专题04 整式的乘除（期末6大重难点汇编）2025-2026学年浙教版七年级数学下册

七年级数学期末总复习讲义 第4课 整式的乘除 知识点梳理 知识点01——整式的乘法 知识点02——平方差公式 知识点03——完全平方公式 知识点04——利用完全平方公式的变形求值 知识点05——乘法公式的综合应用 知识点06——整式的除法及混合运算 知识点01 整式的乘法 1.知识点间的联系 单项式和多项式的乘法是初中数学的重要内容，它不仅是后续学习乘法公式、因式分解、分式运算的基础，更是培养数学思维能力的关键环节。 运算名称 运算法则 解题思路 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. p(a+b+c)=pa+pb+pc 化归思想 单项式×多项式→单项式×单项式 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 (p+q)(a+b)=p(a+b)+q(a+b)=pa+pb+qa+qb 化归思想 多项式×多项式→单项式×多项式 →单项式×单项式 联系 用分配律把复杂的运算转化为简单的运算 2. 两个一次二项式的乘法: ①（x+p）(x+q)=x2+(p+q)x+pq ②（ax+m）(bx+n)=abx2+(an+bm)x+mn 数学思想的应用 化归思想：多项式×多项式→单项式×多项式→单项式×单项式→幂的运算 例1 如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式中不含某一项的情况，理解题意，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项后，令x的系数为0，得出关于m的方程，解方程即可得解． 【详解】解：， 的乘积中不含x的一次项， ， 解得， 故选：． 课后练习 1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）小沈同学在计算时，他的第一步计算过程是： 则小沈这一步做法的依据是（   ） A．乘法的交换律和结合律 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分配律 2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，  则的值为 ___________ 3．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如等式，被污染的部分正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知代数式中含项的系数为3，则n的值为________． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下面四个备选答案所提供的整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图，将边长分别为2，3，5的正方形放置在长方形内，阴影部分的面积分别为，，若，则长方形的周长是______． 7．（24-25七年级下·浙江台州·期末）小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边=右边； ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为3，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为2，左边=右边． (1)类比探究： 请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程） (2)基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________； ②若t，r为常数，满足，则__________； (3)拓展应用： 若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值． 8．（24-25七年级下·浙江台州·期末）数学探究 探究主题：月历中的数学 计算发现 （1）用图2所示的“十”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置A，B，C，D上的数按逆时针方向依次两两相乘一次，再把他们的积相加，所得的和叫做这个“十”字型框架的“美好数”．尝试计算图1中“十”字型框架的“美好数”： ． 猜想说理 （2）移动“十”字型框架，多次尝试可以发现，每个“美好数”都与E位置上的数有关．请设出字母，用数学式子表示你发现的规律，并说明理由． 拓展研究 （3）在另一张月历中，两个“十”字型框架如图3摆放，两个“十”字型框架E位置上的数分别为a，b，若两个“美好数”的差为1280，求． 知识点02 平方差公式 1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.(a+b)(a-b)=a2-b2 2. 用面积法证明公式 3. 平方差公式的适用条件 (-a+b)(a-b) 符号都相反 (-a-b)(-a+b) (-a+b)(a+b) (a+b)(b+a) 符号都相同 (-a-b)(a+b) 符号都相反 (b-a)(-a-b) 4.用平方差公式进行巧算 如：计算19×20=(20-)(20+)2=(20)2-()2=400-=399 例2 综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 【分析】此题考查了利用平方差公式计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： … ． 课后练习 9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．（15-16七年级下·山西·月考）下列算式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若等式（       ）成立，则括号内所填的代数式是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）先化简，再求值：，其中． 13．（24-25七年级下·浙江温州·期中）先化简，再求值：，其中，． 知识点03 完全平方公式 完全平方公式是初中数学最重要的公式之一，是后续学习一元二次方程、二次函数等知识的重要基础。 1. 完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 2. 用面积法证明公式： 3. 利用完全平方公式巧算 4. 完全平方式 像a²+2ab+b²，a²-2ab+b²这样由完全平方公式计算得来的二次三项式叫做完全平方式. 完全平方式中间一项是首尾两个数积的2倍. 几个常见的完全平方式：x2+2x+1,x2+4x+4,x2-6x+9,x2+x+. 利用构造完全平方式可以求一个二次三项式的最大值或最小值. 如:因为x2-4x+8=x2-4x+4+4=(x-2)2+4，所以当x=2时，代数式由最小值4. 例3 计算： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 例4 运用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 课后练习 14．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足，，则的值是（   ） A．49 B．37 C．36 D．7 15．（19-20八年级上·重庆渝中·期中） ________． 16．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，则m的值为________． 17．（25-26八年级上·浙江台州·月考）化简： 18．（24-25七年级下·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中，． 知识点04 利用完全平方公式变形求值 三大变形： 1.一个公式的变形 a2+b2=(a+b)2-2ab ,a2+b2=(a-b)2+2ab ; 2.两个公式的变形(a+b)2=(a-b)2+4ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab,(a+b)2-(a-b)2=4ab; 3.一个数与它倒数的平方和+=(a+)2-2, +=(a-)2+2, 例5 已知实数满足，则的值为 ． 【分析】本题主要考查完全平方公式和分式的化简求值．因为，所以这道题目关键就是要由条件得到的值，再利用完全平方公式进行计算可求解． 【详解】解：由，且，两边同除以得，即． 又， 所以． 故答案为：18． 课后练习 19.（1）若，则 （2）已知，则 20. 已知，则 ． 21. 已知，，则的值是 ． 22. 用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为、，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则 ． 23. 已知，则的值是 ． 知识点05 乘法公式的综合应用 平方差公式和完全平方式的综合应用 例6 计算： (1) (2) 【分析】本题主要考查整式的化简及求值，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）可以直接用完全平方公式计算，但若根据平方差公式进行计算更简洁； （2）根据完全平方公式进行计算即可，但若借助因式分解，把（a+2）和（a-3）看成一个整体之后可以得到一个完全平方式； 【详解】（1）解： ； （2）解： = =52 =25. 课后练习 24．（24-25七年级下·浙江温州·期中）在化简的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式(第一步) ；(第二步) 解法二：原式(第一步) (第二步) ．(第三步) 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 25．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中 26．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 27．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________． 【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________． 【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 28．（24-25七年级下·浙江温州·月考）若，则A的末位数字是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 29．（24-25七年级下·浙江金华·月考）【阅读材料】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：；． （1）下列各式中是完全平方式的编号有 ； ①；      ②；      ③ ；   ④． 【类比探究】 （2）若和都是完全平方式，求的值； 【延伸提升】 （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出答案） 知识点06 整式的除法 1. 单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 2. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 例7 计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：原式． 故选：B． 课后练习 30．（24-25七年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 31．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若一个长方形的面积是，一边长为，则另外一边长为___________．（用含，的代数式表示） 32．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）计算： (1)； (2)． 33．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）计算： (1)； (2)． 34．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2) 35．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期末总复习讲义 第4课 整式的乘除 知识点梳理 知识点01——整式的乘法 知识点02——平方差公式 知识点03——完全平方公式 知识点04——利用完全平方公式的变形求值 知识点05——乘法公式的综合应用 知识点06——整式的除法及混合运算 知识点01 整式的乘法 1.知识点间的联系 单项式和多项式的乘法是初中数学的重要内容，它不仅是后续学习乘法公式、因式分解、分式运算的基础，更是培养数学思维能力的关键环节。 运算名称 运算法则 解题思路 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. p(a+b+c)=pa+pb+pc 化归思想 单项式×多项式→单项式×单项式 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 (p+q)(a+b)=p(a+b)+q(a+b)=pa+pb+qa+qb 化归思想 多项式×多项式→单项式×多项式 →单项式×单项式 联系 用分配律把复杂的运算转化为简单的运算 2. 两个一次二项式的乘法: ①（x+p）(x+q)=x2+(p+q)x+pq ②（ax+m）(bx+n)=abx2+(an+bm)x+mn 数学思想的应用 化归思想：多项式×多项式→单项式×多项式→单项式×单项式→幂的运算 例1 如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式中不含某一项的情况，理解题意，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项后，令x的系数为0，得出关于m的方程，解方程即可得解． 【详解】解：， 的乘积中不含x的一次项， ， 解得， 故选：． 课后练习 1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）小沈同学在计算时，他的第一步计算过程是： 则小沈这一步做法的依据是（   ） A．乘法的交换律和结合律 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分配律 【答案】A 【分析】该题考查了单项式乘法，根据单项式乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意小沈这一步做法的依据是“乘法的交换律和结合律”， 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，  则的值为 ___________ 【答案】3 【分析】本题考查整体代入求代数式的值，把化为，再代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：3． 3．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如等式，被污染的部分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用多项式乘多项式法则计算后即可求得答案． 【详解】解：， 则被污染的部分为， 故选：A． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知代数式中含项的系数为3，则n的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．根据展开式中含项的系数为3，求得的值即可． 【详解】解：∵ ， ∵代数式中含项的系数为3， ∴， 解得， 故答案为：3． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下面四个备选答案所提供的整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘法的运算能力，关键是能准确根据题意列式、计算．根据题意列式表示出该阴影部分的面积，再运用多项式的乘法法则进行化简、计算． 【详解】解：图中阴影部分面积为：，或或， 故选：D． 6．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图，将边长分别为2，3，5的正方形放置在长方形内，阴影部分的面积分别为，，若，则长方形的周长是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，设，则可得到，，据此根据长方形面积计算公式求出，，再根据，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的周长是， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·浙江台州·期末）小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边=右边； ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为3，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为2，左边=右边． (1)类比探究： 请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程） (2)基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________； ②若t，r为常数，满足，则__________； (3)拓展应用： 若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值． 【答案】(1)成立，过程见解析； (2)①0；②； (3)． 【分析】本题考查了多项式乘法的系数规律探究及应用，解题的关键是理解并运用“系数之和的乘积相等”“首末项系数乘积对应相等”的规律，简化计算过程． （1）类比探究：先展开多项式，再分别验证系数之和、首末项系数的规律； （2）基础应用①：利用“系数之和的乘积”直接计算； 基础应用②：通过首末项系数对应关系求参数，再验证中间项； （3）拓展应用：根据首末项系数列方程求p，再代入中间项系数关系求q． 【详解】（1）展开计算： ． 验证规律： 左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边右边；． 左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为，左边右边． （2）①∵左边两个多项式各项系数之和的乘积为， ∴故展开式各项系数之和为0； 故答案为：0． ②由首项系数乘积：，得； 由末项系数乘积：，得； 验证中间项：（与右边中间项系数一致）， ∴， 故答案为：． （3）依据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”、“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组：整理得： 解得． 8．（24-25七年级下·浙江台州·期末）数学探究 探究主题：月历中的数学 计算发现 （1）用图2所示的“十”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置A，B，C，D上的数按逆时针方向依次两两相乘一次，再把他们的积相加，所得的和叫做这个“十”字型框架的“美好数”．尝试计算图1中“十”字型框架的“美好数”： ． 猜想说理 （2）移动“十”字型框架，多次尝试可以发现，每个“美好数”都与E位置上的数有关．请设出字母，用数学式子表示你发现的规律，并说明理由． 拓展研究 （3）在另一张月历中，两个“十”字型框架如图3摆放，两个“十”字型框架E位置上的数分别为a，b，若两个“美好数”的差为1280，求． 【答案】（1）576；（2），见解析；（3）32 【分析】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算、列代数式、整式的加减，解决本题的关键是根据“美好数”的定义解决问题． （1）先利用乘法分配律变形，再求和即可； （2）设E位置上的数为x，其余数分别为、、、，则，化简求出结果即可； （3）根据（2）可得，两个“美好数”的差是1280，即为，因为，所以． 【详解】（1）解： ． 故答案为：． （2）设E位置上的数为x，其余数分别为、、、， 理由： ． （3）因为， 即， 由题意得， 所以． 知识点02 平方差公式 1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.(a+b)(a-b)=a2-b2 2. 用面积法证明公式 3. 平方差公式的适用条件 (-a+b)(a-b) 符号都相反 (-a-b)(-a+b) (-a+b)(a+b) (a+b)(b+a) 符号都相同 (-a-b)(a+b) 符号都相反 (b-a)(-a-b) 4.用平方差公式进行巧算 如：计算19×20=(20-)(20+)2=(20)2-()2=400-=399 例2 综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 【分析】此题考查了利用平方差公式计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： … ． 课后练习 9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，化简求值，利用单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的法则，将代数式进行化简，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选：A． 10．（15-16七年级下·山西·月考）下列算式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，掌握公式的结构特点是解决问题的关键．能利用平方差公式计算的式子应具备以下特点：两个因式中既有相同项也有互为相反数的项． 【详解】解：能利用平方差公式计算的式子应具备以下特点：两个因式中既有相同项也有互为相反数的项， A、两个因式中既没有相同项也没有互为相反数的项，故本选项不符合题意； B、两个因式中没有相同项，故本选项不符合题意； C、两个因式中没有相同项，故本选项不符合题意； D、两个因式中有相同项也有互为相反数的项和，故本选项符合题意． 故选：D． 11．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若等式（       ）成立，则括号内所填的代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴括号内所填的代数式是； 故选：C． 12．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，52 【详解】解： ， 当时，原式． 13．（24-25七年级下·浙江温州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据平方差公式和单项式乘多项式运算法则将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将、的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 知识点03 完全平方公式 完全平方公式是初中数学最重要的公式之一，是后续学习一元二次方程、二次函数等知识的重要基础。 1. 完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 2. 用面积法证明公式： 3. 利用完全平方公式巧算 4. 完全平方式 像a²+2ab+b²，a²-2ab+b²这样由完全平方公式计算得来的二次三项式叫做完全平方式. 完全平方式中间一项是首尾两个数积的2倍. 几个常见的完全平方式：x2+2x+1,x2+4x+4,x2-6x+9,x2+x+. 利用构造完全平方式可以求一个二次三项式的最大值或最小值. 如:因为x2-4x+8=x2-4x+4+4=(x-2)2+4，所以当x=2时，代数式由最小值4. 例3 计算： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 例4 运用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 课后练习 14．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足，，则的值是（   ） A．49 B．37 C．36 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式． 利用完全平方公式展开并代入已知条件即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 15．（19-20八年级上·重庆渝中·期中） ________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，则m的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 先根据完全平方公式得到，再解方程即可． 【详解】解： 解得：， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·浙江台州·月考）化简： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟记完全平方公式是解答的关键． 先根据完全平方公式和多项式乘多项式运算法则去括号，再加减运算即可求解 【详解】解： ． 18．（24-25七年级下·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则化简，然后合并同类项化成最简，最后把，代入计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 知识点04 利用完全平方公式变形求值 三大变形： 1.一个公式的变形 a2+b2=(a+b)2-2ab ,a2+b2=(a-b)2+2ab ; 2.两个公式的变形(a+b)2=(a-b)2+4ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab,(a+b)2-(a-b)2=4ab; 3.一个数与它倒数的平方和+=(a+)2-2, +=(a-)2+2, 例5 已知实数满足，则的值为 ． 【分析】本题主要考查完全平方公式和分式的化简求值．因为，所以这道题目关键就是要由条件得到的值，再利用完全平方公式进行计算可求解． 【详解】解：由，且，两边同除以得，即． 又， 所以． 故答案为：18． 课后练习 19.（1）若，则 （2）已知，则 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方根； （1）利用完全平方公式，将已知条件平方后求解． （2）利用完全平方公式，求的平方，再根据平方根求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ 即 故答案为：． （2）∵，，： ∴ ∴ 故答案为：． 20. 已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 设，，则已知条件为，需求，利用完全平方公式 变形得，将和的值代入计算即可． 【详解】解：设，， 则，且， 所以， 即． 故答案为：． 21. 已知，，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查完全平方公式，利用已知条件和，代入公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 22. 用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为、，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积、利用平方根解方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 先根据正方形的面积公式可得，，进而求得的值． 【详解】∵大正方形的面积为，中间空缺的小正方形的面积为， ∴，， ． 故答案为：． 23. 已知，则的值是 ． 【答案】98 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求值，利用公式把已知条件两边平方是解题的关键．把已知条件两边分别平方，然后整理即可求解．解题的关键是熟练掌握完全平方公式：． 【详解】解：， ∴， ， ． 故答案为：98． 知识点05 乘法公式的综合应用 平方差公式和完全平方式的综合应用 例6 计算： (1) (2) 【分析】本题主要考查整式的化简及求值，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）可以直接用完全平方公式计算，但若根据平方差公式进行计算更简洁； （2）根据完全平方公式进行计算即可，但若借助因式分解，把（a+2）和（a-3）看成一个整体之后可以得到一个完全平方式； 【详解】（1）解： ； （2）解： = =52 =25. 课后练习 24．（24-25七年级下·浙江温州·期中）在化简的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式(第一步) ；(第二步) 解法二：原式(第一步) (第二步) ．(第三步) 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 【答案】两种解法都错误，过程见解析 【分析】本题主要考查整式的乘法，完全平方公式，平方差公式等知识，按照整式乘法的相关运算法则和公式求解即可． 【详解】解：解法一错误，从第一步开始出错，末尾处应该是，或者加括号； 解法二错误，也是从第一步开始出错，混淆平方差公式和完全平方公式，的计算结果是． 正确的解答过程：原式． 25．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查了多项式乘以多项式化简求值．先根据完全平方公式和平方差公式的运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 26．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式计算，利用提取公因式法简化运算，逆用积的乘方，解题关键是掌握上述运算技巧进行计算． （1）利用平方差公式分解因式计算； （2）利用多次提取公因式法简化运算； （3）逆用积的乘方计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） 27．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________． 【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________． 【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】【知识生成】， 【知识应用】20，4 【知识迁移】15 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 知识生成：根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可； 知识应用：根据代入计算即可； 知识迁移：设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得到， 根据代入计算即可． 【详解】【知识生成】解：图1，从整体上看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图1的四个部分的面积和为， ∴有， 图2中间小正方形的边长为，因此面积为，大正方形的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， ∴有， 故答案为：；； 【知识应用】解：∵， 则， ， 故答案为：20，4； 【知识迁移】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， ∴ ． 28．（24-25七年级下·浙江温州·月考）若，则A的末位数字是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】此题是应用平方差公式进行计算的规律探索题，解题的关键是通过添加式子，使原式变化为平方差公式的形式． 先在原式上乘以，再反复利用平方差公式化简为，再找出的末尾数规律，即可求解． 【详解】解： ， ∵2的末位数字是2， 的末位数字是4， 的末位数字是8， 的末位数字是6， 的末位数字是2， ， ∴每4次为一个循环， ∵， ∴的末位数字与的末位数字相同，即末位数字是6， ∴的末位数为5 故选：C． 29．（24-25七年级下·浙江金华·月考）【阅读材料】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：；． （1）下列各式中是完全平方式的编号有 ； ①；      ②；      ③ ；   ④． 【类比探究】 （2）若和都是完全平方式，求的值； 【延伸提升】 （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出答案） 【答案】（1）①③；（2）或；（3），，， 【分析】（1）将各式先变形，利用完全平方式的结构特征判断即可； （2）利用完全平方公式的结构特征求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果； （3）可将给出的两项看作完全平方式的前两项或第一项和第三项，分别求得第三项和第二项，而给出的二项式的两项本身都是完全平方式，还可去掉其中一项，由此即可得解． 本题考查完全平方公式，完全平方式．熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 【详解】解：（1）①， ②， ③ ， ④　． ∴是完全平方式的有①③． 故答案为：①③． （2）∵和都是完全平方式， ∴， ∴， ， ∴， 当时，， 当时，， ∴的值为或； （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是，，，． 知识点06 整式的除法 1. 单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 2. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 例7 计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：原式． 故选：B． 课后练习 30．（24-25七年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘除运算，分别根据多项式除以单项式、完全平方公式、同底数幂的乘法、单项式乘以单项式的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：选项A：根据多项式除以单项式的运算法则，应分别将各项除以，，故选项A的结果错误，不符合题意； 选项B：根据完全平方公式，，选项B的结果错误，不符合题意； 选项C：根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加：，故选项的结果正确，符合题意； 选项D：先计算幂的乘方：，再与相乘：，故选项的结果错误，不符合题意； 故选：C 31．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若一个长方形的面积是，一边长为，则另外一边长为___________．（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】先根据题意列出计算式，然后根据整式除法的运算法则计算即可．本题考查了整式除法，解题的关键是熟记法则并灵活运用．多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 【详解】解：根据题意，另一边长为：． 故答案为：． 32．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂，多项式除以单项式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先根据负整数指数幂、零指数幂的性质计算，再算加法即可； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算可得． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 33．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，多项式除以单项式． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算加法即可； （2）直接计算多项式除以单项式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，积的乘方计算，单项式与单项式的乘除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算减法即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整数的运算，负整数指数幂，零指数幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先进行乘方，负整数指数幂，零指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）根据幂的乘方，积的乘方，单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $