专题05 因式分解（期末5大重难点汇编）2025-2026学年浙教版七年级数学下册

七年级数学期末总复习讲义 第5课 因式分解知识点梳理 考点01因式分解的意义 考点02提公因式法 考点03公式法——平方差公式 考点04公式法——完全平方公式 考点05综合法分解因式 知识点01 因式分解的意义 1. 定义：几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式.把含多个项的整式（多项式）化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解.如：x²+x=x(x+1);x⁴-1=(x²+1)(x²-1)=(x²+1)(x+1)(x-1). 其中，x、x+1是x²+x的因式，x²+1、x+1、x-1是x⁴-1的因式. 2. 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，但二者不是互为逆运算. 因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 3. 因式分解注意事项： (1)因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； (2)因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； 真题汇编 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）下列从左往右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列因式分解错误的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　） A． B． C． D． 知识点02 用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：我们把含多个项的整式（多项式）中的每一项都含有的公共的因式叫作这个整式各项的公因式.由m(a+b+c)=ma+mb+mc,可得ma+mb+mc=m(a+b+c). 这就将ma+mb+mc分解成两个整式的积.其中，m是ma+mb+mc各项的公因式. 2.公因式的确定方法 ①找系数的最大公因数；②找相同字母；③找相同字母指数最小值. 3.特别注意点：公因式可以是单项式也可以是多项式. 如：=所以公因式是（a-5）. 提公因式法分解因式：如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作提取公因式法. 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①找公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②确定另一个因式； ③提公因式，将多项式写成乘积的形式. 真题汇编 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）因式分解： ______． 7．（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式中各项的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知可分解因式为，则的值是（ ） A．1 B．6 C．7 D．8 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）因式分解． (1)； (2)． 10．（2025七年级下·浙江·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点03 用平方差公式分解因式 1. 定义：把整式乘法的平方差公式的等号两边互换，就得到 (a+b)(a-b)=a²-b² a²-b²=(a+b)(a-b), 即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 2. 适用平方差公式分解的条件： 【判断口诀】（三个特点）两个项、都是平方、相互异号 如：下列多项式适用平方差公式分解的有（ ①②⑤⑥ ） (1)x² - 4y² (2) -x² + y² (3) x² + y² (4)-9 - m² (5) 4x² - 9y² (6) (m+n)² - (m-n)² 真题汇编 11．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 12．（2025·浙江·三模）已知，则的值为__________． 13．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）已知x，y满足方程组，则________ 14．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）分解因式： (1)； (2) 15．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： (1) (2) (3) (4) 知识点04 用完全平方公式分解因式 1.定义：像a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，叫作完全平方式. 把整式乘法的完全平方公式 的等号两边互换，就得到 即:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 2.公式法：可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 注意事项：因式分解一定要分到不能再分为止. 例 分解因式： (1)(a+b)²-12(a+b)+36;(2)-x²+4xy-4y². 【分析】在(1)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m²-12m+36; 可通过添括号将原式写成-(x²-4xy+4y²)，括号内的式子为完全平方式. 【详解】(1) (a+b)²-12(a+b)+36=(a+b)²-2·(a+b)·6+6²=(a+b-6)²; (2) -x²+4xy-4y²=-(x²-4xy+4y²)=-[x²-2·x·2y+(2y)²]=-(x-2y)². 真题汇编 16．（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列因式分解中，正确的个数是（   ） ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 17．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．（23-24七年级下·浙江金华·期末）下列因式分解正确的是（    ）． A． B． C． D． 19．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）因式分解： (1)； (2)． 20．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）因式分解： (1)． (2)． 知识点05 综合法分解因式 分解因式时首先看有无公因式，再看能否运用公式法，最后一定要注意分到不能再分为止. 例 将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答； （2）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式． 本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 真题汇编 21．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）分解因式： (1)； (2)． 23．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）对下列各式进行因式分解： (1) (2) 24．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）因式分解： (1)； (2)． 25．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： (1)． (2)． (3)． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期末总复习讲义 第5课 因式分解知识点梳理 考点01因式分解的意义 考点02提公因式法 考点03公式法——平方差公式 考点04公式法——完全平方公式 考点05 综合法分解因式 知识点01 因式分解的意义 1. 定义：几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式.把含多个项的整式（多项式）化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解.如：x²+x=x(x+1);x⁴-1=(x²+1)(x²-1)=(x²+1)(x+1)(x-1). 其中，x、x+1是x²+x的因式，x²+1、x+1、x-1是x⁴-1的因式. 2. 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，但二者不是互为逆运算. 因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 3. 因式分解注意事项： (1)因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； (2)因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； 真题汇编 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握理解定义是解题关键． 根据因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，即可求解． 【详解】解：A． ，是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B． ，是因式分解，符合题意， C． ，等式的右边不是整式的乘积形式，故该选项不符合题意；     D． ， 等式的右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式化为几个整式的积的形式，即可． 【详解】解：A．左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意． B．左边为单项式，右边分解为常数与单项式的乘积，但单项式的分解不属于因式分解的范畴，不符合题意． C．右边为，包含加法运算，不是乘积形式，不符合因式分解的定义，不符合题意． D．左边为多项式，右边化为，符合因式分解的定义，符合题意． 故选：D 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）下列从左往右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为几个整式的积的形式． 【分析】A．左边是，右边展开为，属于整式乘法而非因式分解，选项错误，不符合题意； B．右边为，仍包含加法运算，未完全分解为积的形式，选项错误，不符合题意； C．右边为，虽等式成立，但未转化为乘积形式，选项错误，不符合题意； D．左边可写为，即两个的乘积，符合因式分解的定义，选项正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列因式分解错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法、十字相乘法和公式法进行因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A．，提取公因式x，正确，不符合题意； B．，故选项B错误，符合题意； C．，正确，不符合题意； D．，正确，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解-十字相乘法．将因式分解结果化为多项式形式，然后根据系数相等求出m和n． 【详解】解：∵关于x的二次三项式分解因式的结果为， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 知识点02 用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：我们把含多个项的整式（多项式）中的每一项都含有的公共的因式叫作这个整式各项的公因式.由m(a+b+c)=ma+mb+mc,可得ma+mb+mc=m(a+b+c). 这就将ma+mb+mc分解成两个整式的积.其中，m是ma+mb+mc各项的公因式. 2.公因式的确定方法 ①找系数的最大公因数；②找相同字母；③找相同字母指数最小值. 3.特别注意点：公因式可以是单项式也可以是多项式. 如：=所以公因式是（a-5）. 提公因式法分解因式：如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作提取公因式法. 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①找公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②确定另一个因式； ③提公因式，将多项式写成乘积的形式. 真题汇编 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）因式分解： ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的步骤．找到公因式，再提取公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式中各项的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：多项式为 ，其两项分别为 和， 的系数为1， 的系数为，故公因式的系数部分为1； 含字母的2次幂， 含字母的1次幂，取公共字母的最低次幂为1，即 ， ∴多项式中各项的公因式是， 故选：C． 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知可分解因式为，则的值是（ ） A．1 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法是关键． 通过提取公因式将原式分解因式，再对比系数确定参数值即可得． 【详解】解： 由题意可得，， ∴，. ∴． 故选：B． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）先提取公因式，然后即可求解； （2）提取公因式，然后即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 10．（2025七年级下·浙江·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式进行因式分解成为解题的关键． （1）先凑出公因式，然后直接提取公因式即可解答； （2）直接提取公因式即可解答； （3）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答； （4）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解∶ ． 知识点03 用平方差公式分解因式 1. 定义：把整式乘法的平方差公式的等号两边互换，就得到 (a+b)(a-b)=a²-b² a²-b²=(a+b)(a-b), 即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 2. 适用平方差公式分解的条件： 【判断口诀】（三个特点）两个项、都是平方、相互异号 如：下列多项式适用平方差公式分解的有（ ①②⑤⑥ ） (1)x² - 4y² (2) -x² + y² (3) x² + y² (4)-9 - m² (5) 4x² - 9y² (6) (m+n)² - (m-n)² 真题汇编 11．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 平方差公式适用于形如的式子，即两个平方项的差，需逐一分析选项是否符合该结构． 【详解】A、，这是两个平方项的和，不符合平方差公式的结构，无法用平方差公式分解，故不符合题意； B、可变形为，符合平方差公式，可分解为，故符合题意； C、这是完全平方式，可分解为，但不符合平方差公式的结构，故不符合题意； D、可提取负号得，仍是两个平方项的和，无法用平方差公式分解，故不符合题意； 故选：B． 12．（2025·浙江·三模）已知，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，先利用平方差公式将变形为，再将整体代入得，再次整体代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 13．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）已知x，y满足方程组，则________ 【答案】10 【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式及整体代入的数学思想是解决问题的关键． 先利用平方差公式把分解因式，再整体代入进行计算，即可得出答案． 【详解】解：∵， 化简得， ， 故答案为：10． 14．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式，掌握提公因式法和公式法是解题的关键． （1）利用提公因式法，求解即可； （2）利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键． （1）提公因式即可； （2）先变形，再提公因式即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先利用平方差形式分解因式，再分别提公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 知识点04 用完全平方公式分解因式 1.定义：像a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，叫作完全平方式. 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)²=a²+2ab+b², (a—b)²=a²-2ab+b² 的等号两边互换，就得到 a²+2ab+b²=(a+b)², a²-2ab+b²=(a-b)². 即:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 2.公式法：可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 注意事项：因式分解一定要分到不能再分为止. 例 分解因式： (1)(a+b)²-12(a+b)+36;(2)-x²+4xy-4y². 【分析】在(1)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m²-12m+36; 可通过添括号将原式写成-(x²-4xy+4y²)，括号内的式子为完全平方式. 【详解】(1) (a+b)²-12(a+b)+36=(a+b)²-2·(a+b)·6+6²=(a+b-6)²; (2) -x²+4xy-4y²=-(x²-4xy+4y²)=-[x²-2·x·2y+(2y)²]=-(x-2y)². 真题汇编 16．（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列因式分解中，正确的个数是（   ） ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法为解题关键，根据因式分解的方法逐一验证每个因式分解的正确性，统计正确个数即可． 【详解】解：①：提取公因式，得，与原式一致，正确； ②：利用平方差公式，分解为，正确； ③：因式分解为，展开后与原式一致，正确； ④：若为，展开后为，与原式二次项系数不符，错误； 综上，正确的有①、②、③，共3个， 故选：C． 17．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 18．（23-24七年级下·浙江金华·期末）下列因式分解正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，分别利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案． 【详解】解：A、无法分解因式，故此选不符合题意； B、，故此选不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：C． 19．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）提公因式即可求解； （2）将看成整体，利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 20．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解； （2）利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 知识点05 综合法分解因式 分解因式时首先看有无公因式，再看能否运用公式法，最后一定要注意分到不能再分为止. 例 将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答； （2）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式． 本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 真题汇编 21．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提取公因式3，然后对括号内的表达式应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故选：A． 22．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用提公因式法因式分解； （2）先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）对下列各式进行因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的提公因式法、公式法，熟练运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式． 24．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是综合公式法和提公因式法进行因式分解、提公因式法分解因式，解题关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）综合公式法和提公因式法即可因式分解； （2）提公因式即可完成因式分解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ． 25．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）提取公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $