专题02 二元一次方程组（期末3大重难点汇编） 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

七年级数学期末总复习讲义 第2课二元一次方程组 知识点梳理 素本 考点01二元一次方程组及其解法 考点02一次方程组中的数学思想 考点03二元一次方程组的应用 知识点01 二元一次方程组 1.二元一次方程组的概念 由几个方程组成的一组方程叫作方程组。如果方程组中含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有 未知数的项的次数都是1，一共含有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。 2.二元一次方程组解法一一消元法 (1)代入消元 将二元一次方程组中的一个方程进行适当变形，把一个未知数用另一个未知数表示，就可以用“代入”的 方法实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。 (2)加减消元 将二元一次方程组中的方程进行适当变形，使两个方程中有一个未知数的系数相等或 互为相反数，就可以用“加减”的方法实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。 真题汇编 x=2 1.（24-25七年级下.浙江杭州期末)已知 =是关于x,)的二元一次方程2x-1+a9=4的一个解，则 a的值() A.-1 B.1 C.2 D.3 2.(24-25七年级下·浙江湖州期末)下列方程中，属于二元一次方程的是() A.3x+y2=1B.x-2y=6 C.1+3y=5 D.3x-2=x y=-2是方程组 x=1 3.(24-25七年级下·浙江宁波期末)若 [3x+ay=5 bx+2=2的解，则a+b的值是 1/7 4.(24-25七年级下，浙江宁波期末)己知方程5x+y=10,请用关于x的代数式表示y,则y= x+2y=4 5.(24-25七年级下·浙江台州期末)已知 2x+y=2'则x+y=。 6.(24-25八年级上·浙江杭州·期末)解方程组： =2 (1) 2m+3n=12 5x-2y=17 23x+4y=5 [2x+y=2 7.(24-25七年级下·浙江衢州期末)解方程组： 4x-5y=-3 8.(24-25七年级下·浙江金华期末)已知关于x,y的二元一次方程a-3)x+(2a-5)y+a-1=0. (1)当α每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解，试求这个公共解。 (2)试说明：无论α取何值，该公共解都是原二元一次方程的解。 9.(24-25七年级下，浙江金华.期末)定义：如果关于x,y的二元一次方程ax+y=c(a,b,c为常数且 a≠0，b≠0)满足c=b+1=a+2,我们就称方程ax+by=c为“阶梯方程”。 (1)下列方程是“阶梯方程”的是_· 135 ①x-2y=-3 ②2x-3y=4③x+2y-3=0 2 2 (2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解。 (3)若方程组 ax+by=c 的解为整数，求整数a的值。 x+2y=1 10.(24-25七年级下·浙江金华.期末)定义：关于x,y的二元一次方程ax+by=cabc≠0，a≠c中的常数项 c与未知数x系数a互换，得到的新方程叫作原方程的“友好方程”，例如：方程ax+by=c的“友好方程”为 cx+by=a (1)求方程x+2y=3与它的“友好方程”组成的方程组的解； (2)己知关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0,求方程ax+by=c与它的“友好方程 组成的方程组的解： (3)己知关于x,y的二元一次方程3m-t)x+2025y=m+2t是2+n)x+2025y=m-1的“友好方程”，求 的值。 n 2/7 3.一次方程组的解法看似简单，核心思想是消元，主要方法是代入法和加减法。事实上，学生在实际解题 过程中，常常思路不清、过程繁琐。 2.思想方法应用的常见题型 (1)整体代入法在一次方程组中的应用 (2)整体加减法在一次方程组中的应用 (3)整体换元法在一次方程组中的应用 (4)整体思想在含参数的方程组中的应用 真题汇编 2x+y=6 11.(24-25七年级下·浙江衢州期末)己知关于x,y的方程组 的解满足x+y=k,则k的值是() x+2y=9 A.3 B.4 C.5 D.6 x+2y=k 12.(24-25七年级下·浙江绍兴期末)已知关于x,y的方程组 2x+3y=3k-1'k为常数，下列结论中成立 的是() A.当k=1时，x+y=0 B.当y=x+1时，k=-1 C.不论k取什么实数，x+3y的值始终不变 D.当k=0时，方程组的解也是方程x-2y=-3的解 13.(24-25七年级下·浙江杭州期末)若 =6是二元一次方程组 x=a 2x+y=8的解，则a+b。 x+2y=7 的值为 a-b x-y=4a 14.(24-25七年级下浙江宁波期末)己知关于x,y的方程组 的解满足2x+y=1,则a= x+2y=a+6 15.(24-25七年级下浙江绍兴期末)已知方程组 ax+by=G的解是 x=3 a,x+by=cz y=4'则方程组 「3a,x+1+2b(y-)=4的解是 3a2x+1+2b2y-1=4c2 3/7 x=5 16.(24-25七年级下·四川内江期中)若方程组 (a,x+by=G的解是 2则方程 5ax+2hy=6c的 azx+bay=cz 5a,x+2b3y=6c, 解是 知识点03 二元一次方程组的应用 1.解题关键： 从实际问题中找出两个独立的等量关系，并正确设未知数，列出二元一次方程组。 2.常见题型： (1)和差、倍分、分配等基础问题； 解答此类应用题的关键是要从“和、差、倍、共、总数”等关键词中找出两个等量关系； (2)数量关系较为隐蔽的复杂问题； 如行程问题、工程问题、利润问题等等，此类题缺少“和、差、倍、共、总数”等关键词，不能直接地发 现等量关系，需要通过画图、列表来分析隐蔽的等量关系。 (3)图表信息、分段计费、销售问题 生活中的水费、电费、出租车费、商品打折等问题都可以转化为数学问题，都可以用方程组解决。此类题 型信息多、来源广解题的关键点是要学会提取信息、处理复杂情境，体会方程组在生活实际中的应用价值。 真题汇编 17.(24-25七年级下·浙江宁波期末)我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干 人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行。问人与车各多少？设有x 人，y辆车，可列方程组为() x=3y+2) x=3y-2) A. B. x=2y-18 x=2y-18 x=3y+2) x=3(y-2) C. D x=2y+9 x=2y+9 18.(24-25七年级下·浙江台州期末)《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿， 需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4只鹿，大圈舍可以容纳6只鹿，若每间圈舍 都住满，求需要多少间圈舍？设需要小圈舍x间，大圈舍y间，则下列方程正确的是() A.4y+6x=50B.50+4x=6y C.y=50-4x D.x=50+6y 6 4 19.(24-25七年级下·浙江温州期末)某运输公司现有190吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将 4/7 全部货物一次运完（两种货车均满载），己知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 (1)表格中被污渍盖住的数是 (2)第三次运输安排了5辆A货车，4辆B货车，运输物资共160吨。请问A、B两种货车每辆每次分别 可以运送物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案。 20.(24-25七年级下·浙江台州期末)近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物 流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为现实。一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定 陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运 营前两天的运营状况。 大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元） 第一天 4 20 3600 第二天 8 28 5760 (1)求大小两款无人机的单次运输价格： (2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且 小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣： (3)在(2)的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营 收比试运营那两天多了1元。 ①求a和b的数量关系； ②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少 元？ 21.(24-25七年级下·浙江宁波期末)某科研团队对两款仿生机器人A,B进行步行性能测试，计划让一台 A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走。 在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接 着B型机器人走20步，共需要27秒。 5/7 (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台 A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这 次接力任务的时间可能是多少秒？ 22.(24-25七年级下·浙江杭州期末)为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买 批羽毛球拍和乒乓球拍。已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个 乒乓球拍共需230元。 a 甲商场 乙商场 每款球拍 所有球拍 15个以内（包含15个）原价： 八折！！ 刨 超过15个，超过部分六折！！1 (1)求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价。 (2)甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买α个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含α，b的代数式表示）。 ②若付款金额相等，求a,b满足的数量关系。 23.(24-25七年级下·浙江金华期末)根据以下信息，探索完成任务： 如何设计租车方案？ 13度的甜，14度的鲜，兰溪杨梅以其独特的魅力，吸引着无数食客杨梅种植户欲将一批杨梅 素材1 运往外地销售，若用3辆A型车和2辆B型车载满杨梅一次可运走17吨，用2辆A型车和3 辆B型车载满杨梅一次可运走18吨。 杨梅种植户现有杨梅35吨，计划同时租用A型车Q辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆 素材2 车都载满杨梅。 素材3 A型车每辆需租金300元/次，B型车每辆需租金320元/次。 问题解决 任务一：分 1辆A型车和1辆B型车都载满杨梅，一次可分别运杨梅多少吨？ 析数量关系 任务二：确 请你帮杨梅种植户设计35吨杨梅运输的租车方案。 6/7 定可行方案 任务三：选 请你选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费。 取最优方案 7/7 七年级数学期末总复习讲义 第2课 二元一次方程组知识点梳理 考点01二元一次方程组及其解法 考点02一次方程组中的数学思想 考点03二元一次方程组的应用 知识点01 二元一次方程组 1. 二元一次方程组的概念 由几个方程组成的一组方程叫作方程组。如果方程组中含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共含有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。 2. 二元一次方程组解法——消元法 （1）代入消元 将二元一次方程组中的一个方程进行适当变形，把一个未知数用另一个未知数表示，就可以用“代入”的方法实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。 （2）加减消元 将二元一次方程组中的方程进行适当变形，使两个方程中 有一个未知数的系数相等或互为相反数，就可以用“加减”的方法实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解。 真题汇编 1.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程解的概念，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键。 将解代入方程，解关于a的一元一次方程即可。 【详解】解：把代入方程，得： 解得 故选C． 2.（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，需满足两个未知数、次数均为1且为整式方程，逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键。 【详解】解：A、：含两个未知数，但的次数为2，不符合“一次”条件，故不符合题意； B.：含两个未知数和，次数均为1，且为整式方程，符合条件，故符合题意； C.：含分式，不是整式方程，不符合条件，故不符合题意； D.：仅含一个未知数，属于一元一次方程，不符合“二元”条件，故不符合题意； 故选：B． 3.（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若是方程组的解，则的值是______。 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解。 将代入得到，进而得到，即可求出的值。 【详解】解：将代入得， 即 ∴， 故答案为：． 4.（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知方程，请用关于x的代数式表示y，则________。 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程。 直接移项即可。 【详解】解：移项得， 故答案为：． 5.（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知，则____。 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了加减消元法，熟练掌握运算方法是解题的关键。 将方程组的两个方程加起来，得到，进而得到． 【详解】解： 将①+②，得： ， ． 故答案：2． 6.（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入法进行求解； （1）利用加减消元法进行求解； （2）利用加减消元法进行求解。 【详解】（1）解：方程组整理得： 得：，即， 把代入得：， 则方程组的解为． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为． 7.（24-25七年级下·浙江衢州·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法解方程组即可。 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键。 【详解】解：， ①，得③， ②+③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为 8.（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知关于x，y的二元一次方程． （1）当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解，试求这个公共解。 （2）试说明：无论a取何值，该公共解都是原二元一次方程的解。 【答案】(1) （2）见解析 【分析】本题考查二元一次方程的解、解二元一次方程组，理解题意是解答的关键。 （1）将原方程整理为，根据题意得到，进而解方程可得公共解； （2）根据题意，列出方程组，解方程组证明即可。 【详解】（1）解：方程 整理得：， 由条件可得， 解得， 这个公共解为； （2）解：把化为下面的形式：， ， 解得 无论a取何值，这个公共解都是原二元一次方程的解。 9.（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：如果关于x，y的二元一次方程为常数且满足，我们就称方程为“阶梯方程”。 （1）下列方程是“阶梯方程”的是 ． ①        ②        ③        ④ （2）任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解。 （3）若方程组的解为整数，求整数的值。 【答案】(1)③④ (2) (3)2或3 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤，理解新定义的含义。 （1）根据已知条件中的新定义，求出，，然后判断即可； （2）根据已知条件将b和c用a表示出来，转换成关于x，y的方程组，解方程组即可； （3）根据已知条件中的新定义，把方程换成含有a，x，y的方程，然后解方程组求出x，y，再根据方程组的解为整数，判断a的整数值即可。 【详解】（1）解：①， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故①不符合题意； ②， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故②不符合题意； ③化为：， ， ， ∴， ∴是“阶梯方程”，故③符合题意； ④， ， ，， ∴， ∴是“阶梯方程”，故④符合题意。 故答案为：③④； （2）解：∵， ∴， ∴变为：， ， ， ∵等式a为任意数时都成立， ∴， 由②得：， 把代入①得：， ∴这组解为：； （3）解：∵， ∴， ∴方程组化为， 由②得：，③代入①得： ， ， ， ， ， 把代入③得：， ∵y为整数， ∴或， 解得：或或2或3， ∵，， ∴或2或3， 当时，，此情况不存在； 当时，； 当时，； ∴a的整数值为：2或3． 10.（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的新方程叫作原方程的“友好方程”，例如：方程的“友好方程”为． （1）求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； （2）已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； （3）已知关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”，求的值。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，得到方程的友好方程，组成二元一次方程组，解方程组得到结果； （2）根据题意，得到方程的“友好方程”，组成方程组，消元后得，再代入，得到结果； （3）根据友好方程的定义，得到方程组，消去t，化简整理可得到结果。 本题考查了新定义，解二元一次方程组的应用，熟练解二元一次方程组是解题的关键。 【详解】（1）解：方程的“友好方程”为， ∴， ①﹣②，得， 解得， 把代入①中，得， ∴方程组的解为； （2）方程的“友好方程”为， ∴， ①②得， 由 ∴， 把代入①式，得， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； （3）∵关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”， ∴， 由①得，代入②中，得： ， 则， ∴． 3. 一次方程组的解法看似简单，核心思想是消元，主要方法是代入法和加减法。事实上，学生在实际解题过程中，常常思路不清、过程繁琐。 2. 思想方法应用的常见题型 （1）整体代入法在一次方程组中的应用 （2）整体加减法在一次方程组中的应用 （3）整体换元法在一次方程组中的应用 （4）整体思想在含参数的方程组中的应用 真题汇编 11.（24-25七年级下·浙江衢州·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键。 通过将两个方程相加，可以直接得到的值，从而确定k的值。 【详解】解：将方程组中的两个方程相加得， 两边同时除以3得：， 根据题意，， 故． 故选：C． 12.（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（   ） A．当时， B．当时， C．不论k取什么实数，的值始终不变 D．当时，方程组的解也是方程的解 【答案】C 【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，解出关于和的方程组，将解用表示，再逐一代入选项验证即可。 【详解】解：解方程组，得方程组的解为， 当时，，，，故选项A不符合题意； 若，代入得：， 解得，故选项B不符合题意； ，与无关，始终为1，故选项C符合题意， 当时，，，则，故选项D不符合题意； 故选：C． 13.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为_______。 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解的定义。 先将方程组的解代入方程组，得到关于、的方程组，然后解方程组求出、的值，最后代入计算。 【详解】解法一： 得：， 将代入得：， 因为是二元一次方程组的解， 所以， 所以． 故答案为：5． 解法二： （①+②）得：a+b=5 ②-①得：a-b=1 所以． 14.（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的方程组的解满足，则______。 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组的应用能力，关键是能用合适的方法准确求解。先求得此方程组的两式相加得，2x+y=5a+6再代入求解的值。 【详解】解：方程组的两式相加得，2x+y=5a+6， ∵， ∴5a+6=1, 解得， 故答案为：． 15.（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知方程组的解是，则方程组的解是_________。 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，利用换元思想是解决本题的关键。 将方程组中的两个方程两边同除以4，整理得，运用换元思想，得，进而可求得方程组的解。 【详解】解：∵， ∴， ∵方程组的解是， ∴， 解得：． 故答案为： 16.（24-25七年级下·四川内江·期中）若方程组的解是，则方程组的解是______。 【答案】 【分析】根据方程组的解是，得从而得到，将方程组两式相加，得比较系数解得即可。 本题考查了方程组解的应用，比较系数法解题，熟练掌握解方程组是解题的关键。 【详解】解：根据方程组的解是， 得， 故， 将方程组两式相加， 得， 比较系数，得． 故答案为：． 知识点03 二元一次方程组的应用 1. 解题关键： 从实际问题中找出两个独立的等量关系，并正确设未知数，列出二元一次方程组。 2. 常见题型： （1） 和差、倍分、分配等基础问题； 解答此类应用题的关键是要从“和、差、倍、共、总数”等关键词中找出两个等量关系； （2） 数量关系较为隐蔽的复杂问题； 如行程问题、工程问题、利润问题等等，此类题缺少“和、差、倍、共、总数”等关键词，不能直接地发现等量关系，需要通过画图、列表来分析隐蔽的等量关系。 （3） 图表信息、分段计费、销售问题 生活中的水费、电费、出租车费、商品打折等问题都可以转化为数学问题，都可以用方程组解决。此类题型信息多、来源广解题的关键点是要学会提取信息、处理复杂情境，体会方程组在生活实际中的应用价值。 真题汇编 17.（24-25七年级下·浙江宁波·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行。问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意列方程是解题的关键。 根据题意，设有x人，y辆车，第一种情况：每车坐3人，空余两辆车，则实际使用车辆为辆，故；第二种情况：每车坐2人，有9人步行，则总人数x等于坐车人数加上步行人数9，故，由此列出方程组。 【详解】解：∵每车坐3人，空余两辆车， ∴实际使用车辆为辆，得； ∵ 每车坐2人，有9人步行， ∴得 ； ∴ 方程组为 ， 故选：D． 18.（24-25七年级下·浙江台州·期末）《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4只鹿，大圈舍可以容纳6只鹿，若每间圈舍都住满，求需要多少间圈舍？设需要小圈舍x间，大圈舍y间，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程，明确题意，找出等量关系、列出相应的方程是解答本题的关键。根据题目中的等量关系，小圈舍和大圈舍容纳的鹿数总和为50，建立方程即可。 【详解】解：设小圈舍有x间，每间容纳4只鹿，总容纳只；大圈舍有y间，每间容纳6只鹿，总容纳只，根据总鹿数50只， 可得方程：， 即， 故选：C 19.（24-25七年级下·浙江温州·期末）某运输公司现有190吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ■ （1）表格中被污渍盖住的数是______。 （2）第三次运输安排了5辆A货车，4辆B货车，运输物资共160吨。请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ （3）请你通过计算说明所有可行的运输方案。 【答案】(1)540 （2）A货车每辆每次可以运送物资20吨，B货车每辆每次可以运送物资15吨 （3）共有3种可行的运输方案：方案1：使用2辆A货车，10辆B货车；方案2：使用5辆A货车，6辆B货车；方案3：使用8辆A货车，2辆B货车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键。 （1）根据第一、二次A，B两种货车使用数量比例相同，即可求出第二次运输防疫物资的质量； （2）设A货车每辆每次可以运送物资x吨，B货车每辆每次可以运送物资y吨，根据第一、三次运输记录的数据，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设使用m辆A货车，n辆B货车，根据要求一次运输190吨防疫物资且每辆货车均满载，列出二元一次方程，求出自然数解，即可得出各运输方案。 【详解】（1）解：∵， ∴表格中被污渍盖住的数是（吨）， 故答案为：540． （2）解：设A货车每辆每次可以运送物资x吨，B货车每辆每次可以运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：A货车每辆每次可以运送物资20吨，B货车每辆每次可以运送物资15吨。 （3）解：设使用m辆A货车，n辆B货车， 依题意得：， 整理得：， 又∵m、n均为自然数， ∴或或， ∴共有3种可行的运输方案： 方案1：使用2辆A货车，10辆B货车； 方案2：使用5辆A货车，6辆B货车； 方案3：使用8辆A货车，2辆B货车。 20.（24-25七年级下·浙江台州·期末）近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为现实。一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况。 大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元） 第一天 4 20 3600 第二天 8 28 5760 （1）求大小两款无人机的单次运输价格； （2）正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣； （3）在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营 a 单，小无人机共运营 b 单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元。 ①求 a 和 b 的数量关系； ②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？ 【答案】(1）大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元； （2）小无人机实行九折优惠； （3）①；②这两天总营收的最小值为18840元。 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及整数倍数问题，解题的关键是根据题目中的数量关系，准确列出方程或方程组，结合实际情况求解。 （1）设未知数，根据两天营收列方程组求解单价； （2）先求大无人机运输次数，再得小无人机运输次数，进而求出折扣； （3）①分别算出试运营和当前的平均每单营收，列等式得出a 和b 的关系；②根据总营收是 120 的整数倍，结合a、b关系求最小值。 【详解】（1）解：设大无人机单次运输价格为元，小无人机单次运输价格为元。 根据题意，得： 得：，解得． 把代入①，得，解得． 所以原方程组的解是 答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元。 （2）解：大无人机实行八五折优惠，其打折后的单价为（元）。 大无人机共营收5100元，则大无人机运输次数为（次）。 因为小无人机运输次数是大无人机的两倍，所以小无人机运输次数为 （次）。 小无人机共营收4320元，则打折后的单价为元。 ； 答：小无人机的优惠折扣为九折。 （3）①试运营两天总营收为 元，总运输次数为 次，试运营平均每单营收为 元。 在（2）的折扣下，大无人机单价255元，小无人机单价108元，这两天总营收为 ，总运输次数为． ∵这两天平均每单的运输营收比试运营多了1元， ∴，则， 化简得：，即 ， ∴． ②  由①知，这两天总营收为． 打折前小无人机单次运输价格为120元， ∵总营收是120的整数倍，即为整数，，， ∴ 为整数， 又∵ 157 是质数， ∴a是40的倍数，a的最小值为40． 则总营收的最小值为元。 答：这两天总营收的最小值为18840元。 21.（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走。在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒。 （1）求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ （2）已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）完成接力任务的时间可能为 秒， 秒， 秒。 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的应用。 （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可。 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，nn为15的倍数， ，， 当时，完成接力任务的时间为 （秒） 当时，完成接力任务的时间为 （秒） 当时，完成接力任务的时间为 （秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒。 22.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍。已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元。 （1）求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价。 （2）甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）。 ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系。 【答案】(1）羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个 （2）①甲商场付款金额为元，乙商场付款金额为元 ② 【分析】题目主要考查二元一次方程组的实际应用−销售问题，理解题意，列出方程是解题关键。 （1）这里根据题意设两个未知数，建立相应的二元一次方程组模型，求解即可； （2）①这一问考查学生的文字理解能力，对于打折销售类问题，不仅要知道，还要充分考虑到两个商场不同的促销方式，列出符合题意的代数式，然后能准确化简结果；②在第①问的基础上做这一问就很简单了，直接建立起关于a、b的一个等式，化简就得到它们之间应满足的关系。 【详解】（1）解：设羽毛球拍的销售单价为x元/个，乒乓球拍的销售单价为y元/个， 由题意得：， 解得：， 答：羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个； （2）解：①甲：元， 乙：     元， 答：甲商场付款金额为元，乙商场付款金额为元； ②由题意得：， 整理得：． 23.（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据以下信息，探索完成任务： 如何设计租车方案？ 素材1 13度的甜，14度的鲜，兰溪杨梅以其独特的魅力，吸引着无数食客杨梅种植户欲将一批杨梅运往外地销售，若用3辆型车和2辆型车载满杨梅一次可运走17吨，用2辆型车和3辆型车载满杨梅一次可运走18吨。 素材2 杨梅种植户现有杨梅35吨，计划同时租用型车辆和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满杨梅。 素材3 型车每辆需租金300元/次，型车每辆需租金320元/次。 问题解决 任务一：分析数量关系 1辆型车和1辆型车都载满杨梅，一次可分别运杨梅多少吨？ 任务二：确定可行方案 请你帮杨梅种植户设计35吨杨梅运输的租车方案。 任务三：选取最优方案 请你选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费。 【答案】任务一：1辆型车载满杨梅一次可运货3吨，1辆型车载满杨梅，一次可运货4吨，任务二：共有3种租车方案。分别是：方案1：租用A型车1辆，B型车8辆；方案2：租用A型车5辆，B型车5辆；方案3：租用A型车9辆，B型车2辆。任务三：租用A型车1辆，B型车8辆最省钱，最少租车费为2860元。 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的解，准确列出方程是解题的关键。 任务一：设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物，一次可运货吨，用3辆型车和2辆型车载满杨梅一次可运走17吨，用2辆型车和3辆型车载满杨梅一次可运走18吨。据此列出方程组并解方程组即可得到； 任务二：依题意租用型车a辆，型车b辆得：根据杨梅种植户现有杨梅35吨，计划同时租用型车辆和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满杨梅，据此列方程，求出租车方案的解即可； 任务三：求出方案1、方案2、方案3的费用，比较后即可得到答案。 【详解】任务一： 解：设1辆型车载满杨梅一次可运货吨，1辆型车载满杨梅，一次可运货吨， 依题意得： 解得： 答：1辆型车载满杨梅一次可运货3吨，1辆型车载满杨梅，一次可运货4吨。 任务二： 解：依题意租用型车a辆，型车b辆得： ， ， ， 、都是正整数， 当或或 答：共有3种租车方案。分别是： 方案1：租用A型车1辆，B型车8辆； 方案2：租用A型车5辆，B型车5辆； 方案3：租用A型车9辆，B型车2辆。 任务三： 解：方案1费用为：（元）； 方案2费用为：（元）； 方案3费用为：（元）； 选择方案1． 答：租用A型车1辆，B型车8辆最省钱，最少租车费为2860元。 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $