22.1函数（第2课时）课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

22.1函数（第2课时） 知识分点练 夯基础 知识点1 函数的概念 1．在式子①，②，③，④中，y是x的函数的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据函数的定义判断，即对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数．统计符合定义的式子个数即可解得． 【详解】解：①对于，当x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ②对于，当x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ③对于，当在范围内，x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ④对于，当x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数． 综上，4个式子都满足y是x的函数． 2．水中涟漪（圆形水波）从里到外不断扩大，记圆的半径为，圆的周长为，则下列说法不正确的是（    ） A．圆的周长是圆的半径的函数 B．是变量 C．圆的周长和圆的半径是变量 D．关于的解析式是 【答案】B 【分析】根据常量、变量与函数的定义判断各选项说法，选出不正确的选项即可． 【详解】解：由圆的周长公式得与的关系式为， ∵圆周率是固定不变的常数，为常量，圆的半径随水波扩大不断变化，周长随变化也不断变化，和都是变量，且对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数， ∴A、C、D选项说法正确，B选项说法错误． 3．下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A.存在一个x对应2个y的情况，不符合题意； B.对于每一个x的值，都有唯一确定的y与其对应，符合题意； C.存在一个x对应2个y的情况，不符合题意； D.存在一个x对应2个y的情况，不符合题意． 4．下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是_____（填写序号）． 【答案】①② 【分析】根据函数的定义逐个分析即可． 【详解】解：①，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ②，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ③，不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y不是x的函数； 综上所述，y是x的函数的是①②． 知识点2 函数的解析式 5．某车油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余油量等于总存油量减去流出的油量列出函数关系式即可求解． 【详解】解：∵流速为升/分钟，流出时间为分钟， ∴分钟流出的油量为升， 又∵剩余油量总油量流出油量， ∴． 6．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用x张白纸的长度减去粘合部分的长度可得一次函数解析式． 【详解】解：∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， ∴． 7．一个菱形的边长为，它的边长增加后，得到的新菱形的周长为，则与之间的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵菱形的四条边相等，原菱形边长为，新菱形边长增加， ∴新菱形的边长为， ∴新菱形周长，整理得． 8．某快递公司国内寄件的收费标准为：不超过的物品需付10元，超过后每增加（不足按计）需增加快递费2元，设寄出（x为大于1的整数）物品的快递费为y元，则y关于x的函数解析式为______． 【答案】（x为大于1的整数） 【详解】解：根据题意，y关于x的函数解析式为（x为大于1的整数）． 9．李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设长为米，长为米，则与之间的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出，结合篱笆总长度为36米列出等式，整理即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：四边形是矩形， ， 用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米， ，即， ， ． 知识点3 自变量的取值范围 10．对于函数，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：函数为 ， 要使二次根式有意义， 则 ， 移项解不等式得 ， 因此自变量 的取值范围是 ． 11．函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围. 【详解】解：要使函数有意义，根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数需大于0，即： 移项得 系数化为1得 知识点4 自变量的值或函数的值 12．已知函数，当函数值时，自变量的值为（　　） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】只需将代入解析式，解一元一次方程即可得到自变量的值． 【详解】解：∵ 函数解析式为 ，且 ， ∴ 将 代入解析式， 得， 移项计算得 ， 即自变量的值为5． 13．变量x，y的一些对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 【答案】B 【分析】根据表格中两个变量对应值的变化规律即可求解． 【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可得，， 当时，． 14．同一温度的华氏度数y（）与摄氏度数x（）之间的函数关系是，如果某一温度的华氏度数是，那么它的摄氏度数是________． 【答案】15 【分析】将的数值代入函数关系式，解关于的方程即可得到结果． 【详解】解：根据题意，将代入得， 解得， 因此它的摄氏度数是． 能力综合练 练思维 15．下列关于变量x，y的关系中：①；②；③；④．其中y是x的函数的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查函数的定义，解题思路是根据函数定义判断每个关系式：若对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，据此逐一判断即可． 【详解】① 可整理为 ，对任意x的确定值，y都有唯一确定的值对应， 故①中y是x的函数； ② ，对任意x的确定值，y都有唯一确定的值对应， 故②中y是x的函数； ③ ，对任意不为0的x的确定值，y都有唯一确定的值对应， 故③中y是x的函数； ④，即 ，当x取正数值时，例如，可得或，一个x对应两个不同的y值，y不唯一， 故④中y不是x的函数； 因此y是x的函数的是①②③． 16．下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（    ） A．如图中，是的函数； B．观察表中对应关系，是的函数，也是的函数： 3 2 1 0 1 2 －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 3 2 C．式子中，是的函数； D．数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数． 【答案】D 【分析】根据函数的定义“在一个变化过程中有两个变量x和y，给定x的一个值，y有唯一确定的值与其对应，则y是x的函数”判断解答即可． 【详解】解：A.根据图象可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确； B.根据表格可得给一个m的值，n，t都有唯一确定值，所以n，t都是m的函数，正确； C.根据关系式可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确； D.给一个x的值，y有无数个值与其对应，y不是x的函数，原说法错误． 17．嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据发现时间每增加，水的高度增加，再逐项判断即可． 【详解】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，其中容器中水的高度是因变量，时间是自变量，时间每增加，水的高度增加， 时间时，水的高度； 当时，； ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 18．一个蓄水池有50m3的水，打开放水闸门放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下列说法不正确的是（　　） 放水时间（分） 1 2 3 4 … 水池中的水量（） 48 46 44 42 … A．每分钟放水 B．放水10分钟后，水池中还有的水 C．水池中的水量是自变量，放水时间是因变量 D．放水25分钟，水池中的水全部放完 【答案】C 【分析】先根据表格数据得到每分钟放水量，推导出水池水量与放水时间的关系式，再逐一判断各选项，找出错误说法即可． 【详解】解：根据表格数据可知，放水时间每增加1分钟，水池水量减少，即每分钟放水，故A选项正确，不符合题意； 设放水时间为分钟，水池中水量为，则， 当时，，即放水10分钟后水池还有水，故B选项正确，不符合题意； 放水时间是主动变化的量，水池水量随放水时间变化，因此放水时间是自变量，水池水量是因变量，故C选项错误，符合题意； 当时，，解得，即放水25分钟水全部放完，故D选项正确，不符合题意； 19．已知汽车油箱中有油30升，行驶时油从油箱中均匀流出，流速为0.1升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数关系式，理解“剩余油量总油量流出油量”是正确解答的前提． 根据“剩余油量总油量流出油量”，用代数式表示流出油量即可． 【详解】解：根据“剩余油量总油量流出油量”可得， ， 故选：B． 20．函数，自变量的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件计算即可得出结果． 【详解】解：∵函数， ∴，，， 解可得， 解可得， 解可得， 综上所述，自变量的取值范围是且． 21．对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 22．如图，用长为的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在其中一边开了一个宽的门． (1)设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式； (2)当时，求出所围苗圃的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出解析式即可； （2）代数求值即可． 【详解】（1）解：设矩形的一边为，则另一边长为 y关于x的函数关系式为； （2）解：将代入得， ， ∴所围苗圃的面积是． 23．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻模型，研究发现水位读数是供水时间的一次函数，下表是兴趣小组记录的部分数据： 供水时间 0 1 2 3 4 … 水位读数 2 2.4 2.8 3.2 3.6 … (1)水位读数与供水时间的关系式为______； (2)若供水时间为，水位读数为______； (3)若本次实验开始记录的时间是上午，当水位读数为时是几点钟？ 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）根据表格可知当时，，时间增加，水位上涨了，即可得出关系式； （2）将代入关系式可得答案； （3）将代入关系式可得时间，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据表格可知：当时，，时间增加，水位上涨了， ∴； （2）解：当时，； （3）解：在中， 令，得， 解得， ∵本次实验开始记录的时间是上午， ∴水位读数为时是． 24．如图，测定某弹簧的长度与所挂重物函数关系的装置．弹簧不挂任何重物时的长度为120毫米．在弹簧下端依次挂上不同个数的钩码，待钩码静止后，量出弹簧的长度l．得到的数据记录在下面的表格中： 钩码的个数n/个 0 1 2 3 4 … 10 弹簧长度l/毫米 120 125 130 135 140 … 170 (1)如果用n表示悬挂的钩码数量，l表示弹簧长度，在弹簧的弹性限度内，请你写出弹簧长度l与钩码个数n之间的函数表达式； (2)弹簧长度l为155毫米时，求悬挂的钩码数量． 【答案】(1) (2)7个 【分析】（1）根据表格中n和l的变化规律即可得解； （2）令，解方程，求出n即可得解． 【详解】（1）解：由上表可以看出， 钩码的个数n每增加1个，弹簧长度l增加5毫米， ； （2）解：当时，， 解得， 答：悬挂的钩码数量为7个． 拓展探究练 提素养 25．如图，正方形边长，点E在边上，且，点N从点A出发，以的速度在A，B之间往返匀速运动，同时，点M从点E出发，以的速度沿匀速运动，当点M运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t（）（单位：s）．在运动过程中的面积S（单位：）随运动时间t的变化而变化． (1)当点N运动到B点时，______，______； (2)在整个运动过程中，直接写出S与t的关系式； (3)当时，若，求t的值． 【答案】(1)4；72 (2) (3)或 【分析】（1）求出点M运动到点C所需时间，判断得出点N只有一次运动到点B，即可解答； （2）分三种情况：时，时，时，结合点M，N的位置，根据三角形的面积公式求解即可； （3）把代入解析式，求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴点M运动到点C所需时间， 点N从点A运动到点B的时间， 点N从点B返回到点A的时间， 点N再次从点A运动到点B的时间， ∵当点M运动到点C时，两点都停止运动， ∴点N只有一次到达点B，此时， 点M运动的路程为，即点M与点D重合， ∴． （2）解：由（1）可得，当时，点N从点A运动到点B，点M从点E运动到点D， 如图， ∴，，， ∴ 即S与t的关系式为． 当时，点N从点B运动到点A，点M从点D运动到点C，如图， ∴， ∴， 即S与t的关系式为； 当时，点N从点A运动到点B，点M从点D运动到点C，如图， ∴， ∴， 即S与t的关系式为； 综上所述，s与t的关系式为． （3）解：当时， 若，则，解得； 若，则，解得； ∴若，t的值为或． 26．如图，已知平面直角坐标系中，已知，，连接． (1)如图1，求的长； (2)如图2，点P在y轴负半轴上，设点P的纵坐标为t，的面积为S，用含有t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点Q在y轴上方一点，点E在第四象限，连接，，，若，，，，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点B作轴于点H，根据、得到，，根据勾股定理计算即可； （2）过点B作轴于点M，连接，根据列关系式即可； （3）将代入（2）中关系式求出，可知，过点E作轴于点T，根据三角形面积公式求出，则，证明四边形是矩形，得到轴，，可知，根据30度角的性质及勾股定理得到，进而求出，根据线段的和差求出，即可求出点E的坐标． 【详解】（1）解：过点B作轴于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，； （2）解：过点B作轴于点M，连接， ∴， ∴ ； （3）解：当时，， 解得， ∴， 过点E作轴于点T， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． ∴轴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.1函数（第2课时） 知识分点练 夯基础 知识点1 函数的概念 1．在式子①，②，③，④中，y是x的函数的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．水中涟漪（圆形水波）从里到外不断扩大，记圆的半径为，圆的周长为，则下列说法不正确的是（    ） A．圆的周长是圆的半径的函数 B．是变量 C．圆的周长和圆的半径是变量 D．关于的解析式是 3．下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是_____（填写序号）． 知识点2 函数的解析式 5．某车油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 6．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 7．一个菱形的边长为，它的边长增加后，得到的新菱形的周长为，则与之间的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 8．某快递公司国内寄件的收费标准为：不超过的物品需付10元，超过后每增加（不足按计）需增加快递费2元，设寄出（x为大于1的整数）物品的快递费为y元，则y关于x的函数解析式为______． 9．李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设长为米，长为米，则与之间的函数关系式为__________． 知识点3 自变量的取值范围 10．对于函数，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．函数的自变量的取值范围是______． 知识点4 自变量的值或函数的值 12．已知函数，当函数值时，自变量的值为（　　） A．1 B． C．5 D． 13．变量x，y的一些对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 14．同一温度的华氏度数y（）与摄氏度数x（）之间的函数关系是，如果某一温度的华氏度数是，那么它的摄氏度数是________． 能力综合练 练思维 15．下列关于变量x，y的关系中：①；②；③；④．其中y是x的函数的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①③④ 16．下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（    ） A．如图中，是的函数； B．观察表中对应关系，是的函数，也是的函数： 3 2 1 0 1 2 －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 3 2 C．式子中，是的函数； D．数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数． 17．嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 18．一个蓄水池有50m3的水，打开放水闸门放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下列说法不正确的是（　　） 放水时间（分） 1 2 3 4 … 水池中的水量（） 48 46 44 42 … A．每分钟放水 B．放水10分钟后，水池中还有的水 C．水池中的水量是自变量，放水时间是因变量 D．放水25分钟，水池中的水全部放完 19．已知汽车油箱中有油30升，行驶时油从油箱中均匀流出，流速为0.1升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系是（　　） A． B． C． D． 20．函数，自变量的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 21．对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 22．如图，用长为的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在其中一边开了一个宽的门． (1)设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式； (2)当时，求出所围苗圃的面积是多少？ 23．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻模型，研究发现水位读数是供水时间的一次函数，下表是兴趣小组记录的部分数据： 供水时间 0 1 2 3 4 … 水位读数 2 2.4 2.8 3.2 3.6 … (1)水位读数与供水时间的关系式为______； (2)若供水时间为，水位读数为______； (3)若本次实验开始记录的时间是上午，当水位读数为时是几点钟？ 24．如图，测定某弹簧的长度与所挂重物函数关系的装置．弹簧不挂任何重物时的长度为120毫米．在弹簧下端依次挂上不同个数的钩码，待钩码静止后，量出弹簧的长度l．得到的数据记录在下面的表格中： 钩码的个数n/个 0 1 2 3 4 … 10 弹簧长度l/毫米 120 125 130 135 140 … 170 (1)如果用n表示悬挂的钩码数量，l表示弹簧长度，在弹簧的弹性限度内，请你写出弹簧长度l与钩码个数n之间的函数表达式； (2)弹簧长度l为155毫米时，求悬挂的钩码数量． 拓展探究练 提素养 25．如图，正方形边长，点E在边上，且，点N从点A出发，以的速度在A，B之间往返匀速运动，同时，点M从点E出发，以的速度沿匀速运动，当点M运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t（）（单位：s）．在运动过程中的面积S（单位：）随运动时间t的变化而变化． (1)当点N运动到B点时，______，______； (2)在整个运动过程中，直接写出S与t的关系式； (3)当时，若，求t的值． 26．如图，已知平面直角坐标系中，已知，，连接． (1)如图1，求的长； (2)如图2，点P在y轴负半轴上，设点P的纵坐标为t，的面积为S，用含有t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点Q在y轴上方一点，点E在第四象限，连接，，，若，，，，求点E的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $