专题01 相交线与平行线（期末6大重难点汇编）2025-2026学年浙教版七年级数学下册

七年级数学期末总复习讲义 第1课 相交线与平行线 知识点梳理 考点01对顶角 考点02垂直 考点03三线八角 考点04平行的性质与判定 考点05平行的判定 考点06图形的平移 知识点01 对顶角 1.对顶角的定义与性质 观察图形中∠1 和∠3：它们有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角。 对顶角性质 对顶角相等 几何语言： ∠1=∠3 （ 对顶角相等 ） 真题汇编 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，直线与相交于点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是对顶角相等，根据对顶角的性质可得答案. 【详解】解：∵直线相交于点O，， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据垂直定义可得：∠，从而可得，进而可得，，然后利用平角定义可得：，再利用角平分线的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线，相交于点，平分，，且，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角相等，角平分线定义，垂直定义， 先根据“对顶角相等”得，再根据角平分线定义求出，然后根据垂直定义得，即可求出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵平分， ∴. ∵， ∴， 即， ∴. 故答案为：. 4．（24-25七年级上·吉林长春·月考）如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，平角的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案； （2）由平角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 5．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）直线相交于点O，过点O作． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由． (3)在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或，理由见解析 【分析】（1）根据垂直的定义进行计算即可； （2）根据垂直的定义，对顶角相等以及等角的余角相等可得答案； （3）根据垂直的定义，平角的定义以及对顶角相等、同角的余角相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵． ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵． ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即是的平分线； （3）解：如图11，，理由如下： ∵， ∴，即， ∵． ∴，即， ∵， ∴ ∵， ∴． 如图12，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂线，角平分线，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等，掌握垂直的定义，角平分线的定义，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等是正确解答的关键． 知识点02 垂线 1.垂直的定义 如图，当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 直线AB与直线CD互相垂直，垂足为，则记作:AB⊥CD，垂足为. 2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. 直线外一点到这条直线垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离. 真题汇编 6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）校运动会测量跳远成绩时，应用的数学基本事实是_________． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：校运动会测量跳远成绩时，应用的数学基本事实是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 7．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，于点，则点到的距离是（    ）． A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，注意：从直线外一点向这条直线作垂线，这点和垂足之间线段的长，叫作这点到直线的距离．根据点到直线的距离的定义得出答案即可． 【详解】解：于， 点到直线的距离是线段的长度， 故选：C． 8．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间，线段最短 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【分析】根据“垂线段最短”解答即可． 【详解】解：∵，且点N是垂足， ∴要在河堤两岸搭建一座桥，沿着线段搭建最短，理由是：垂线段最短． 9．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）同一平面内，直线，相交于点，是的角平分线，，于点，则的度数是_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查相交线的相关知识，涉及垂直的定义，角平分线的性质，对顶角相等以及角的和差计算．弄清楚角之间的和差关系是解题关键．分在两侧两种情况，利用角平分线、垂直及平角性质求． 【详解】解：情况一：在内部， 设，则， ∵平分， ∴， 由， 得， 即， ∵， ∴， 则， 因此； 情况二：在内部， 同上，， ∴（对顶角相等）， ∵， ∴， 因此； ∴的度数有两种可能：或． 故答案为：或． 10．（25-26七年级下·浙江·期中）如图，已知直线相交于点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）垂直得到，对顶角相等结合角平分线的定义，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）设，则，根据角平分线的定义结合角的和差关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， 又平分， ； （2）解：， ∴设，则． 平分， . 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处共有8个角，知识点03 三线八角 我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。 （1）在两条被截直线的同侧（上方），第三条截线的同旁 具有这种位置关系的两个角叫做同位角。 同位角形如字母“F”。如：∠1与∠6 （2）在两条被截直线之间，第三条截线的两侧 具有这种位置关系的两个角叫做内错角. 内错角形如字母“N”。如：∠4与∠5 （3）在两条被截直线之间，第三条截线的同旁 具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角. 同旁内角形如字符“匚”。如：∠1与∠5 真题汇编 11．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，被直线所截，以下角中与是同旁内角的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 【详解】解：与是同旁内角的是． 12．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两条直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，且在被截直线的同一方的两个角叫做同位角；在两条被截直线之间，并且在截线两侧的两个角叫做内错角；在两条被截直线之间，并且在截线同一旁的两个角叫同旁内角． 【详解】解：选项A：和是内错角，不符合题意． 选项B：和是同旁内角，不符合题意． 选项C：和是同位角，符合题意． 选项D：和既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，不符合题意． 13．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，直线a，b，c两两相交，和是一对（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角，对顶角的定义，其中同位角，内错角，同旁内角是两直线被第三条直线所截产生的具有特殊位置关系的角，而对顶角是两直线相交产生的具有特殊位置关系的角，厘清概念是解题关键．观察和的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图所示，和具有公共边，另外两条边分别在直线和上，在截线的同一侧，被截线和的内部，故和是直线、被直线所截而成的同旁内角． 故选：C． 14．（24-25七年级下·浙江温州·期末）如图，，被所截，则的内错角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三线八角，根据内错角的定义，找Z形即可． 【详解】解：由图可知，的内错角为； 故选：D． 15．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图所示，在所标识的角中，内错角是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查对顶角、同旁内角、同位角和内错角的识别，根据各自的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、和是对顶角，故本选项不符合题意； B、和是内错角，故本选项符合题意； C、和是同位角，故本选项不符合题意； D、和是同旁内角，故本选项不符合题意； 故选：B． 知识点04 平行线的性质 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 若直线 AB 与直线 CD 平行，记作AB//CD，读作直线AB平行于直线CD。 基本事实：经过直线外一点，有且只有1条直线与这条直线平行。 传递性：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等 （2）两直线平行，内错角相等 （3）两直线平行，同旁内角互补 （4）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性） （5）垂直于同一条直线的两直线平行 （6） 平行线间距离处处相等 真题汇编 16．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列说法：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；相等的两个角是对顶角；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直相关性质，垂线段最短的性质，对顶角相等的性质，平行线的相关性质，根据垂直相关性质，垂线段最短的性质，对顶角相等的性质，平行线的相关性质逐一排除即可，熟记教材中的定义以及性质是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不符合题意； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，原说法正确，符合题意； 相等的两个角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原说法正确，符合题意； ∴正确的有， 故选：． 17．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，，直线分别与，交于点，，平分交于点，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ． 故选：B． 18．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质得出，由平角定义得到，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴； 故选：B ． 19．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，根据平行线的性质得出，再根据折叠性质得出，进而解答即可． 【详解】解：由折叠性质可得，， ，， ， ， ， ， ， 由折叠性质可得，， ， ， ， 故选：A． 20．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，直线，当x，y的值变化时，下列各式的数值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，分别过B、C、D、E作直线a的平行线，则，由平行线的性质可得，，，，可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图，分别过B、C、D、E作直线a的平行线， ， ∴ ，， ， 同理，，，， ，，， ， ， ， 当x，y的值变化时，的数值不变． 故选：A． 21．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为________． 【答案】12 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形板的角度数求解即可． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 22．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，把一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质． 先求出，再根据平行线的性质作答即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵直尺的两边所在的直线是平行的， ∴ 故答案为：． 23．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，，，则____． 【答案】 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，作，则，再结合题意可得，求出，即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，则， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（19-20七年级·浙江金华·期中）如图，平分，，若，则________．    【答案】/35度 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义进行计算即可解答，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 平分， ， 故答案为：． 25．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，，则结论：①；②；③；④中，正确的结论为____________．（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了垂直、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．根据平行线的判定可得，由此即可判断③正确；根据平行线的性质即可判断①正确；过点作，则，根据平行线的性质可得，再根据垂直的定义可得，，由此即可判断②正确；假设，则，再根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵， ∴，则结论③正确； ∴，则结论①正确； 如图，过点作， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，则结论②正确； 假设， ∵， ∴， ∴， 由①②可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，但根据已知条件不能得出， ∴假设不成立，即结论④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故答案为：①②③． 26．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，，． (1)判定与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，结合已知证明即可； （2）根据平行线的性质，结合角的平分线解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． （2）解：∵，， ∴； ∵是的平分线， ∴； ∵， ∴． 27．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，． (1)判断，是否平行，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质， （1）根据平行线的性质及已知说明，再根据平行线的判定证明即可； （2）根据平行线的性质解答即可； 解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行． 【详解】（1）解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 28．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知：如图点C在的一边上，过点C的直线，平分 (1)若，求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义． （1）依据平行线的性质，即可得到，再根据角平分线的定义，即可得出的度数； （2）先证明，，再根据角平分线的定义，推导出，则有，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）证明：∵， ∴， ， ， ∵平分， ∴， ， ∴， ∴平分． 29．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中． (1)若，求的度数； (2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变． ①当时，求的度数； ②说明与的差是定值． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了平行线性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用平行线性质推出，再结合平角定义求解，即可解题； （2）①过点作，利用平行线性质和判定推出，结合，进而得到，再结合平角定义求解，即可解题； ②设，由①可知，，推出，，再作差计算，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：①过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②设， 由①可知，， ， ， ， ， ， 与的差是定值． 30．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，与交于点E． (1)当，，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G， ①若，，求的度数； ②当，求的度数（用含α的式子表示）； (3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，设为，为，为，则之间的数量关系是________． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，理解角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点E作（点K在点E的右侧），证明，进而得，，则，则，再代入即可求解； （2）根据，得，再根据角平分线定义得，，由（1）得，，则，，由此可得出的度数； ②根据角平分线定义设，，则，，根据，得，由（1）得，，进而得，，再代入化简即可得出答案； （3）依题意有以下两种情况：①当点N在直线a，b之间时，设，则，，根据角平分线的定义设，则，由（1）得，，进而得，由此可得出之间的数量关系；②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），设，则，设，则，由（1）得，再根据平行线的性质求出，则，由此可得出之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：过点E作（点K在点E的右侧），如图1所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①同上可得：， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由（1）得：，， ∴，， ∴； ②∵平分，平分， 设，， ∴，， 由（1）得：， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴，， ∴； （3）解： ∵N为的角平分线上一点，且， ∴有以下两种情况： ①当点N在直线a，b之间时，如图3①所示： 设， ∵， ∴， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设， ∴， 由（1）得：，， 又∵， ∴， ∴， 即：； ②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），如图3②所示： 设， ∵， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设，则， 由（1）得：， ∵，直线a， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即 综上所述：之间的数量关系是：或， 故答案为：或． 知识点05 平行线的判定 平行线的判定 判定方法1:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 真题汇编 31．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线，被直线所截，若要使，则需具备条件（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，应该在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的关系上入手，满足三者中的任一个都能使，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．与是一对对顶角，它们相等对于证明两直线平行没有帮助，故A不符合题意； B．与是一对邻补角，它们互补对于证明两直线平行没有帮助，故B不符合题意； C．与是一对同旁内角，但并不互补，所以不能推出两直线平行，故C不符合题意； D．，同旁内角互补，两直线平行，可得，故D符合题意 故选D ． 32．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，下列条件中能判定的是（ ） ①；②；③；④ A．② B．②③④ C．②④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：能推出，故①不符合题意； 能推出，故②符合题意； 不能推出，故③不符合题意； ∵， ∴，即，能推出，故④符合题意； 综上所述，能判定的是②④， 故选：C． 33．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线与，这样画的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得 ． 故选：B． 34．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，在下列四组条件中，能证明的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、无法证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴，故该选项符合题意； D、∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：C 35．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，点E在射线BC上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，该选项符合题意； 、不能判定，该选项不合题意； 、不能判定，该选项不合题意； 故选：B． 36．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图， 于点A，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行． 【答案】(1)，理由见详解 (2)根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件（答案不唯一）．理由见详解 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据“内错角相等，两直线平行”可得； （2）根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件，然后根据“内错角相等，两直线平行”可得； 本题主要考查了垂直的定义和平行线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件（答案不唯一）．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 37．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，已知平分，且．试判断与是否平行，并说明理由． 【答案】，详见解析 【分析】本题考查角平分线的概念，内错角相等，两直线平行． 先根据角平分线的定义得出，再由得出，进而可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 38．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，已知，平分，平分，且，说明的理由． 解：因为平分，根据__________， 得；同理， 因为，根据等量代换，得____________， 又因为，根据等量代换，得______， 再根据__________，得． 【答案】角平分线定义；1；3；3；同位角相等，两直线平行 【分析】先根据角平分线定义得出，再根据，得出，最后根据平行线的判定，即可得出答案． 【详解】解：因为平分，根据角平分线定义， 得；同理， 因为，根据等量代换，得， 又因为，根据等量代换，得， 再根据同位角相等，两直线平行，得． 39．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，已知，则与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解： （已知） （    ）， ∴（    ） ∥ （    ）， 又 ， （    ）（等式的性质 ）， 同理可得 （    ）， （等量代换）， ∴（    ）∥ （    ）（    ）． 【答案】等量代换；；；；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定定理和垂直的定义，首先利用已知角的度数，通过等量代换得到同位角，依据同位角相等判定与平行；再根据垂直的定义得到直角，计算出和的度数，通过等量代换得到这两个同位角相等，进而判定与平行． 【详解】解：(已知) (等量代换)， (同位角相等，两直线平行)； 又， (等式的性质)； 同理可得； (等量代换)， (同位角相等，两直线平行)， 故答案为：等量代换；；；；；；；同位角相等，两直线平行． 40．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，交于点，，分别平分和，且. (1)请判定直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数. 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键． （1）由角平分线定义可得，则可求得，从而可求得，即可判定； （2）由（1）可知，再根据对顶角性质求解即可． 【详解】（1）解：；理由如下： ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 知识点06 平移 平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 要素分析：（1）平移方向（2）平移距离 真题汇编 41．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下面物体运动情况或图形，属于平移的是（　　） A．转动的风车 B．电梯的升降 C．书页的翻动 D．对称的蝴蝶 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象，理解平移的定义以及平移的特征是正确判断的前提．理解平移的三大特征：①直线运动；②大小形状不变；③方向不变．根据平移的特征进行判断即可． 【详解】解：A．转动的风车属于旋转运动，各点做圆周运动，不是平移，故此选项不符合题意； B．电梯的升降，做直线运动，形状和方向不变，是典型的平移，故此选项符合题意； C．书页的翻动属于旋转运动，围绕装订线转动，不是平移，故此选项不符合题意； D．对称的蝴蝶属于轴对称，不是平移，故此选项不符合题意． 故选：B． 42．（24-25七年级下·浙江金华·期末）将下列各图分成两部分，这两部分之间可以互相平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键，根据图形平移的性质解答即可． 【详解】解：A，B，D选项图像的两部分之间不能互相平移得到，不符合题意； B选项两部分之间可以互相平移得到，符合题意． 故选：B． 43．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，绿化区的面积是． 故选：B． 44．（24-25七年级下·浙江台州·期末）下列四幅图片中，通过一个基本图形平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 平移前后，物体的大小方向均不变，逐项分析即可． 【详解】解：∵平移前后，物体的大小方向均不变， ∴选项C满足． 故选：C 45．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）甲骨文和小篆是我国的一种古代文字，下列文字中，能近似看作其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有D选项中的图形是经过平移得到的． 故选：D． 46．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)线段扫过的面积为16 【分析】本题考查了图形的平移变换及其性质，包括平移后图形的画法、平移后对应线段的关系以及图形平移过程中线段扫过的面积计算，解题的关键是掌握平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小，平移后对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系； （3）线段扫过的面积为平行四边形，然后利用“割补法”可求得面积是多少． 【详解】（1）解：找出对应点然后连接即可； （2）解：根据平移的性质，平移后对应点所连的线段平行且相等．因为A与、B与是平移前后的对应点，所以与平行且相等． 故答案为：且． （3）解：线段扫过的面积即为平行四边形的面积， 利用“割补法”得到： ∴线段扫过的面积为16． 47．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在的网格中，每个格子的边长为1．已知点A，B，C都在网格图的格点上． (1)将向左平移2格，再向上平移2格．在图中画出平移后的． (2)在（1）的条件下，连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，10 【分析】（1）根据平移的性质画图； （2）利用割补法求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，连接，， ∴四边形的面积． 48．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，三角形沿方向平移到三角形的位置． (1)当时，求的度数； (2)当，时，求平移的距离． 【答案】(1) (2)平移距离为2 【分析】（1）根据平移的性质得出，据此可解决问题； （2）根据平移的性质得出，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由平移可知，； （2）解：由平移可知，， ，， ， 平移的距离为． 49．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，在方格纸中将水平向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到． (1)请画出平移后的三角形； (2)若连接，，则这两条线段的位置关系是_________，数量关系是_________； 【答案】(1)见解析 (2)平行，相等 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）由平移可知，这两条线段之间的关系是平行且相等． 50．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在的正方形网格中有，点，，均在格点上． (1)画出点到直线的最短路径； (2)过点画出的平行线，交于点； (3)将向左平移格得到，画出； (4)判断和的数量关系　　　． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)． 【分析】（）点到直线的最短路径，即过点作直线的垂线，由此即可求解； （）根据过点作已知线段的平行线的方法即可求解； （）根据平移的方法作图即可； （）根据得，然后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； （4）解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 A B D C $ 七年级数学期末总复习讲义 第1课 相交线与平行线 知识点梳理 考点01对顶角 考点02垂直 考点03三线八角 考点04平行的性质与判定 考点05平行的判定 考点06图形的平移 知识点01 对顶角 1.对顶角的定义与性质 观察图形中∠1 和∠3：它们有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角。 对顶角性质 对顶角相等 几何语言： ∠1=∠3 （ 对顶角相等 ） 真题汇编 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，直线与相交于点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线，相交于点，平分，，且，则的度数为______． 4．（24-25七年级上·吉林长春·月考）如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 5．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）直线相交于点O，过点O作． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由． (3)在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由． 知识点02 垂线 1.垂直的定义 如图，当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 直线AB与直线CD互相垂直，垂足为，则记作:AB⊥CD，垂足为. 2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. 直线外一点到这条直线垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离. 真题汇编 6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）校运动会测量跳远成绩时，应用的数学基本事实是_________． 7．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，于点，则点到的距离是（    ）． A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 8．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间，线段最短 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 9．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）同一平面内，直线，相交于点，是的角平分线，，于点，则的度数是_______． 10．（25-26七年级下·浙江·期中）如图，已知直线相交于点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处共有8个角，知识点03 三线八角 我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。 （1）在两条被截直线的同侧（上方），第三条截线的同旁 具有这种位置关系的两个角叫做同位角。 同位角形如字母“F”。如：∠1与∠6 （2）在两条被截直线之间，第三条截线的两侧 具有这种位置关系的两个角叫做内错角. 内错角形如字母“N”。如：∠4与∠5 （3）在两条被截直线之间，第三条截线的同旁 具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角. 同旁内角形如字符“匚”。如：∠1与∠5 真题汇编 11．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，被直线所截，以下角中与是同旁内角的是（　　）    A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，直线a，b，c两两相交，和是一对（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 14．（24-25七年级下·浙江温州·期末）如图，，被所截，则的内错角是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图所示，在所标识的角中，内错角是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 知识点04 平行线的性质 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 若直线 AB 与直线 CD 平行，记作AB//CD，读作直线AB平行于直线CD。 基本事实：经过直线外一点，有且只有1条直线与这条直线平行。 传递性：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等 （2）两直线平行，内错角相等 （3）两直线平行，同旁内角互补 （4）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性） （5）垂直于同一条直线的两直线平行 （6） 平行线间距离处处相等 真题汇编 16．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列说法：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；相等的两个角是对顶角；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，，直线分别与，交于点，，平分交于点，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 19．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，直线，当x，y的值变化时，下列各式的数值不变的是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为________． 22．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，把一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为__________． 23．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，，，则____． 24．（19-20七年级·浙江金华·期中）如图，平分，，若，则________．    25．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，，则结论：①；②；③；④中，正确的结论为____________．（填序号）． 26．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，，． (1)判定与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 27．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，． (1)判断，是否平行，并说明理由； (2)若，，求的度数． 28．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知：如图点C在的一边上，过点C的直线，平分 (1)若，求的度数； (2)求证：平分． 29．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中． (1)若，求的度数； (2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变． ①当时，求的度数； ②说明与的差是定值． 30．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，与交于点E． (1)当，，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G， ①若，，求的度数； ②当，求的度数（用含α的式子表示）； (3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，设为，为，为，则之间的数量关系是________． 知识点05 平行线的判定 平行线的判定 判定方法1:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 真题汇编 31．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线，被直线所截，若要使，则需具备条件（    ）    A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，下列条件中能判定的是（ ） ①；②；③；④ A．② B．②③④ C．②④ D．①③ 33．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线与，这样画的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 34．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，在下列四组条件中，能证明的条件是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，点E在射线BC上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 36．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图， 于点A，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行． 37．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，已知平分，且．试判断与是否平行，并说明理由． 38．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，已知，平分，平分，且，说明的理由． 解：因为平分，根据__________， 得；同理， 因为，根据等量代换，得____________， 又因为，根据等量代换，得______， 再根据__________，得． 39．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，已知，则与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解： （已知） （    ）， ∴（    ） ∥ （    ）， 又 ， （    ）（等式的性质 ）， 同理可得 （    ）， （等量代换）， ∴（    ）∥ （    ）（    ）． 40．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，交于点，，分别平分和，且. (1)请判定直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数. 知识点06 平移 平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 要素分析：（1）平移方向（2）平移距离 真题汇编 41．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下面物体运动情况或图形，属于平移的是（　　） A．转动的风车 B．电梯的升降 C．书页的翻动 D．对称的蝴蝶 42．（24-25七年级下·浙江金华·期末）将下列各图分成两部分，这两部分之间可以互相平移得到的是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级下·浙江台州·期末）下列四幅图片中，通过一个基本图形平移得到的是（    ） A．B．C． D． 45．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）甲骨文和小篆是我国的一种古代文字，下列文字中，能近似看作其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 47．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在的网格中，每个格子的边长为1．已知点A，B，C都在网格图的格点上． (1)将向左平移2格，再向上平移2格．在图中画出平移后的． (2)在（1）的条件下，连接，，求四边形的面积． 48．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，三角形沿方向平移到三角形的位置． (1)当时，求的度数； (2)当，时，求平移的距离． 49．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，在方格纸中将水平向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到． (1)请画出平移后的三角形； (2)若连接，，则这两条线段的位置关系是_________，数量关系是_________； 50．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在的正方形网格中有，点，，均在格点上． (1)画出点到直线的最短路径； (2)过点画出的平行线，交于点； (3)将向左平移格得到，画出； (4)判断和的数量关系　　　． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 A B D C $