专题 4.1 因式分解的意义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 4.1 因式分解的意义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点】因式分解 1 【题型 1】判断从左边到右边是否为因式分解 2 【题型 2】已知因式分解的结果求参数 3 【题型 3】因式分解的检验 5 二.培优题型精析（教材挖掘） 7 【题型 4】利用因式分解进行简便运算 7 【题型 5】利用几何图形探究因式分解与整式乘法 9 三.同步检测 14 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 14 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 18 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 22 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点】因式分解 1、 因式分解定义 1、一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫作因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式。 【要点提示】构造因式分解的条件：（1）对象：多项式，即等式的左边是一个多项式；（2）结果：整体的积的形式，即等式的右边必须是整体的积的形式；（3）因式分解也可称为分解因式。 2、 因式分解与整式乘法关系 整式乘法：把几个整式的乘积化为一个多项式形式，即从整式乘积转化为整式和差的形式； 因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积形式，即从几个单项式的和差转化为整式乘积的形式。 简而言之：因式分解与整式乘法互为逆运算。因式分解和整式的乘法是过程相反的变形，因此，可以用整式的乘法运算来帮助我们寻找因式分解的方法，检验因式分解的正确性。 【题型 1】判断从左边到右边是否为因式分解 【例题1】（25-26八年级上·海南儋州·期中）对于下列两个自左向右的变形： 甲：；乙：； 其中说法正确的是（    ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解，利用因式分解的定义判定即可，理解定义是解题的关键． 解：∵甲中是单项式，故甲不是因式分解；乙中变形后为，不是乘积形式，故乙不是因式分解； ∴ 甲、乙均不是因式分解， 故选：． 【变式1】（24-25八年级上·云南德宏·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断即可． 解：∴A选项变形是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解， B选项是将多项式变形为几个整式乘积的形式，是因式分解， C选项左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解要求， D选项是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解． 【变式2】（25-26八年级上·新疆·月考）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 【变式3】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可得到结果. 解：选项A中，左边是单项式，不是多项式，不符合要求，不属于因式分解； 选项B中，右边变形后含有分式，不是整式，不符合要求，不属于因式分解； 选项C中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； 选项D中，该变形是整式乘法，是从乘积化为多项式，不是因式分解. 【题型 2】已知因式分解的结果求参数 【例题2】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： （1）若二次三项式可分解为，则______． （2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【答案】（1）4；（2）另一个因式为，b值为1 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系： （1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可． 解：（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴另一个因式为，b值为1． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期末）已知等式：，则________． 【答案】 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求原式，将展开为，然后比较求解即可． 解：∵ ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系. 本题展开右边多项式，与左边比较项系数即可得，然后即可求解. 解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， 比较项系数得：； 故选：A. 【变式3】（24-25八年级上·湖南长沙·月考）完成下面各题： （1）若二次三项式可分解为，求a的值． （2）若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，对比二次三项式的系数列方程求解即可； （2）将展开，对比二次三项式的系数列方程组求解即可． 解：（1）解：， ， ； （2）解：， ， 解得． 【题型 3】因式分解的检验 【例题3】（2025八年级上·全国·专题练习）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？若是，请检验其是否正确． ①； ②； ③． 【答案】见分析 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可． 解：①，从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； ②是因式分解． 检验： 即从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； ③从左到右的变形不是化成整式的乘积的形式，不是因式分解； 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ （1）； （2）． 【答案】（1）不正确，因为结果不是乘积的形式；（2）正确，因为等式成立，且结果是整式乘积的形式 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据因式分解的定义：因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的形式．据此判断因式分解是否正确即可． （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义和展开右边的式子验证是否等于左边即可判断． 解：（1）解：因为因式分解要求结果必须是整式的乘积，而右边 是和的形式． 故该因式分解不正确，因为结果不是乘积的形式； （2）解：因为等式的右边是整式的乘积， 且等式左边， 等式右边， 即等式左边右边， 故该因式分解正确． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）检验下列因式分解是否正确． （1）9b2－4a2＝（2a＋3b）（2a－3b）； （2）x2－3x－4＝（x＋4）（x－1）． 【答案】（1）不正确；（2）不正确． 【分析】计算右侧的整式乘法,看左右两边是否相等,即可判断因式分解是否正确. 解：（1）∵（2a＋3b）（2a－3b）＝（2a）2－（3b）2＝4a2－9b2≠9b2－4a2，∴因式分解9b2－4a2＝（2a＋3b）（2a－3b）不正确． （2）∵（x＋4）（x－1）＝x2＋3x－4≠x2－3x－4，∴因式分解x2－3x－4＝（x＋4）（x－1）不正确． 【点拨】本题考查了整式的乘法与因式分解的联系,属于简单题,正确计算整式的乘法是解题关键. 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）检验下列因式分解是否正确． （1）． （2）． 【答案】（1）正确；（2）不正确 【分析】本题主要考查了因式分解的检验方法，关键是掌握因式分解与整式乘法的互逆关系． （1）根据整式乘法中的单项式乘多项式法则，对进行展开，进行检验即可； （2）根据整式乘法中的多项式乘多项式法则，对进行展开，进行检验即可． 解：（1）解：∵， ∴因式分解正确． （2）解：∵， ∴因式分解不正确． 二.培优题型精析（教材挖掘） 【题型 4】利用因式分解进行简便运算 【例题4】（浙教版七下练习B组第4题改红遍）（25-26八年级上·新疆·月考）利用因式分解进行简便计算： （1）． （2）． 【答案】（1）90000；（2） 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）利用因式分解可以简便计算：分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：原式 ， 故选：B． 【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题关键． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）简便计算等于（   ） A．1800 B．180000 C．225000 D．100000 【答案】B 解：∵ ， ∵ ， ∴ 原式=． 故选：B． 【变式3】（23-24八年级上·湖北襄阳·月考）利用因式分解简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1）184000；（2）10000 解：（1） （2） 【题型 5】利用几何图形探究因式分解与整式乘法 【例题5】（24-25八年级上·河南南阳·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．如图②，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形纸板A，2块是边长为的小正方形纸板B，5块是长为，宽为的小长方形纸板C，且． （1）观察图②，从面积恒等变形的角度考虑，可以将代数式因式分解为__________． （2）若图②中大长方形纸板的周长为，则__________．； （3）在（2）的条件下，若图②中阴影部分的面积为，求图①中一张纸板A和一张纸板B的面积和． 【答案】（1）；（2）9；（3） 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）代数式所表示的面积正好是长方形的面积，即长乘宽，即可得到因式分解的结果； （2）根据长方形的周长即可得出的值； （3）根据阴影部分的面积求出，由（2）可得，再求出的值即可得解． 解：（1）解：观察图②，从面积恒等变形的角度考虑，可以将代数式因式分解为， 故答案为：； （2）解：∵图②中大长方形纸板的周长为， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵图②中阴影部分的面积为， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴图①中一张纸板A和一张纸板B的面积和为． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； （3）若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【答案】（1）；（2）, ；（3） 【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值； （3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解． 解：（1）解：依题意，把代入， ∴ ∴； （2）解：把和分别代入， 即 解得： （3）解：∵能使多项式的值0， ∴是多项式的一个因式 又∵当时，， 当时， ∴是的因式 ∴． 【变式2】 （24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图①，小华同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼成了一个长为，宽为的长方形，它的面积为，于是，我们可以得到等式．请解答下列问题： （1）根据图②，写出一个代数恒等式： ； （2）利用（1）中所得到的结论，解决以下问题：已知，，求的值； （3）小华同学又用张边长为的正方形，张边长为的正方形，6张边长分别为、的长方形纸片拼成了一个长方形，那么该长方形的边长分别为 ， ． 【答案】（1）（2）；（3）长为或，宽为或 【分析】本题考查整式的乘法，多项式的因式分解，完全平方公式的几何意义，解题的关键是掌握正方形，长方形的面积公式，因式分解的应用，利用面积不变证明代数恒等式，即可． （1）根据正方形的面积等于，等于各个小矩形的面积之和，即可； （2）由（1）得，，把，代入，即可求出； （3）根据题意，得到长方形的面积为：，根据因式分解，即可求出长方形的边长． 解：（1）解：由题意得：． 故答案为：． （2）解：由（1）得，， ∴当，时，， ∴， ∴． （3）解：由题意得：长方形的面积为：， ∴， ∴长方形的边长为：长为或，宽为或． 故答案为：长为或，宽为或． 【变式3】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．【分析】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； 解：（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级下·安徽宿州·月考）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 解：对选项A：， ∴ A错误； 对选项B：， ∴ B错误； 对选项C：， ∴ C错误； 对选项D：，符合完全平方公式，因式分解正确， ∴ D正确． 2．（24-25八年级上·四川广安·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，需同时满足变形正确、结果为整式乘积两个要求，据此解答即可． 解：A、，原式变形错误，不符合要求； B、等式右侧是分式，不是整式，不符合因式分解要求，不符合要求； C、等式右侧是两个整式乘积加单项式，不是乘积形式，不符合因式分解定义，不符合要求； D、对左侧变形：，变形正确，结果是两个整式的乘积，符合因式分解定义，符合要求． 3．（2026·河北沧州·模拟预测）若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算，对比原式即可求出的值． 解：， ∵， ∴， 等式两边同时消去，得， ∴． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 5．（25-26八年级上·山东烟台·期中）已知关于x的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解与多项式的乘积的关系，设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应关系求解. 解：设另一个一次多项式为， ∵， 且， ∴， ∴， ∴另一个一次多项式为， 故选A 6．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下列等式从左边至右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是将多项式变形为几个多项式乘积的形式，需满足左边是多项式，右边是多项式的乘积． 本题主要考查了因式分解的定义，掌握基本概念是解题关键． 解：∵ 因式分解的定义是多项式变为多项式乘积； 选项A：右边含分式 ，不是整式，∴ 不符合； 选项B：右边为和的形式，非乘积，∴ 不符合； 选项C：左边是单项式，非多项式，∴ 不符合； 选项D：左边是多项式，右边是多项式的平方，∴ 符合 故选：D． 7．（25-26八年级上·山东日照·月考）要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解的条件，设二次三项式可分解为，其中a和b为整数，则，,由于a可取任意整数，p随之有无数个取值,即可解答． 解：∵二次三项式在整数范围内能因式分解， ∴可设，其中a，b为整数． 即， ∴． 令a为任意整数，则，亦为整数， ∴． 由于a可取无数个整数值，故p也有无数个可能取值． 故选D． 8．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 解：是单项式的变形，不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，不是因式分解； 是乘法运算，不是因式分解； ，符合提取公因式法，是因式分解； 符合因式分解的定义，是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）若，则_____． 【答案】1 【分析】根据因式分解与整式乘法的关系，将化简展开，比较系数即可． 解：， ． 10．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【答案】1 解：因为二次三项式的二次项系数为，一个因式为，所以设另一个因式为，则， 展开等式右侧得：， 比较多项式两边同类项的系数，可得：， 解得， 代入得． 11．（25-26八年级上·山东泰安·月考）如果多项式因式分解后有一个因式为，则＝_______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解、二项式乘二项式的展开、解二元一次方程组，掌握二项式乘二项式的展开技巧是解题关键．根据题意，由于多项式有一个因式，可设另一个因式，通过比较系数求解即可． 解：设另一个因式为 ，则 ， 展开得 ， 比较系数，得 ，， 解得 ，， 代入 项系数，得，即 ， 解得 ． 故答案为：． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里： （1）（   ）； （2）； （3）（   ）； （4）（   ）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题的关键． （1）提取公因式2即可求解； （2）提取公因式即可求解； （3）提取公因式即可求解； （4）提取公因式即可求解． 解：（1）解：， 故答案为：； （2）解： 故答案为：； （3）解：， 故答案为：； （4）解： 故答案为：． 13．（25-26七年级上·北京·期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，由于多项式能分解成两个一次因式的积，设分解形式为，展开后比较系数，得到方程组．通过求解方程组，得到，代入表达式计算即可． 解：设多项式分解为，展开得： 与多项式比较系数： 由和取整数解，． 代入得，； 代入得到，解得， ∴， ∴， 验证其他方程均成立． 当时，代入， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是_____ 【答案】11 【分析】本题考查因式分解，由多项式相等，比较系数得和，其中、为整数．列举所有整数满足，计算的所有可能值，并求最大值． 解：由 ， ∴，， ∵、为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴这样的的最大值是11． 故答案为：11． 15．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为______． 【答案】9 【分析】把展开，求出、的值，计算即可． 解：， ， ，， ， 故答案为：9． 【点拨】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算． 16．（24-25七年级上·上海杨浦·月考）二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有______个． 【答案】无数 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握整式和因式分解的关系是解决本题的关键．先设分解的两个因式为（a，b都是整数），根据因式分解与整式的关系得与间关系，判断满足条件的a、b得结论． 解：在整数范围内可以分解成两个一次因式， 设分解的两个因式为（a，b都是整数）， ， 在整数范围内，满足两个整数的和为的a、b有无数对， 满足条件的k有无数个． 故答案为：无数． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？若是，请指出它的因式；若不是，请说明理由． （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）不是因式分解，理由见分析；（2）是因式分解，因式分别为，和；（3）不是因式分解，理由见分析 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式”进行判断即可得． （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义判断即可； （3）根据因式分解的定义判断即可； 解：（1）解：不是因式分解． 理由：从左到右的变形不是化成几个多项式的乘积形式，故不是因式分解． （2）解：是因式分解．因式分别为，和． （3）解：不是因式分解． 理由：因为不是整式，故该变形不是因式分解，故不是因式分解． 18．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； （2）若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】（1）另一个因式为，的值为9；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 解：（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 19．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即， ∴，解得． 故另一个因式为，m的值为－21． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为：（x＋8），k的值为40． 【分析】设另一个因式为（x＋p），则，可得p−5＝3，−5p＝−k，求出p和k的值即可． 解：设另一个因式为x＋p， 由题意得：， 即， 则有， 解得， 所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40． 【点拨】本题考查了因式分解的意义．解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 20．（24-25八年级上·河南南阳·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．如图②，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形纸板A，2块是边长为的小正方形纸板B，5块是长为，宽为的小长方形纸板C，且． （1）观察图②，从面积恒等变形的角度考虑，可以将代数式因式分解为__________． （2）若图②中大长方形纸板的周长为，则__________．； （3）在（2）的条件下，若图②中阴影部分的面积为，求图①中一张纸板A和一张纸板B的面积和． 【答案】（1）；（2）9；（3） 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）代数式所表示的面积正好是长方形的面积，即长乘宽，即可得到因式分解的结果； （2）根据长方形的周长即可得出的值； （3）根据阴影部分的面积求出，由（2）可得，再求出的值即可得解． 解：（1）解：观察图②，从面积恒等变形的角度考虑，可以将代数式因式分解为， 故答案为：； （2）解：∵图②中大长方形纸板的周长为， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵图②中阴影部分的面积为， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴图①中一张纸板A和一张纸板B的面积和为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.1 因式分解的意义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点】因式分解 1 【题型 1】判断从左边到右边是否为因式分解 1 【题型 2】已知因式分解的结果求参数 2 【题型 3】因式分解的检验 3 二.培优题型精析（教材挖掘） 3 【题型 4】利用因式分解进行简便运算 3 【题型 5】利用几何图形探究因式分解与整式乘法 4 三.同步检测 6 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 6 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 8 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点】因式分解 1、 因式分解定义 1、一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫作因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式。 【要点提示】构造因式分解的条件：（1）对象：多项式，即等式的左边是一个多项式；（2）结果：整体的积的形式，即等式的右边必须是整体的积的形式；（3）因式分解也可称为分解因式。 2、 因式分解与整式乘法关系 整式乘法：把几个整式的乘积化为一个多项式形式，即从整式乘积转化为整式和差的形式； 因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积形式，即从几个单项式的和差转化为整式乘积的形式。 简而言之：因式分解与整式乘法互为逆运算。因式分解和整式的乘法是过程相反的变形，因此，可以用整式的乘法运算来帮助我们寻找因式分解的方法，检验因式分解的正确性。 【题型 1】判断从左边到右边是否为因式分解 【例题1】（25-26八年级上·海南儋州·期中）对于下列两个自左向右的变形： 甲：；乙：； 其中说法正确的是（    ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【变式1】（24-25八年级上·云南德宏·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·新疆·月考）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【变式3】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【题型 2】已知因式分解的结果求参数 【例题2】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： （1）若二次三项式可分解为，则______． （2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期末）已知等式：，则________． 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【变式3】（24-25八年级上·湖南长沙·月考）完成下面各题： （1）若二次三项式可分解为，求a的值． （2）若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【题型 3】因式分解的检验 【例题3】（2025八年级上·全国·专题练习）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？若是，请检验其是否正确． ①； ②； ③． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ （1）； （2）． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）检验下列因式分解是否正确． （1）9b2－4a2＝（2a＋3b）（2a－3b）； （2）x2－3x－4＝（x＋4）（x－1）． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）检验下列因式分解是否正确． （1）． （2）． 二.培优题型精析（教材挖掘） 【题型 4】利用因式分解进行简便运算 【例题4】（浙教版七下练习B组第4题改红遍）（25-26八年级上·新疆·月考）利用因式分解进行简便计算： （1）． （2）． 【变式1】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）利用因式分解可以简便计算：分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）简便计算等于（   ） A．1800 B．180000 C．225000 D．100000 【变式3】（23-24八年级上·湖北襄阳·月考）利用因式分解简便计算： （1）； （2）． 【题型 5】利用几何图形探究因式分解与整式乘法 【例题5】（24-25八年级上·河南南阳·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．如图②，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形纸板A，2块是边长为的小正方形纸板B，5块是长为，宽为的小长方形纸板C，且． （1）观察图②，从面积恒等变形的角度考虑，可以将代数式因式分解为__________． （2）若图②中大长方形纸板的周长为，则__________．； （3）在（2）的条件下，若图②中阴影部分的面积为，求图①中一张纸板A和一张纸板B的面积和． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； （3）若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【变式2】 （24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图①，小华同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼成了一个长为，宽为的长方形，它的面积为，于是，我们可以得到等式．请解答下列问题： （1）根据图②，写出一个代数恒等式： ； （2）利用（1）中所得到的结论，解决以下问题：已知，，求的值； （3）小华同学又用张边长为的正方形，张边长为的正方形，6张边长分别为、的长方形纸片拼成了一个长方形，那么该长方形的边长分别为 ， ． 【变式3】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级下·安徽宿州·月考）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川广安·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·河北沧州·模拟预测）若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东烟台·期中）已知关于x的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（） A． B． C． D．无法确定 6．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下列等式从左边至右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·山东日照·月考）要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 8．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）若，则_____． 10．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 11．（25-26八年级上·山东泰安·月考）如果多项式因式分解后有一个因式为，则＝_______． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里： （1）（   ）； （2）； （3）（   ）； （4）（   ）． 13．（25-26七年级上·北京·期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为__________． 14．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是_____ 15．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为______． 16．（24-25七年级上·上海杨浦·月考）二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有______个． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？若是，请指出它的因式；若不是，请说明理由． （1）． （2）． （3）． 18．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； （2）若二次三项式有一个因式是，求a的值． 19．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即， ∴，解得． 故另一个因式为，m的值为－21． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 20．（24-25八年级上·河南南阳·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．如图②，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形纸板A，2块是边长为的小正方形纸板B，5块是长为，宽为的小长方形纸板C，且． （1）观察图②，从面积恒等变形的角度考虑，可以将代数式因式分解为__________． （2）若图②中大长方形纸板的周长为，则__________．； （3）在（2）的条件下，若图②中阴影部分的面积为，求图①中一张纸板A和一张纸板B的面积和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $