精品解析：甘肃省兰州市城关区甘肃弘毅绿地实验学校 2024-2025学年下学期九年级3月月考数学试题

甘肃省兰州市城关区甘肃弘毅绿地实验学校2024-2025学年下学期九年级3月月考数学试题 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．） 1. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 2. 用5个相同的小正方体搭成的立体图形，左视图不相同的立体图形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则a是（ ） A. 正数 B. 非正数 C. 负数 D. 非负数 5. 使式子有意义的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 如图①是某相框支架的实物图，其示意图如图②所示，已知．若，则的度数为（　　） A B. C. D. 7. 已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是边上中线，是的中位线，若，则（　　）​ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6​ 9. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A. B. 1 C. D. 11. 现有四张正面印有神舟载人航天飞行任务标识的卡片，它们除内容标识之外其他完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，等腰直角三角形ABC的腰长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B和A→C的路径向点B、C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBC Q的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，将答案写在答题卡上．） 13. 因式分解：______． 14. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850 盖面朝上频率 下面有三个推断： ①通过上述实验结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的； ②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”； ③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53． 其中正确的是______．（填序号） 15. 如图，点在上，，则_____________． 16. 如图，在矩形中，E、F分别是边的中点，与相交于点O，过点O作交于点M，若，则的长为______． 三、解答题（共12小题，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简再求值：÷，其中x＝2﹣． 19. 求解不等式组：． 20. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供信息，解答下列问题： （1）直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． （2）补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 （3）若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？ 21. 问题：如图1，，点P是内的一定点，点P、M、N不在同一直线上，当的周长最小时，此问题是轴对称求最值问题的典型应用，已知点P关于直线的对称点C，交于点R．请按以下要求依次完成（1）（2）问： （1）尺规作图：请在图2中作出点P关于直线的对称点D，连接交、分别于点M、N，连接交于点T （2）综合（1）的作图，将下列解答过程补充完整． ∵点P关于、的对称点分别为点C、D， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，①_______， ∴． ∵②_______， ∴当点C、M、N、D在同一直线上时，的值最小． 即的周长最小， ∵，， ∴，③_______， 由作图得，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴④_______°． ∴⑤_______°． 22. 足球训练中球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.4米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 23. 在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量校园外一栋建筑物的高度，同学们设计了两个测量方案，如表： 课题 测量建筑物的高度 测量工具 测角仪、皮尺及两根的标杆 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 说明 点，，在同一直线上，，为标杆 为建筑物旁边的小楼 测量数据 从点处测得点的仰角为，从点处测得点的仰角为， 从点处测得点的仰角为， （1）根据以上数据请你判断，第________小组无法测量出建筑物的高度； （2）请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出建筑物的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 24. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 25. 如图，一次函数（k为常数，）的图像与x轴，y轴分别交于，两点，且，与反比例函数（m为常数，且）的图像交于C，E两点，过点C作轴于点D，且． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 26. 如图，AB为的直径，点在上，，点在的延长线上，点在上且，直径与的延长线相交于点P，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 27. 在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． （1）连接，如图1，求证：； （2）如图2，过点作交于点，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长． 28. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”． （1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值； （3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省兰州市城关区甘肃弘毅绿地实验学校2024-2025学年下学期九年级3月月考数学试题 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．） 1. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：3370万． 故选：． 2. 用5个相同的小正方体搭成的立体图形，左视图不相同的立体图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图，熟练掌握从左面看到图形画法是解题的关键．本题画出从左边看到的平面图形即可判断． 【详解】解：选项ABD，左面看到的形状是：， 选项C，左面看到的形状是： 故选：C． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键． 在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，据此判断即可． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不合题意； C、，故本选项不合题意； D、，故本选项不合题意； 故选：A． 4. 若，则a是（ ） A. 正数 B. 非正数 C. 负数 D. 非负数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值．根据绝对值的性质：正数的绝对值是本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，即一个数的绝对值是非负数，求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即a一定是非正数． 故选：B． 5. 使式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据分式的分母不能为、二次根式的被开方数大于或等于列出式子求解即可． 【详解】解：使式子有意义， 则，且， 解得：且， 故选：B． 6. 如图①是某相框支架的实物图，其示意图如图②所示，已知．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等得出，再根据邻补角的定义即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B． 7. 已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直线所过象限，判断的符号，根据图象过二，三，四象限，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：直线经过二，三，四象限， ∴， ∴； 故选D． 8. 如图，在中，，是边上中线，是的中位线，若，则（　　）​ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6​ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记各性质定理是解题的关键．根据直角三角形斜边上的直线的性质得出的长，再根据三角形中位线定理得出结果． 【详解】解：在中，，是边上中线，， ∴， ∵是的中位线， ∴， 故选：D． 9. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛， 根据题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于k的一元一次不等式，结合二次项系数不等于0，可得出k的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ∵， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”． 11. 现有四张正面印有神舟载人航天飞行任务标识的卡片，它们除内容标识之外其他完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的结果有2种，再由概率公式求解即可．此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：把印有神舟十六号载人飞行任务、神舟十七号载人飞行任务，神舟十八号载人飞行任务的卡片分别记为：A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的有6种， ∴抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为， 故选：A． 12. 如图，等腰直角三角形ABC的腰长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B和A→C的路径向点B、C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBC Q的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出四边形PBCQ的面积，得到y与x的函数关系式，再根据函数解析式确定图象即可. 【详解】由题意得： (0≤x≤4)， 可知，抛物线开口向下，关于y轴对称，顶点为（0，8）， 故选：C. 【点睛】此题考查二次函数的性质，根据题意列出解析式是解题的关键. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，将答案写在答题卡上．） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式y，然后再利用平方差公式进行分解即可. 【详解】 = =， 故答案为. 【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 14. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850 盖面朝上频率 下面有三个推断： ①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的； ②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”； ③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53． 其中正确的是______．（填序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可． 【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确； ②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误； ③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确． 故答案为：①③． 【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键． 15. 如图，点在上，，则_____________． 【答案】##102度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据题意得到，再根据三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，E、F分别是边的中点，与相交于点O，过点O作交于点M，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．过点O作交、于点H、N，根据题意得出，，则，设，则，再由相似三角形的判定和性质得出，确定，利用等量代换得出，再次利用正切函数及勾股定理即可求解． 【详解】解：过点O作交于点H、N，如图所示： ∵，E、F分别是边的中点， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数运算，特殊角三角函数，绝对值，熟练掌握实数运算法则与熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 先计算乘方，并把特殊三角函数值代入、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简再求值：÷，其中x＝2﹣． 【答案】﹣x+2， 【解析】 【分析】首先计算下括号里面分式的减法，然后再计算分式的除法，化简后，再代入x的值即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝﹣（x﹣2） ＝﹣x+2， 当x＝2﹣时，原式＝﹣2+2＝． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键． 19. 求解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集. 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为. 20. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． （2）补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 （3）若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？ 【答案】（1）见解析； （2），，； （3）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数与众数、用样本估计总体，从统计图中获取数据求出中位数和众数是解题的关键． 根据乙学校测试班级有人的成绩是级，占总人数的，可以求出乙校参加测试的总人数人，从而可知甲校参加测试的总人数为人，用减去获得、、等于级的人数，可得获得级的人数，根据获得级的人数补全统计图； 根据平均数、中位数、众数的定义分别求出、、的值即可； 利用样本估计总体，用甲校参加测试的同学中级及以上同学占测试总人数的百分比代表全年级同学中级及以上人数占全年级人数的百分比计算即可． 【小问1详解】 解：乙学校测试班级有人的成绩是级， 从乙校测试班级成绩统计图中可以看出乙学校成绩是级的占总人数的， 乙校参加测试的学生的总人数为(人)， 甲校参加测试的学生总数也是人， 甲校成绩为级的人数为(人)， 补全甲校测试班级成绩统计图如下： ： 【小问2详解】 解：甲校参加测试的共有人，按照成绩从高到低排列第名学生应在级， 甲校测试班级的中位数是分， 即， 乙校测试成绩获得组的人数为(人)，获得级的有(人)， 获得级的有(人)，获得级的有(人)， 乙校测试成绩的平均数为：， 乙校测试成绩中获得级的人数最多， 乙校测试成绩的众数是， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级及以上的人数占测试总人数的， 利用样本估计总体，可得：甲校测试成绩达到级及以上的人数为(人)， 答：估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有人． 21. 问题：如图1，，点P是内的一定点，点P、M、N不在同一直线上，当的周长最小时，此问题是轴对称求最值问题的典型应用，已知点P关于直线的对称点C，交于点R．请按以下要求依次完成（1）（2）问： （1）尺规作图：请在图2中作出点P关于直线的对称点D，连接交、分别于点M、N，连接交于点T （2）综合（1）的作图，将下列解答过程补充完整． ∵点P关于、的对称点分别为点C、D， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，①_______， ∴． ∵②_______， ∴当点C、M、N、D在同一直线上时，的值最小． 即的周长最小， ∵，， ∴，③_______， 由作图得，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴④_______°． ∴⑤_______°． 【答案】（1）见解析； （2）；②点M、N分别在、上移动；③；④50；⑤80． 【解析】 【分析】（1）过点P作的垂线，交于点T，以点T为圆心，的长为半径画弧，交垂线于点D，连接，交、分别于点M、N，连接、即可． （2）根据线段垂直平分线的性质、轴对称的性质填空即可． 【小问1详解】 解：如图所示． 小问2详解】 解：∵点P关于、的对称点分别为点C、D， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，①， ∴． ∵②点M、N分别在、上移动， ∴当点C、M、N、D在同一直线上时，的值最小． 即的周长最小， ∵，， ∴，③， 由作图得，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴④． ∴⑤． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换、线段垂直平分线的性质、轴对称﹣最短路线问题，四边形的内角和定理的应用，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 22. 足球训练中球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.4米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球能射进球门 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求出函数解析式是解题的的关键． （1）求出抛物线的顶点坐标为，设抛物线，把点代入求得，即可得到抛物线的函数表达式； （2）求出抛物线与y轴交点的纵坐标，与球门高度比较后即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵（米）， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线，把点代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴球能射进球门． 23. 在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量校园外一栋建筑物的高度，同学们设计了两个测量方案，如表： 课题 测量建筑物的高度 测量工具 测角仪、皮尺及两根的标杆 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 说明 点，，在同一直线上，，为标杆 为建筑物旁边的小楼 测量数据 从点处测得点的仰角为，从点处测得点的仰角为， 从点处测得点的仰角为， （1）根据以上数据请你判断，第________小组无法测量出建筑物的高度； （2）请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出建筑物的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】（1）二 （2）建筑物的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题中的仰角问题、等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握仰角的定义，根据锐角三角函数解决实际问题． （1）根据第二组没有测量的长度，即可解答； （2）根据第一组的测量数据，延长交于点，可得是等腰直角三角形，得，在中，由锐角三角函数定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵第二组没有测量的长度， ∴第二组无法测量出建筑物的高度， 故答案为：二． 【小问2详解】 解：根据第一组的测量数据，如图，延长交于点， 则四边形和四边形都是矩形， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 中，，即， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， ∴建筑物的高度． 24. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质和勾股定理： （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等；熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 如图，一次函数（k为常数，）的图像与x轴，y轴分别交于，两点，且，与反比例函数（m为常数，且）的图像交于C，E两点，过点C作轴于点D，且． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）用含代数式表示出，两点的坐标，然后根据即可求出，然后再将点C的横坐标代入求出纵坐标，最后将点C的坐标代入即可求出； （2）将一次函数与反比例函数联立即可求出点的坐标，然后即可计算的面积； （3）根据点和点的横坐标，结合图像，找到反比例函数图像在一次函数图像下方时对应的范围即可． 【小问1详解】 解：当代入得；当代入得， 故，， ， ， 一次函数解析式为：， ， 点C的横坐标为，将代入得， 即点C的坐标为，将点C的坐标代入得， ， 反比例函数解析式为：； 故一次函数解析式为：，反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：将一次函数与反比例函数联立得， 解得或， 故点的坐标为，点到轴的距离为， ； 【小问3详解】 解：由（2）可知点的坐标为，点的坐标为， ， 根据图像可得：或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数结合的图像性质，利用图像解不等式等知识，采用待定系数法求函数解析式是解题关键． 26. 如图，AB为的直径，点在上，，点在的延长线上，点在上且，直径与的延长线相交于点P，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线判定，解直角三角形，勾股定理等． （1）连接，得到，再得到，继而得到，即可得到本题答案； （2）设，则，利用勾股定理列式，再连接，再利用三角函数公式即可得到本题答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与半圆相切于点， 即是的切线； 【小问2详解】 解：设，则， ，， ， 在中，， ， 解得，（舍去） ， ， 连接， 则， ， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ． 27. 在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． （1）连接，如图1，求证：； （2）如图2，过点作交于点，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，即可； （2）连接，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得，，，根据，四边形的内角和，则，推出，根据平角的性质，可，等量代换，可得，根据等边对等角，可得，根据三角形的内角和，即可； （3）延长到，使，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得 ，，由（2），根据角的数量关系，可得，根据全等三角形的判定和性质，可得，，再根据线段之间的数量关系，即可． 【小问1详解】 解：证明如下： ∵四边形是正方形，是对角线 ∴， ∵是公共边 ∴ ∴． 【小问2详解】 解：证明如下： 连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【小问3详解】 解：延长到，使， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查正方形，全等三角形，等腰三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，进行解答，即可． 28. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”． （1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值； （3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．． 【解析】 【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案； （2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可； （3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案． 【详解】解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解， ∴函数y=x+2没有“等值点”； ∵函数，令y=x，则，即， 解得：， ∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)； （2）∵函数，令y=x，则， 解得：(负值已舍)， ∴函数的“等值点”为A(，)； ∵函数，令y=x，则， 解得：， ∴函数的“等值点”为B(，)； 的面积为， 即， 解得：或； （3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2． ∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称， ∴函数W的解析式为， 令y=x，则，即， 解得：， ∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)； 令y=x，则，即， 当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况； 当时，观察图象，恰有2个“等值点”； 当时， ∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)， ∴函数W2没有“等值点”， ∴， 整理得：， 解得：． 综上，m的取值范围为或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $