∠BPE＝90°， ∴∠BPE的大小不发生变化； 25．【解答】解：（1）①如图1.1， ∵A（0，2），B（2，2）， ∴OA＝2，OA⊥AB， ∴点A在⊙O上， ∴⊙O与AB相切， ∴线段AB上没有点在⊙O外， ∴线段AB不是⊙O的“交割线段”， ∵OC＝1＜2，， ∴点C在⊙O内，点B在⊙O外， ∴线段AC上没有点在⊙O外，线段BC上有点在⊙O内，也有点在⊙O内， ∴线段AC不是⊙O的“交割线段”，线段BC是⊙O的“交割线段”， 故答案为：BC； ②如图1.2所示，设直线OB在x轴上方与⊙O交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设T（t、t）， ∴OH＝BH＝2，OG＝TG＝t， 此时点H网好在⊙O上，且此时BH与⊙O相切； ∵⊙O的半径为2， ∴OT＝2， ∴t2+t2＝22， 解得或 （舍去）， ∴由函数图象可知，当点M在BT之间（不包括端点），即时，线段MN是⊙O的“交割线段”； 由对称性可得：当时，线段MN是⊙O的“交割线段”； 综上所述，当或时，线段MN是⊙O的“交割线段”； （2）3t≤1或2t＜5；理由如下： 联立， 解得：， ∴E（﹣3，3）， 同理可得D（0，3），F（3，﹣3）； 如图2.1所示，当⊙T恰好经过点D时， ∴TD＝2， ∴t＝2+3＝5； 如图2.2所示，当⊙T恰好与EF相切于H时，连接TH， ∵E（﹣3，3），D（0，3）， ∴DE＝OD＝3，DE⊥OD， ∴∠DOE＝45°， 由切线的性质可得∠THO＝90°， ∴△TOH是等腰直角三角形， ∵， ∴当时，DE，DF是⊙T的“交割线段”，EF不是⊙T的“交割线段”； 如图2.3所示，当⊙T恰好经过点D时， ∴TD＝2， ∴t＝3﹣2＝1； 如图2.4所示， 当⊙T恰好与DF相切于P时，连接TP，设直线DF与x轴交于Q， ∴， ∴， ∴； 由切线的性质可得∠TPD＝90°，TP＝2， ∴， ∴， ∴， ∴t＝3﹣2， ∴当3﹣2t≤1时，EF，DF是⊙T的“交割线段”，DE不是⊙T的“交割线段”； 综上所述，当3t≤1或2t＜5时，△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”． 第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $交大附中2025-2026学年第二学期总、分校九年级模拟考试卷 考试时间：120分钟： 一.选择题（本大题共有11小题，每小题3分，共33分.在每小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.某种食品包装袋上标注质量为400g,对4袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果（用正 号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量)如下：-25，+15，+20，-10，则最接近 标注质量的是() A.-25 B.+15 C.+20 D.-10 2.科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展.以下四个科技创新型企业 的品牌图标中，为中心对称图形的是( 曹.袋7 3.下列运算中，正确的是( A.a3+m3=2am3B.2m-a2=2 C.ad=a D.(a)3-a 4.如图，由5个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图为() 正面 5.根据中国科学院国家天文台发布的公告，截至2025年10月底，我国国家重大科技基础设施 一一郭守敬望远镜(LAMOST)发布光谱数已达2807万条，数据量稳居世界第一.数据2807 万条用科学记数法表示为() A.2.807×107条 B.28.07×106条 C.280.7×105条 D.2807×104条 6.《天工开物》是我国古代一部综合性的科学技术著作.如图是选自《天工开物》的四幅图制 作的卡片，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回 第1页 洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片中至少有一张是“穴取铜铅”的概率为() 泥造砖坯 凿取蛎房 踏车汲水 穴取铜铅 562 A·4 B 3-8 7 C 16 D. 2 7.下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是() Ay=月 By=月 C.y=x2-2 D.y=2x-2 8.若一个正多边形的每一个内角都是150°，则该正多边形的内角和的度数是（) A.1500 B.1800 C.1980 D.21609 9.我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺、绢四尺，共价四钱八分，又绫七尺、 绢二尺，共价六钱八分.问：绫、绢各价若下？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分， 七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，设每尺绫的价 格是x分，每尺绢的价格是y分，则可以列出的方程组为( ) A十=8B+=8c=8 (3x-4y=48 D.{7x-2y=68 10.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O 为位似中心，在第三象限内得到与△OAB的位似比为的位似图形△OCD,则点C的坐标为 ( A.(-1,-1) B.(--1) C.(-1,- D.(-2,-1) y C D Q 4 D B 11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=4,动点P从点A出发，以每秒1个单 共5页 位长度的速度沿线段AB匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作PQ⊥AB交 AC于点Q,将△APQ沿直线PQ折叠得到△DPQ,设动点P的运动时间为x秒，△DPQ与 △ABC重叠部分的面积为y,在P点运动过程中，y与x之间函数关系为() A.先是二次函数，后是一次函数 B.整个运动过程均为二次函数 C.整个运动过程均为一次函数 D.先是一次函数，后是二次函数 二.填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分）. 12.分解因式：a2-6H9= 13.2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马.如图是马的小篆 字体，将其放在平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别为(2,1)，(-1,2)，则点C的 坐标为 B 转 C险 弯 道 B 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D,若AB=4,BC=6,则DF 15.如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动 车在经过这一转弯车道时从圆弧起点A行驶至终点B,过点A,B的两条切线相交于点C, 机动车在从点A到点B行驶过程中的转角为a.若这段圆弧的半径OA=9,a=60°，则图 中危险区（阴影部分）的面积为 22. 三.解答题（本大题共有11小题，共75分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、推理过程或演算步骤) 16.(5分)计算：6×(-)+V3×V⑧+(-15)°； 第2页 17.(5分)化简：（器-刘÷ 18.(5分)解分式方程：11 x-22-x =1. 19.(7分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠ 0)的图象交于A,C两点，与x轴、y轴分别交于点B,D,已知点A的坐标为(-2,4)， 点C的坐标为(8，m). (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P是直线AB下方y轴上一点，当△PAB的面积为24时，求点P的坐标. y 共5页 20.(7分)某校生物老师组织学生开展“土壤的酸碱度对植物生长的影响”实验探究.学生分 别向六个培养盆装入不同酸碱度(H值)的土壤，在其他条件均相同的情况下，在每个培养 盆中种植8株蒜苗.一段时间后测量蒜苗的高度（单位：c),并对所得的相关数据进行整 理、描述、分析.下面给出了部分信息： α.不同酸碱度(pH值)的土壤中蒜苗高度的平均数和中位数的条形统计图（不完整）如下： 蒜苗高度/cm 1412.04..13.2 11.9 11.56 12 0:810.119.5 10 6 6.3 6.8 8 10 pH 口平均数 口中位数 b. 酸碱度(pH值)为6和6.3的土壤中蒜苗高度的数据如表： 土壤的酸碱度(pH值) 蒜苗高度/cm 平均数/cm 中位数/cm 6 13.6 12.8 14 12.8 12.9 12.7 13.3 13.5 13.2 6.3 12.8 11.9 11.7 12.5 11.3 13.3 12.3 12.6 L 12.4 c. 不同酸碱度(pH值) 的土壤中蒜苗高度的方差如表： pH值 5 6 6.3 6.8 8 10 方差 0.381 0.195 0.3625 0.364 0.425 0.4332 根据以上信息，回答下列问题： (1)请直接写出m,n的值，并补全条形统计图. (2)根据以上实验数据，该校计划在酸碱度(H值)为6的试验田中种植120株蒜苗（其 他条件与培养盆的条件相同)，经过相同时间后测量蒜苗的高度，请估计这块试验田中高度 不低于13cm的蒜苗有多少株 (3)请你从以上实验数据的平均数、中位数、方差这三个统计量中选择两个分析土壤的酸 碱度(pH值)对蒜苗生长高度的影响， 第3页共 21.（7分)综合与实践 在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测 量，基座高于运动场水平面1.4米)确定以下两种测量方案。 课题 测量学校旗杆AB高度 成员 组长：××X 组员：×××，×××，××X 测量工具 卷尺、标杆 卷尺、可调节支架的测角仪 标杆方案 测角仪方案 A A 测量示意图 M H M B 1.4mh 1.4m3 ↑N ↑N ①选取运动场与旗杆相距一定距离的 ①在运动场与旗杆底部相距一定距离 F处： 的F处，调整测角仪支架高度，使E与 ②在F处站直看旗杆项，调整标杆DC旗杆底部B位于同一水平高度； 实施过程 位置，使标杆顶点C与旗杆顶点A在同②测量旗杆顶A的仰角∠AEB: 视线上： ③沿EB方向前移至D处，再次测量杆 ③测量DF,GH的距离，测量人眼到 顶A的仰角∠ACB: 地面EF高度、标杆CD的长度： ④测量DF距离： ①DF=1.4Hm;②GH=38.6 ①∠AEB=42°；②∠ACB=45°； 测量数据 ③CD=2.6. ④EF=1.6m ③DF=3.2. ①图上所有点均在同一平面内： ①图上所有点均在同一平面内： ②AB,CD均与地面垂直： ②参考数据：sim42°≈0.67，cos42°≈ 备注 ③旗杆底部基座与运动场的高度差 0.74,tan42°≈0.90 MN=1.4mt 根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆AB的高度（结果精确到0.1m). 5页 22.(7分)学习了正方形的判定和尺规作图后，小明进行了拓展性研究，他发现了画正方形的 一种方法.现在你作为小明的同伴，请根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： 第一步：画垂直平分线，构造正方形 小明画了平行四边形ABCD,连接BD,其中∠ADB=45°，请你利用尺规作图，作BD的垂 直平分线EF,交AD于点E,交BC于点F,交BD于点O,连接BE,DF. 第二步：证明他的猜想 证明：，'EF⊥BD,EF平分BD, EB=ED,① OD=OB, ∴.在△BDE中，∠EBD=∠EDB=45°， ∴② =90°， 又在口ABCD中，③ ∴.∠EDB=∠DBF,∠DEF=∠BFE, 在△DEO和△BFO中， ∠EDO=∠FBO ∠DEO=∠BFO ④ ∴.△DEO≌△BFO(AAS), .⑤ ∴EB=ED=FB=FD, 又，∠BED=90°， .四边形BFDE是正方形 A B 第4页 23.(7分)如图，⊙O的直径AB=13C,C为⊙O上的一点，已知CD LAB,垂足为D,并且 CD=6CIm,AD<DB,BC平分∠ABE,CE⊥BE,垂足为E. (1)求证：CE是⊙O的切线： (2)求AD的长. B 0 A 24.(8分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax+bx+1(a≠0)经过(1,3)点，对称轴 为x=-君 (1)求a,b的值： (2)己知A(x1,y1),B(x2,y2)两点均在该抛物线上，且x1≠x2,x1+x2=2. ①求1-y2的值： X1一X2 ②求证：y1+y2>6. 共5页 25.(8分)按要求解答问题： 【初步实践】 (1)如图1，在长方形ABCD中，若AC⊥BD,对角线AC与BD相交于点O,在线段OA 上任取一点P(端点除外)，连接PD,PB.求证：△ABP≌△ADP: 【问题探究】 (2)如图2，将线段BP绕点P逆时针旋转，使点B落在DA的延长线上的点E处，当点P 在线段OA上的位置发生变化时，∠BPE的大小是否发生变化？请说明理由： E B A P 0 0 D D 图1 图2 第5页 26.(9分)在平面直角坐标系xOy中，对于⊙G和线段AB给出如下定义：如果线段AB上存在 点P,Q,使得点P在⊙G内，且点Q在⊙G外，则称线段AB为⊙G的“交割线段”. (1)如图，⊙0的半径为2，点A(0,2),B(2,2),C(-1,0). ①在△ABC的三条边AB,BC,AC中，⊙O的“交割线段”是 ②点M是直线OB上的一个动点，过点M作MNLx轴，垂足为N,若线段MN是⊙O的“交 割线段”，求点M的横坐标的取值范围； (2)已知三条直线y=3,y=-x,y=-2x+3分别相交于点D,E,F,⊙T的圆心为T(0, t),半径为2，若△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”，直接写出t的取值 范围. y 4 3 A 2 3 -2 0 3 3 42℃ * 2 3 340 2 2 3 备用图 备用图 共5页报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 交大附中2025-2026学年第二学期总、分校九 年级模拟考试答题卡 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [0] [0] [0] [0] [0] [o] [0] [1] 1] 11 [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2 [2] [3] [3] [3] 「37 [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [51 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] 正确填涂■缺考标记口 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 单选题 1[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][c][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 11[A][B][c][D] 4[A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 填空题 12 13. 14. 15. 解答题 16.（5分) 17.(5分) 18.(5分) 囚囚■ 19.(7分) 13.2 20.(7分)(1) 14112.04. 12 11.9 12.411.9 11.56 1:1 0:810.95 08642 0 6.3 6.8 8 10 pH 口平均数 口中位数 囚囚■ 21.(7分) 标杆方案 A E 1.4m ↑N D 测角仪方案 A量 E 1.4mh ↑N D 22.(7分) 证明：：EF⊥BD,EF平分BD, ∴.EB=ED,①】 OD=OB. ∴.在△BDE中，∠EBD=∠EDB=45°， ∴② =90°， 又在口ABCD中，③】 ∴，∠EDB=∠DBF,∠DEF=∠BFE, 在△DEO和△BFO中， (4EDO=LFBO ∠DEO=∠BFO ④ ∴，△DEO≌△BFO(AAS), ⑤ ∴，EB=ED=FB=FD, 又：∠BED=90°， ∴.四边形BFDE是正方形. ■ 23.(7分) I A 24.(8分) I I 囚■ㄖ 25.(8分) E B 图1 图2 囚■囚 口 26.(9分) y A 4-3 +3 : 4 、 3 ! ■ 交大附中2025--2026学年第二学期总、分校九年级模拟考试卷 考试时间：120分钟； 一．选择题（本大题共有11小题，每小题3分，共33分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．某种食品包装袋上标注质量为400g，对4袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）如下：﹣25，+15，+20，﹣10，则最接近标注质量的是（　　） A．﹣25 B．+15 C．+20 D．﹣10 2．科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（　　） A．a3+a3＝2a3 B．2a3﹣a3＝2 C．a3•a3＝a9 D．（a3）3＝a6 4．如图，由5个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图为（　　） A． B． C． D． 5．根据中国科学院国家天文台发布的公告，截至2025年10月底，我国国家重大科技基础设施——郭守敬望远镜（LAMOST）发布光谱数已达2807万条，数据量稳居世界第一．数据2807万条用科学记数法表示为（　　） A．2.807×107条 B．28.07×106条 C．280.7×105条 D．2807×104条 6．《天工开物》是我国古代一部综合性的科学技术著作．如图是选自《天工开物》的四幅图制作的卡片，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片中至少有一张是“穴取铜铅”的概率为（　　） A． B． C． D． 7．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（　　） A． B． C．y＝x2﹣2 D．y＝2x﹣2 8．若一个正多边形的每一个内角都是150°，则该正多边形的内角和的度数是（　　） A．1500° B．1800° C．1980° D．2160° 9．我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺、绢四尺，共价四钱八分，又绫七尺、绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若下？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内得到与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（﹣2，﹣1） 11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝4，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作PQ⊥AB交AC于点Q，将△APQ沿直线PQ折叠得到△DPQ，设动点P的运动时间为x秒，△DPQ与△ABC重叠部分的面积为y，在P点运动过程中，y与x之间函数关系为（　　） A．先是二次函数，后是一次函数 B．整个运动过程均为二次函数 C．整个运动过程均为一次函数 D．先是一次函数，后是二次函数 二．填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分）． 12．分解因式：a2﹣6a+9＝　 　 ． 13．2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．如图是马的小篆字体，将其放在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2，1），（﹣1，2），则点C的坐标为　 ． ( 第14题 图 ) ( 第15题 图 ) ( 第13题 图 ) 14．如图EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB＝4，BC＝6，则DF＝　 　 ． 15．如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点A行驶至终点B，过点A，B的两条切线相交于点C，机动车在从点A到点B行驶过程中的转角为α．若这段圆弧的半径OA＝9m，α＝60°，则图中危险区（阴影部分）的面积为　 m2． 三．解答题（本大题共有11小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 16．（5分）计算：； 17．（5分）化简：． 18．（5分）解分式方程：． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为（﹣2，4），点C的坐标为（8，m）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P是直线AB下方y轴上一点，当△PAB的面积为24时，求点P的坐标． 20．（7分）某校生物老师组织学生开展“土壤的酸碱度对植物生长的影响”实验探究．学生分别向六个培养盆装入不同酸碱度（pH值）的土壤，在其他条件均相同的情况下，在每个培养盆中种植8株蒜苗．一段时间后测量蒜苗的高度（单位：cm），并对所得的相关数据进行整理、描述、分析．下面给出了部分信息： a．不同酸碱度（pH值）的土壤中蒜苗高度的平均数和中位数的条形统计图（不完整）如下： b．酸碱度（pH值）为6和6.3的土壤中蒜苗高度的数据如表： 土壤的酸碱度（pH值） 蒜苗高度/cm 平均数/cm 中位数/cm 6 13.6 12.8 14 12.8 12.9 12.7 13.3 13.5 13.2 n 6.3 12.8 11.9 11.7 12.5 11.3 13.3 12.3 12.6 m 12.4 c．不同酸碱度（pH值）的土壤中蒜苗高度的方差如表： pH值 5 6 6.3 6.8 8 10 方差 0.381 0.195 0.3625 0.364 0.425 0.4332 根据以上信息，回答下列问题： （1）请直接写出m，n的值，并补全条形统计图． （2）根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（pH值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，请估计这块试验田中高度不低于13cm的蒜苗有多少株． （3）请你从以上实验数据的平均数、中位数、方差这三个统计量中选择两个分析土壤的酸碱度（pH值）对蒜苗生长高度的影响． 21．（7分）综合与实践 在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面1.4米）确定以下两种测量方案． 课题 测量学校旗杆AB高度 成员 组长：×××ㅤㅤ组员：×××，×××，××× 测量工具 卷尺、标杆 卷尺、可调节支架的测角仪 测量示意图 标杆方案 测角仪方案 实施过程 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的F处； ②在F处站直看旗杆顶，调整标杆DC位置，使标杆顶点C与旗杆顶点A在同一视线上； ③测量DF，GH的距离，测量人眼到地面EF高度、标杆CD的长度； ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的F处，调整测角仪支架高度，使E与旗杆底部B位于同一水平高度； ②测量旗杆顶A的仰角∠AEB； ③沿EB方向前移至D处，再次测量杆顶A的仰角∠ACB； ④测量DF距离； 测量数据 ①DF＝1.4m；②GH＝38.6m； ③CD＝2.6m．④EF＝1.6m ①∠AEB＝42°；②∠ACB＝45°； ③DF＝3.2m． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③旗杆底部基座与运动场的高度差MN＝1.4m ①图上所有点均在同一平面内； ②参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90 根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆AB的高度（结果精确到0.1m）． 22．（7分）学习了正方形的判定和尺规作图后，小明进行了拓展性研究，他发现了画正方形的一种方法．现在你作为小明的同伴，请根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： 第一步：画垂直平分线，构造正方形． 小明画了平行四边形ABCD，连接BD，其中∠ADB＝45°．请你利用尺规作图，作BD的垂直平分线EF，交AD于点E，交BC于点F，交BD于点O，连接BE，DF． 第二步：证明他的猜想． 证明：∵EF⊥BD，EF平分BD， ∴EB＝ED，①　 　 ，OD＝OB， ∴在△BDE中，∠EBD＝∠EDB＝45°， ∴②　 　 ＝90°， 又在▱ABCD中，③　 　 ， ∴∠EDB＝∠DBF，∠DEF＝∠BFE， 在△DEO和△BFO中， ， ∴△DEO≌△BFO（AAS）， ∴⑤　 　 ， ∴EB＝ED＝FB＝FD， 又∵∠BED＝90°， ∴四边形BFDE是正方形． 23．（7分）如图，⊙O的直径AB＝13cm，C为⊙O上的一点，已知CD⊥AB，垂足为D，并且CD＝6cm，AD＜DB，BC平分∠ABE，CE⊥BE，垂足为E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）求AD的长． 24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）经过（1，3）点，对称轴为． （1）求a，b的值； （2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）两点均在该抛物线上，且x1≠x2，x1+x2＝2． ①求的值； ②求证：y1+y2＞6． 25．（8分）按要求解答问题： 【初步实践】 （1）如图1，在长方形ABCD中，若AC⊥BD，对角线AC与BD相交于点O，在线段OA上任取一点P（端点除外），连接PD，PB．求证：△ABP≌△ADP； 【问题探究】 （2）如图2，将线段BP绕点P逆时针旋转，使点B落在DA的延长线上的点E处，当点P在线段OA上的位置发生变化时，∠BPE的大小是否发生变化？请说明理由； 26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙G和线段AB给出如下定义：如果线段AB上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在⊙G外，则称线段AB为⊙G的“交割线段”． （1）如图，⊙O的半径为2，点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，0）． ①在△ABC的三条边AB，BC，AC中，⊙O的“交割线段”是 　 　 ； ②点M是直线OB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，若线段MN是⊙O的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围； （2）已知三条直线y＝3，y＝﹣x，y＝﹣2x+3分别相交于点D，E，F，⊙T的圆心为T（0，t），半径为2，若△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”，直接写出t的取值范围． ( 备用 图 ) ( 备用 图 ) ( 第 1 页 共 36 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $交大附中2025-2026学年第二学期九年级模拟考试参考答案与试题解析 一.选择题（共11小题） 1.D.2.D.3.A.4.C.5.A.6.C. 7.D.8.B.9.A.10.B.11.B. 二.填空题（共4小题） 12.a-3)3.13.0,)·14.1.15.(275-2. 三.解答题（共11小题） 16.【解答】解：(1)原式=-3+√3×2v2+1 =-3+2W6+1 =2V6-2: 17.原式=2x-xx+1),2(x+1) x+1 -(x-1) =2x-x2-x,2(x+1) x+1-(x-1) =-xx-1,20x+1) x+1-(x-1) =2. 18.【解答】解：原方程两边同乘以(x-2)得：1-x+1=x-2. 解得x=2. 检验：当x=2时，x-2=0, 所以x=2为分式方程增根，故原分式方程无解. 19.【解答】解：(1)由条件可得4=2 k=-8, ·反比例函数的解析式为y=一是 把(8，m）代入y=-8得m=1, .点C的坐标为(8，-1)， 把4-24)和点c8、1D代入m6621解日二之 -2a+b=4 b=3 “一次函数的解析式为y=-x+3。 综上所述：“反比例函数的解析式为y=一是一次函数的解析式为y=一五x+3。 7 y (2)如图，方法不唯一，P点坐标为(0，一3) 20.【解答】解：(1)由题意得，=(12.8+11.9+11.7+12.5+11.3+13.3+12.3+12.6)÷8=12.3： 将pH值为6的8个数据排列为：12.7,12.8,12.8,12.9,13.3,13.5,13.6,14 中位数n=12.9+133 =13.1, 2 补全条形统计图如下： 蒜苗高度/cm 14t12.041333 11.9 12.312.411.97,,11.56 12 0810.119.5 10 8 6 4 2 5 6 6.3 6.8 8 10 pH 口平均数 口中位数 (2)根据以上实验数据，该校计划在酸碱度(H值)为6的试验田中种植120株蒜苗（其 他条件与培养盆的条件相同)，经过相同时间后测量蒜苗的高度，则： 第1页共6页 根据实验数据可得，当酸碱度(pH值)为6时，蒜苗高度不低于13m的占比为。=2 41 120×260(株) 答：这块试验田中高度不低于13cm的蒜苗有60株： (3)①从平均数角度分析：土壤的酸碱度(pH值)为6时，蒜苗生长高度的平均数最高， 说明该酸碱度下蒜苗的整体生长水平最优；当pH值偏离6（无论升高或降低），平均数均呈 下降趋势； ②从中位数角度分析：土壤的酸碱度(pH值)为6时，蒜苗生长高度的中位数最高，与平 均数趋势一致，进一步验证该酸碱度下蒜苗的中等生长高度也最优； ③从方差角度分析：土壤的酸碱度(H值)为6时方差最小，说明该酸碱度下蒜苗个体间 的高度差异最小，生长状态最稳定；土壤的酸碱度(H值)为10时方差最大，说明该酸碱 度下蒜苗个体生长差异最大，生长状态最不稳定。 21.【解答】：择方案一，理由为测量工具较简单，方便， A H M 「B 1.4m 不N DF .∴CD=2.6m,EF=1.6, ..CG=CD-EF=1mL, .DF=1.4,GH=38.6, ..GE=1.4mL,HE=GH+GE=40m, .CG∥AH, ∴.△ECG∽△EAH, AH 第2页共 解得AH≈28.57， ∴.AB=AH+FE-1.4=28.57+1.6-1.4=28.77≈28.8(m), 答：旗杆AB的高度为28.8米； 选择方案二，理由为测量较准确， A YM B 1.4mh E N D 设AB=xI, ∠ACB=45°，∠ABC=90°， .∴.BC=AB=x7IL, ,在Rt△ABE中，∠AEB=42°，BE=BC+CE=x+3.2, .AB ∴tan∠AEB=BE, 即tan42°= X +3.2≈0.90， 解得x=28.8, 答：旗杆AB的高度为28.8米. 22.【解答】故答案为：FD=FB,∠BED,AD∥BC,OD=OB,DE=BF,. 23,【解答】(1)证明：如图，连接OC, .OB=OC, ∴.∠OBC=∠OCB, 6页 ,BC平分∠ABE, ∴.∠OBC=∠CBE, ∴.∠OCB=∠CBE, .OC∥BE, ,BE⊥CE, ∴.OC⊥CE, .OC是⊙0的半径， ∴.CE是⊙O的切线： (2)解：如图，连接AC, .AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠ABC+∠A=90°， CD⊥AB, ∴.∠CDA=CDB=90°， .∠A+∠ACD=90°， ∴.∠ACD=∠ABC, .△ACD∽△CBD, ,、AD CD 即CD=ADBD, .CD=6cmL,AB=13Cm=AD=BD, .62=AD·(13-AD), 解得AD=4或AD=9, 当AD=4时，BD=13-4=9, 当AD=9时，BD=13-9=4, B E D C A 第3页 .AD<BD, .AD=4. (a+b+1=3 24.【解答】解：(1)由题意可得： 解得：6二1 (2)①A(x1,y1),B(x2,y2)两点均在该抛物线上， ∴.y1=x1+x1+1,y2=x2+x2+1, y1-y2=x+x1+1-(x2+x2+1)=x1-x3+x1-x2=(x1+x2)x1-x2)+x1-x2, ,x1+x2=2, ∴.y1-y2=2(x1-x2)+x1-x2=3(x1-x2), ,x1≠x2, y42=31-2)=3. X1-X2 X1-X2 ②证明：，x1+x2=2, ∴.x2=2-x1, :y1=x好+x1+1,y2=x3+x2+1, .y1+y2=x1+X吃+x1+x2+2, y1+y2=x+(2-x1)2+2+2=2x3-4x1+8=2(x1-1)2+6, .X1卡X2, ..x1≠1， .x1-1≠0， ∴.2(x1-1)2+6>6, ∴.y1+y2>6. 25.【解答】(1)证明：，四边形ABCD是长方形， 又，AC⊥BD, 共6页 .四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAC=∠DAC 在△ABP和△ADP中， (AP=AP ∠BAP=∠DAP, AB=AD .△ABP≌△ADP(SAS): (2)解：∠BPE的大小不发生变化：理由如下： 如图2，四边形ABCD是正方形，过点P作PM⊥AD于点M,作PG⊥AB于点G, E G B A M 0 图2 ∴AC平分∠BAD,∠BAD=90°， ∴LBAC=∠DAC=2BAD=3×90°=45. 又，PMLAD,PG⊥AB, .PM=PG,∠PMA=∠PMD=90°，∠PGA=∠PGB=90°， ∴.四边形AMPG是矩形 .'PM=PG, ∴.四边形AMPG是正方形， ∴.∠MPG=90°，AM=PM. 第4页 由旋转得，PB=PE, 在Rt△BPG和Rt△EPM中， (PB=PE PG=PM ∴.Rt△BPG≌Rt△EPM(HL), ∴.∠BPG=∠EPM. .'∠MPG=∠EPM什∠EPG=90°， ∴.∠EPG+∠BPG=90°，即∠BPE=90°， .∠BPE的大小不发生变化： 25.【解答】解：(1)①如图1.1， y A B 43 0 34x 图1.1 A(0,2),B(2,2), ∴.OA=2,OA⊥AB, ∴点A在⊙O上， .⊙O与AB相切， .线段AB上没有点在⊙O外， ∴.线段AB不是⊙O的“交割线段”， .0C=1<2,0B=V22+22=22>2, ∴.点C在⊙O内，点B在⊙O外， 共6页 ∴线段AC上没有点在⊙0外，线段BC上有点在⊙O内，也有点在⊙0内， 同理可得D(0,3),F(3,-3): ∴.线段AC不是⊙O的“交割线段”，线段BC是⊙O的“交割线段”， 如图2.1所示，当⊙T恰好经过点D时， 故答案为：BC; ②如图1.2所示，设直线OB在x轴上方与⊙0交于T,过点T和点B分别作x轴的垂线， 垂足分别为GH,设T(tt), y 图2.1 图1.2 .TD=2, ∴.OH=BH=2,OG=TG=t, .t=2+3=5: 此时点H网好在⊙O上，且此时BH与⊙O相切： 如图2.2所示，当⊙T恰好与EF相切于H时，连接TH :⊙0的半径为2， y ∴OT=2, t2+P=22, 解得t=√2或=-V2(舍去)， ∴.由函数图象可知，当点M在BT之间（不包括端点），即V2<m<2时，线段MN是⊙O的 “交割线段”； 由对称性可得：当-2<m<-V2时，线段MN是⊙0的“交割线段”： 图2.2 综上所述，当-2<m<-v2或2<m<2时，线段N是⊙O的“交割线段”； E(-3,3),D(0,3), (2)3-2W5<1≤1或2W2≤t<5;理由如下： .DE=OD=3,DE⊥OD, 联北3女 ∠D0E=45°， x=-3 解得：=3 由切线的性质可得∠HO=90°， ∴.△TOH是等腰直角三角形， E(-3,3), 第5页共6页 ,t=0T=V2TH=2V2, .当2V2≤t<5时，DE,DF是⊙T的“交割线段”，EF不是⊙T的“交割线段”： 如图2.3所示，当⊙T恰好经过点D时， D E H 2 F 图2.3 ∴TD=2, ∴.t=3-2=1: 如图2.4所示， y D E 图2.4 当⊙T恰好与DF相切于P时，连接TP,设直线DF与x轴交于Q, ∴Q(2,0). DQ=V0D2+002=3y5 2 :sinu0DQ=最 15 -5 由切线的性质可得∠TPD=90°，TP=2, ∴.sinLTDP= TP 5 DT=5, ∴.DT=2V5, ∴.0T=DT-0D=25-3, ∴.t=3-2W5, ∴.当3-2V5<t≤1时，EF,DF是⊙T的“交割线段”，DE不是⊙T的“交割线段"”： 综上所述，当3-2W5<t≤1或2V2≤t<5时，△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交 割线段” 第6页共6页