专题06 分式（期末5大重难点汇编） 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

七年级数学期末总复习讲义 第6课 分式知识点梳理 考点01分式的意义 考点02分式的基本性质 考点03分式的乘除 考点04分式的加减及混合运算 考点05 分式方程 知识点01 分式的意义 1.分式的定义及三要素 一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式，其中 A 是分子，B 是分母.三要素：①两个整式②B 中含有字母③形如“ ” 如： 是分式，而下列都不是分式： （1）分母中不含有字母 ；（2） =1 是方程； （3） 分母中不含有字母 ；（4） m.分母中不含有字母 2.分式有意义、无意义的条件 一般地分式有意义的条件是分母不为0，否则就是无意义. 如：有意义的条件是分母 ，即m ;无意义的条件就是m . 3.分式的值为0,为1，为正（负）数，为整数的条件 分式值为0的条件是：A=0，且B. 如若分式 的值为0，则x2-1=0,且x+1 , 所以，x=1； 分式值为-1的条件是：A=-B，且B. 如若分式 的值为1．|x-5|=-（x-5）,且|x-5| 所以，x≤5,且x5，所以，x<5； 分式值为负数的条件是：A、B异号，且B. 如若分式的值为负，则x2+1>0 所以，x为任意实数； 分式值为整数的条件是：A能被B整除，且B. 如若分式的值为整数，则整数x应当满足x2+1是4的约数，4的约数在有理数范围内有1,2,4，所以整数x可以是0，1； 所以，x为任意实数. 常考题型： 题型1：分式的辨识 题型2：分式有无意义 题型3：分式的值为0，，正负数、整数 真题汇编 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）若分式的值为零，则________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，分式的值为零的条件：分式分子的值为零，分母的值不为零；根据条件可直接得到答案． 【详解】解：根据题意可知：且， 解得， 故答案为：2 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件可知，解这个不等式得． 故答案为：C． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列各式：，，，，是分式的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式的概念，分母中含有字母（变量）的代数式就是分式，只需紧扣定义逐个核对，就能判断出有几个代数式是分式． 【详解】解：分母含有变量x，是分式； 分母为常数3，不含变量，不是分式； 分母为，含有变量b，是分式； 分母为常数（圆周率），不含变量，不是分式； 分母为，含有变量x，是分式． 因此，是分式的有，，，共3个． 故选：C． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若分式的值为0，则实数（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为0，即分子为0，分母不为0，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选：A． 5．（2023七年级下·浙江·专题练习）当的取值范围是多少时， (1)分式有意义； (2)分式值为负数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，进行计算即可得到答案； （2）分式值是负数的条件是分子分母异号，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 时，分式有意义； （2）解：，， ， ， 时，分式值为负数． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件以及分式值的符号的确定方法． 知识点02 分式的基本性质 1.分式的基本性质 基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 用字母表示为： （C≠0），其中A、B、C是整式． 作用：将分式恒等变形. 2.将分式的分子分母的最高次项化为正数，系数化为整数 例如：(1)不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的首项都不含“－”号: ；= (2)利用基本性质将分式的系数化为整系数 3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 4.约分 约分就是利用分式的基本性质，分子分母同时除以分子分母的公因式，将分式化成最简分式. 约分的步骤：（1）找——公因式 （2）约——分子分母同时除以公因式 约分的类型：（1）分子分母是单项式——直接约分 （2）分子分母是多项式——先因式分解再约分 例如，利用基本性质将分式约分⑴ ⑵ 5.通分 ①根据分式的基本性质，把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分. ②这个相同的分母叫做这几个分式的公分母，其中最简的一个叫做最简公分母. ③对比辨析：通分与约分的区别（通分：异分母→同分母，分子分母同乘整式；约分：分式→最简分式，），二者依据均为分式的基本性质. 常考题型： 题型1：正确使用分式的基本性质将分式变形 题型2：利用分式的基本性质将分式变号、系数化整； 题型3：讨论分子分母分式的值之间扩大缩小的关系 题型:4：利用分式的基本性质约分、化简 真题汇编 6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式，分式的值不变；将原分式的分子和分母同时乘以，即可变形为选项C的形式. 【详解】解：分子和分母同时乘以： ； 故选：C 7．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的3倍 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，将原分式中的和同时扩大为原来的3倍，代入后化简新分式，与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：将原分式为．当和均扩大为原来的3倍， 代入得新分式： 原分式为，新分式化简后为原分式的3倍，即． 因此，分式的值扩大为原来的3倍， 故选C． 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可． 【详解】解： 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值、约分等知识点，掌握约分成为解题的关键． 由可得，把代入约分即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 把代入得． 故选C． 10．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的基本性质，逐一分析各选项的变形是否正确． 【详解】A选项：不等于． 例如，当时，左边为，右边为，显然不等，故A错误． B选项：与的分子分母分别加1，不符合分式的基本性质． 例如，取，，左边为，右边为，不等，故B错误． C选项：，分子分母同时乘以3，分式的值不变，符合分式的基本性质，故C正确． D选项：变形为 时，分子符号错误． 例如，当时，左边分子为，右边分子为，显然不等，故D错误． 故选：C． 知识点03 分式的乘法、除法 1. 分式的乘法 分式乘法法则：，即分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母. 2. 分式的除法 分式除法法则：，即除以分式等于乘其倒数，再按乘法法则计算. 3. 分式的乘除混合运算 顺序同有理数的混合运算的顺序. 常考题型： 1.分式的乘法、除法、乘方计算 2.分式的乘除法、乘方混合计算 例 化简：（    ） A．1 B． C． D． 【详解】解：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的乘除混合运算，一定要按顺序计算，千万不能先做乘法． 真题汇编 11．（24-25八年级下·广东深圳·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查分式的乘除运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）直接进行约分即可求得结果； （2）先把各分式的分子、分母进行因式分解后，再把除法转化成乘法，最后进行约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：. ． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则，是解题的关键： （1）直接约分化简即可； （2）除法变乘法，约分化简即可； （3）先进行乘方运算，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，关键是熟练运用因式分解化简分子分母并正确约分； （1）先对提公因式、用平方差公式因式分解，再根据分式乘法法则，约去分子分母公因式得出结果． （2）先对提公因式、用完全平方公式因式分解，接着将除法变乘法，最后约去公因式得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键，最后在选择一个恰当的数作为x的值时，要保证选取的x不能使分母为0．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】原式， 要使分式有意义，，且， 所以且， 所以只能取， 当时，原式． 15．（2025·广东深圳·二模）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式        ①                 ②                        ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． （1）从第①步开始出现错误，错误的原因是除法不能直接约分． （2）根据分式的运算，正确计算即可， 【详解】（1）解：上面的运算过程中第①步开始出现了错误， 故答案为：①； （2）原式                                                                     ． 知识点04 分式的加法、减法 1. 同分母分式的加法、减法 同分母分式加减法法则：同分母分式相加（减），分母不变，只把分子相加（减）.用字母表示为: 归纳关键提醒： ①分子是多项式时，相加减需加括号（避免符号错误）；如：= ②分母互为相反数时，先统一分母（如：； ③结果需约分（分子分母有公因式时）如：===x+2 2. 异分母分数的加法、减法 异分母分式相加（减），先因式分解分母→找最简公分母→通分（化为同分母分式）→按同分母法则计算→结果化简，: 如：计算时，公分母千万不能认为是（）(x-1),要先因式分解，再确定最简公分母。 3. 分式混合运算 先乘除、后加减，有括号的先算括号内的. 常考题型 题型1：同分母或简单的异分母分式加减计算 题型2：含符号问题或多分式的复杂加减计算 题型3：区分分式计算与解分式方程的区别 例8计算： 基础型——（同分母与简单异分母的简单） （1） ； （2） ； 提升型（含符号与多分式混合加减） （3） ； （4） ． 【详解】解：（1）； （2）； （3） ； （4） ． 真题汇编 16．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）若，则的值是______． 【答案】 6 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例关系得出b与a的比值，进而将所求表达式分解求解． 【详解】解：由，可得，则， 故答案为：6． 17．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）（1）计算：． （2）当时，求代数式的值． 【答案】（1）（2）14 【分析】题目主要考查分式的混合运算及整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）根据分式的化简，同分母分式相减，分母不变，分子相减计算求解即可． （2）根据整式的乘法、加法与减法的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 当时，原式． 18．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】此题主要考查同分母分式的减法运算，解题的关键是熟知分式的运算法则． 根据分式的运算法则化简求值即可． 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 19．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式的运用，完全平方公式的运用，先将括号里的式子通分，再将除法变为乘法，约分化简，最后将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．（24-25七年级下·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算除法，再算减法，然后把代入计算即可． 【详解】 ， 把代入，原式． 21．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）先化简：，并在，，，中选一个合适的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算及求值，分式有意义的条件，熟练分式的混合运算法则是解题的关键，先利用分式混合运算法则化简，再利用分式有意义的条件确定可取的值，再代入求解即可． 【详解】解：       ， ∵，，， 得，，， ∴， 代入得，原式=． 22．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【答案】(1)①是；②否 (2)2或8 (3)或 【分析】本题主要考查分式化简，新定义运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）①根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； ②根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）设，则，且a为整数，，则有，然后根据或解方程，进而可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得：，①正确， 故答案为：是； ② ，②错误， 故答案为：否； （2）解：， ∵该分式的值为整数， ∴的值可为，， 又∵a为正整数， ∴a的值为2或8； （3）解：∵分式和的值同时为整数， ∴设，则，且a为整数，， ∴ ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴或． 23．（24-25七年级下·浙江温州·期末）以下是小明同学完成课本129页计算的解答过程． 解： ① ② ③ ④ ⑤ 小明的解答过程对吗？如果正确，请写出每一步运用的数学知识；如果不对，请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 【答案】小明的解答过程错误，错误出现在第③步，见解析 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质． 根据分式的基本性质以及分式的加减运算法则去判断即可求解． 【详解】解：小明的解答过程错误，错误出现在第③步， 正确的解题过程如下： ． 24．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在化简分式时，一位同学的解答过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)该同学的解答从第　　步开始出错（填序号）； (2)请写出正确的完整解答过程． 【答案】(1)② (2)，过程见解析 【分析】本题考查异分母分式的加减． （1）根据分式的加减计算得出结论即可； （2）根据分式加减计算的运算法则得出结论即可． 【详解】（1）解：原式 ． ∴从第②步开始出错． 故答案为：②． （2）原式 ． 25．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一个代数式只含有字母，，把替换成，把替换成，得到一个新的代数式．若不论，如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等，则称其为对称式．例如：代数式，新代数式为，因为，所以是对称式；而代数式，新代数式为，因为当，时，代数式值为，新代数式值为，两者不相等，所以不是对称式． (1)请判断和是不是对称式？模仿上面的格式说明理由； (2)关于字母，的代数式（为常数）是对称式，求的值． 【答案】(1)是对称式，不是对称式 (2) 【分析】本题考查了整式的化简与整式恒成立求参数，正确理解新定义的含义是解题的关键． （1）根据对称式的定义对各式进行判断即可； （2）根据对称式的定义，交换的位置，得到，由题意得，得到，化简求解即可． 【详解】（1）解：代数式，交换字母后的代数式为：， ∵， ∴是对称式； 代数式，交换字母后的代数式为：， 当，时， ，， ∴， ∴不是对称式； （2）代数式交换，的位置得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵对称式是不论如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等， ∴不论如何取值均成立， ∴． 知识点05 分式方程 1.解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 2.解分式方程的一般步骤：①化②解③验 ①化：方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程； ②解：解这个整式方程； ③验：检验，是否为原方程的解. 3.检验.有两种方法： ①代入最简公分母，如果最简公分母等于0,则方程无解； ②直接代入原方程中，看其是否成立. 4. 分式方程为什么必须要有检验这个环节? 去分母时方程两边同时乘以最简公分母,如果这个公分母的值为0,就会导致原方程无意义,扩大了未知数的取值范围,导致一些解并不适用于原方程. 如:①方程两边同乘(x+5)(x-5)得到整式方程:x+5=10②,解之得x=5.这时我们发现x=5虽然能满足方程②,但x=5时方程①却没有意义.所以这个解必须舍弃. 5.注意事项： (1)去分母的依据是等式的性质，不是分式的基本性质; (2)用分式方程的最简公分母乘方程两边的各项时，不要漏乘没有分母的项 6.分式方程的实际应用的解题步骤:审→设→列→解→验→答 (1)审清题意，分清已知量和未知量； (2)设未知数； (3)根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程； (4)解方程 (5)验根； (6)答,写出答案. 题型1:分母相同或相反 (1) 【分析】本题两个分母互为相反,在去分母之前要先变号． 【详解】（1）解： 变号: 两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； 题型2:先将分母因式分解寻找最简公分母,再实施去分母. (2) 【分析】两边同乘去分母转化为整式方程，去括号，移项合并同类项，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程无解． 真题汇编 1．（23-24八年级上·宁夏吴忠·期末）把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（       ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．找出最简公分母是解此题的关键． 把分式方程化为整式方程，乘以最简公分母即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴方程的最简公分母是， ∴把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以即可． 故选C． 2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）某校组织九年级学生赴温州乐园开展研学活动，已知学校离温州乐园16千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了5分钟出发，自驾小车以每小时比大巴车快5千米速度的前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据大巴车比小车多用时小时列方程即可． 【详解】解：大巴车用时小时，自驾小车用时小时，大巴车比小车多用时小时，所以可列方程． 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______． 【答案】，， 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，先将分式化为整式，然后解方程得到用m表示的分式方程的解，然后根据解为正整数讨论可得到m的值，注意分式的分母不能为0． 【详解】解：，， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，2，3，6， 整数m的值为，，，1， ，即， ， 即， 整数m的值为，，， 故答案为：，，． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程. 先将分式方程化为整式方程，再解方程，最后检验即可. 【详解】解： 经检验，是原分式方程的解 5．（2025·浙江·模拟预测）解分式方程： 【答案】 【分析】根据解分式方程的方法，先把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后再检验即可．本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：把代入， 原分式方程的解为 6．（2025·浙江台州·三模）解分式方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了分式方程的求解，根据去分母，移项合并同类项，检验的过程进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 检验，当时，， 原方程无解． 7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 【答案】(1)机器人走完全程所花的时间为分钟 (2)当时，两机器人行走的时间相同，当时，A机器人行走的时间多，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用、分式的加减运算的应用、列代数式，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． （1）设原行走的速度为分，根据“结果比原计划提前40秒到达终点”列分式方程求解即可； （2）先根据题意求得两个机器人所需时间，然后作差，利用分式加减法计算后比较大小，进而可得结论． 【详解】（1）解：设原行走的速度为分， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， ， 机器人走完全程所花的时间分钟； （2）解：机器人所需时间， B机器人所需时间， ， 当时，， ∴，则，即两机器人行走的时间相同． 当时，，， ∴，则，即A机器人行走的时间多． 8．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校为了美化环境，营造良好的学习氛围，计划种植甲、乙两种花共300棵，其中甲种花比乙种花的2倍少60棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量． (2)若学校安排11人同时种植这两种花，每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 【答案】(1)种植甲种花180棵，乙种花120棵； (2)应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，找出等量关系列出方程组和方程是解答本题的关键． （1）设种植甲种花x棵，乙种花y棵，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出结论； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花，利用工作时间=工作总量÷（工作效率×人数），结合同时完成两种花的种植任务，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设种植甲种花x棵，乙种花y棵， 根据题意得：， 解得： 答：种植甲种花180棵，乙种花120棵； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 【答案】(1)的值为15，的值为18 (2)的值为8 【分析】本题考查二元一次方程组与分式方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组与分式方程是解题的关键． （1）根据买10件，件，件，总价格为520元；买15件，件，件，总价格为505元，列出关于和的二元一次方程组即可得到答案； （2）根据用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多的等量关系列出分式方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题知：纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件， ∴， 解得：， ∴的值为15，的值为18； （2）由题可知：套装的定价为33元/套，套装的定价为38元/套， ∴可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴的值为8． 10．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物．已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元． (1)求机器狗和无人机的采购单价． (2)满载情况下，每只机器狗比每台无人机单次多载，运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同，求机器狗和无人机的单次最高载货量． (3)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完，请根据上述信息列出所有的采购方案．并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高． 【答案】(1)机器狗的采购单价为12万元，无人机的采购单价为10万元 (2)机器狗的单次最高载货量为，无人机的单次最高载货量为 (3)共有两种采购方案：方案一，购买5只机器狗，10台无人机；方案二、购买10只机器狗，4台无人机；方案二的单次载货总量最高 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意列出方程和方程组是解题的关键． （1）设机器狗的采购单价为x万元，无人机的采购单价为y万元，根据购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元建立方程组求解即可； （2）设机器狗的单次最高载货量为，则无人机的单次最高载货量为，根据运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同建立方程求解即可； （3）设购买a只机器狗，购买b台无人机，根据总费用为160万元建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设机器狗的采购单价为x万元，无人机的采购单价为y万元， 由题意得，， 解得， 答：机器狗的采购单价为12万元，无人机的采购单价为10万元； （2）解：设机器狗的单次最高载货量为，则无人机的单次最高载货量为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：机器狗的单次最高载货量为，无人机的单次最高载货量为； （3）解：设购买a只机器狗，购买b台无人机， 由题意得，， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴当时，， 当时，， ∴共有两种采购方案：方案一，购买5只机器狗，10台无人机；方案二、购买10只机器狗，4台无人机； 方案一的单次最高载货量为， 方案二的单次最高载货量为， ∵， ∴方案二的单次载货总量最高， 答：共有两种采购方案：方案一，购买5只机器狗，10台无人机；方案二、购买10只机器狗，4台无人机；方案二的单次载货总量最高． 11．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 【答案】(1)，，； (2)竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； (3)①有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共70块． 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据题意列出方程组进行求解即可； （3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，列出二元一次方程，利用都是非负整数，求解即可； ②根据题意，进行求解即可． 【详解】（1）解：填写表格如下： 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 120 长方形木板 300 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：； （2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块． 设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个， 根据题意，得， 解得， 答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； （3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意， 得， ， 因为都是非负整数， 所以或． 答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块； ②所需正方形木板块，长方形块． 所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块， 所以废旧木板共块． 答：这批废旧木板共70块． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期末总复习讲义 第6课 分式知识点梳理 考点01分式的意义 考点02分式的基本性质 考点03分式的乘除 考点04分式的加减及混合运算 考点05 分式方程 知识点01 分式的意义 1.分式的定义及三要素 一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式，其中 A 是分子，B 是分母.三要素：①两个整式②B 中含有字母③形如“ ” 如： 是分式，而下列都不是分式： （1）分母中不含有字母 ；（2） =1 是方程； （3） 分母中不含有字母 ；（4） m.分母中不含有字母 2.分式有意义、无意义的条件 一般地分式有意义的条件是分母不为0，否则就是无意义. 如：有意义的条件是分母 ，即m ;无意义的条件就是m . 3.分式的值为0,为1，为正（负）数，为整数的条件 分式值为0的条件是：A=0，且B. 如若分式 的值为0，则x2-1=0,且x+1 , 所以，x=1； 分式值为-1的条件是：A=-B，且B. 如若分式 的值为1．|x-5|=-（x-5）,且|x-5| 所以，x≤5,且x5，所以，x<5； 分式值为负数的条件是：A、B异号，且B. 如若分式的值为负，则x2+1>0 所以，x为任意实数； 分式值为整数的条件是：A能被B整除，且B. 如若分式的值为整数，则整数x应当满足x2+1是4的约数，4的约数在有理数范围内有1,2,4，所以整数x可以是0，1； 所以，x为任意实数. 常考题型： 题型1：分式的辨识 题型2：分式有无意义 题型3：分式的值为0，，正负数、整数 真题汇编 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）若分式的值为零，则________． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列各式：，，，，是分式的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若分式的值为0，则实数（　　） A． B．1 C． D．3 5．（2023七年级下·浙江·专题练习）当的取值范围是多少时， (1)分式有意义； (2)分式值为负数． 知识点02 分式的基本性质 1.分式的基本性质 基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 用字母表示为： （C≠0），其中A、B、C是整式． 作用：将分式恒等变形. 2.将分式的分子分母的最高次项化为正数，系数化为整数 例如：(1)不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的首项都不含“－”号: ；= (2)利用基本性质将分式的系数化为整系数 3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 4.约分 约分就是利用分式的基本性质，分子分母同时除以分子分母的公因式，将分式化成最简分式. 约分的步骤：（1）找——公因式 （2）约——分子分母同时除以公因式 约分的类型：（1）分子分母是单项式——直接约分 （2）分子分母是多项式——先因式分解再约分 例如，利用基本性质将分式约分⑴ ⑵ 5.通分 ①根据分式的基本性质，把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分. ②这个相同的分母叫做这几个分式的公分母，其中最简的一个叫做最简公分母. ③对比辨析：通分与约分的区别（通分：异分母→同分母，分子分母同乘整式；约分：分式→最简分式，），二者依据均为分式的基本性质. 常考题型： 题型1：正确使用分式的基本性质将分式变形 题型2：利用分式的基本性质将分式变号、系数化整； 题型3：讨论分子分母分式的值之间扩大缩小的关系 题型:4：利用分式的基本性质约分、化简 真题汇编 6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的3倍 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_____． 9．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 10．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点03 分式的乘法、除法 1. 分式的乘法 分式乘法法则：，即分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母. 2. 分式的除法 分式除法法则：，即除以分式等于乘其倒数，再按乘法法则计算. 3. 分式的乘除混合运算 顺序同有理数的混合运算的顺序. 常考题型： 1.分式的乘法、除法、乘方计算 2.分式的乘除法、乘方混合计算 例 化简：（    ） A．1 B． C． D． 【详解】解：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的乘除混合运算，一定要按顺序计算，千万不能先做乘法． 真题汇编 11．（24-25八年级下·广东深圳·期中）计算 (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 14．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 15．（2025·广东深圳·二模）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式        ①                 ②                        ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 知识点04 分式的加法、减法 1. 同分母分式的加法、减法 同分母分式加减法法则：同分母分式相加（减），分母不变，只把分子相加（减）.用字母表示为: 归纳关键提醒： ①分子是多项式时，相加减需加括号（避免符号错误）；如：= ②分母互为相反数时，先统一分母（如：； ③结果需约分（分子分母有公因式时）如：===x+2 2. 异分母分数的加法、减法 异分母分式相加（减），先因式分解分母→找最简公分母→通分（化为同分母分式）→按同分母法则计算→结果化简，: 如：计算时，公分母千万不能认为是（）(x-1),要先因式分解，再确定最简公分母。 3. 分式混合运算 先乘除、后加减，有括号的先算括号内的. 常考题型 题型1：同分母或简单的异分母分式加减计算 题型2：含符号问题或多分式的复杂加减计算 题型3：区分分式计算与解分式方程的区别 例8计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【详解】解：（1）； （2）； （3） ； （4） ． 真题汇编 16．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）若，则的值是______． 17．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）（1）计算：． （2）当时，求代数式的值． 18．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）先化简，再求值：，其中． 19．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先化简，再求值：，其中． 20．（24-25七年级下·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中． 21．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）先化简：，并在，，，中选一个合适的值代入求值． 22．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 23．（24-25七年级下·浙江温州·期末）以下是小明同学完成课本129页计算的解答过程． 解： ① ② ③ ④ ⑤ 小明的解答过程对吗？如果正确，请写出每一步运用的数学知识；如果不对，请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 24．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在化简分式时，一位同学的解答过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)该同学的解答从第　　步开始出错（填序号）； (2)请写出正确的完整解答过程． 25．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一个代数式只含有字母，，把替换成，把替换成，得到一个新的代数式．若不论，如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等，则称其为对称式．例如：代数式，新代数式为，因为，所以是对称式；而代数式，新代数式为，因为当，时，代数式值为，新代数式值为，两者不相等，所以不是对称式． (1)请判断和是不是对称式？模仿上面的格式说明理由； (2)关于字母，的代数式（为常数）是对称式，求的值． 知识点05 分式方程 1.解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 2.解分式方程的一般步骤：①化②解③验 ①化：方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程； ②解：解这个整式方程； ③验：检验，是否为原方程的解. 3.检验.有两种方法： ①代入最简公分母，如果最简公分母等于0,则方程无解； ②直接代入原方程中，看其是否成立. 4. 分式方程为什么必须要有检验这个环节? 去分母时方程两边同时乘以最简公分母,如果这个公分母的值为0,就会导致原方程无意义,扩大了未知数的取值范围,导致一些解并不适用于原方程. 如:①方程两边同乘(x+5)(x-5)得到整式方程:x+5=10②,解之得x=5.这时我们发现x=5虽然能满足方程②,但x=5时方程①却没有意义.所以这个解必须舍弃. 5.注意事项： (1)去分母的依据是等式的性质，不是分式的基本性质; (2)用分式方程的最简公分母乘方程两边的各项时，不要漏乘没有分母的项 6.分式方程的实际应用的解题步骤:审→设→列→解→验→答 (1)审清题意，分清已知量和未知量； (2)设未知数； (3)根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程； (4)解方程 (5)验根； (6)答,写出答案. 题型1:分母相同或相反 (1) 【分析】本题两个分母互为相反,在去分母之前要先变号． 【详解】（1）解： 变号: 两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； 题型2:先将分母因式分解寻找最简公分母,再实施去分母. (2) 【分析】两边同乘去分母转化为整式方程，去括号，移项合并同类项，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程无解． 真题汇编 1．（23-24八年级上·宁夏吴忠·期末）把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（       ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）某校组织九年级学生赴温州乐园开展研学活动，已知学校离温州乐园16千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了5分钟出发，自驾小车以每小时比大巴车快5千米速度的前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期中）解方程： 5．（2025·浙江·模拟预测）解分式方程： 6．（2025·浙江台州·三模）解分式方程：． 7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 8．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校为了美化环境，营造良好的学习氛围，计划种植甲、乙两种花共300棵，其中甲种花比乙种花的2倍少60棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量． (2)若学校安排11人同时种植这两种花，每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 10．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物．已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元． (1)求机器狗和无人机的采购单价． (2)满载情况下，每只机器狗比每台无人机单次多载，运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同，求机器狗和无人机的单次最高载货量． (3)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完，请根据上述信息列出所有的采购方案．并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高． 11．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $