精品解析：广东珠海市紫荆中学桃园中学2025-2026学年度第二学期八年级期中质量监测数学试卷

桃园中学2025-2026学年度第二学期八年级期中质量监测数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，12，13 C. 6，7，8 D. 2，， 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 一个菱形的两条对角线长分别是，则这个菱形的面积S等于（ ）． A. 48 B. 24 C. 12 D. 18 7. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（ ） A. B. 9 C. D. 18 8. 如图，在中，点，分别是和的中点，点是线段上的一点，连接，，且．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 1.5 D. 2 9. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形是正方形，其中点A的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（ ） A. 2.4 B. 5 C. 4.8 D. 2.5 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：________． 12. 如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是________．（只需写一个条件） 13. 如图，的对角线与相交于点，，，，则的长为___________． 14. 如图，在中，，为上一点，连接，过点作于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为_______． 15. 如图，菱形的面积为12，点E是的中点，点F是BC上一点．若的面积为2，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 18. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）请直接写出以下线段的长度：______，______，______，______； （2）连接，求的度数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 20. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝，OE＝2，求四边形ABCD的面积． 21. 正方形中，点是边上的任意一点，连接，作，连接，． （1）当时，求的度数； （2）当时，，请直接写出正方形的边长为______． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 阅读观察：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． （1）类比应用： ①化简：______； ②请化简：； （2）拓展延伸：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽，则黄金矩形的长______． （3）在（2）的条件下，如图②，将图①中的黄金矩形截剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论． 23. 如图，将矩形放在直角坐标系中，为原点，点在轴上，点在轴上，、的长，满足，把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点． （1）______，______； （2）请求出点的坐标（写过程），并直接写出点的坐标（不写过程）； （3）在（2）的条件下，点为平面内任意一点，轴上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桃园中学2025-2026学年度第二学期八年级期中质量监测数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件为．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，被开方数23是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式条件，该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，12，13 C. 6，7，8 D. 2，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，依次计算各选项即可判断． 【详解】解：A、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，，，能构成直角三角形，符合题意； C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D、该组最长边为，，，，不能构成直角三角形，不符合题意． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则和算术平方根的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，计算正确，故符合题意； B、，计算错误，故不符合题意； C、，计算错误，故不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能直接合并，计算错误，故不符合题意． 5. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多边形，根据多边形的外角和等于即可求得答案． 【详解】解：边数． 故选：A 6. 一个菱形的两条对角线长分别是，则这个菱形的面积S等于（ ）． A. 48 B. 24 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的面积计算，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵一个菱形的两条对角线长分别是， ∴这个菱形的面积S等于， 故选：B． 7. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（ ） A. B. 9 C. D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，可得，，可证明是等边三角形，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 8. 如图，在中，点，分别是和的中点，点是线段上的一点，连接，，且．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 1.5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质和平行线分线段成比例定理，延长交于点G，根据平行线分线段成比例定理得出是的中位线即可求解． 【详解】解：延长交于点G， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴，即点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形是正方形，其中点A的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作交的延长线于点， 利用正方形性质证明，求出，的长，进而得出点坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作交的延长线于点，  ，  ，  ，  ， ， 四边形是正方形，  ，， ，  ， 在和中，  ，  ， ， ， 点的横坐标为，纵坐标为，  ． 10. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（ ） A. 2.4 B. 5 C. 4.8 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段的最小值为． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 12. 如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是________．（只需写一个条件） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】依据矩形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定； 或添加，根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形即可判定． 13. 如图，的对角线与相交于点，，，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知，，再利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， ． 14. 如图，在中，，为上一点，连接，过点作于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据为线段的垂直平分线，得到，再通过等量代换可得，设，则，然后根据勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵于点E，E为的中点， ∴为线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴在中，， 即，解得， ∴． 15. 如图，菱形的面积为12，点E是的中点，点F是BC上一点．若的面积为2，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质及三角形的面积计算，根据同高三角形的底之比等于面积之比计算出空白部分三角形面积是解题的关键．连接，因为是的中点，所以，，根据，可得，故，故． 【详解】解：连接， 是的中点， ， 连接， 同理可得， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算各项，再化简各项后合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：连接，交于点O． 在中，，． 又， ． ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】连接，交于点O，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】略 18. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）请直接写出以下线段的长度：______，______，______，______； （2）连接，求的度数． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）因为在方格纸中且给出小正方形边长可放在直角三角形中用勾股定理求出线段长度， （2）先求出三条边的长度，进而利用用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，若是则可得出的度数． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 ，， ， 为直角三角形， ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝，OE＝2，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴BC＝CD，且AB＝BC， ∴CD＝AB，且AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）4 【解析】 【分析】（1）由平行线性质和角平分线性质易证明，BC=CD，因为AB∥CD且AB=BC，即可证明； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AC的长，再由勾股定理求出OB的长即可得到OD的长，即可求解. 【详解】解：（1）略 （2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO， ∵CE⊥AB， ∴AC＝2OE＝4， ∴OA＝2， ∴ ∴BD＝2OB＝2， ∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×4×2＝4． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，菱形的性质与判定，直角三角形斜边的中线，勾股定理，难度不大，但需要掌握相关知识点． 21. 正方形中，点是边上的任意一点，连接，作，连接，． （1）当时，求的度数； （2）当时，，请直接写出正方形的边长为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正方形的性质和的度数，根据直角三角形的两锐角互余和三角形内角和定理依次求出，的度数，再通过证明， 得到，即可得解； （2）通过已知条件可以证明为等腰直角三角形，在中，利用勾股定理可求得的长， 在中，利用含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，根据线段和差关系可得的长， 在中，利用勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ， ，， ， ，， ， ，为等腰直角三角形， ， 在中，，即， ， 在中，， ，， ， 在中，，即， ， 即正方形的边长为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 阅读观察：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． （1）类比应用： ①化简：______； ②请化简：； （2）拓展延伸：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽，则黄金矩形的长______． （3）在（2）的条件下，如图②，将图①中的黄金矩形截剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】（1） ； （2） （3） 解：矩形是黄金矩形； 证明： 在正方形中，， 由（2）得， ， ，符合黄金矩形的定义 ， 矩形是黄金矩形． 【解析】 【分析】（1）利用题干给出的分母有理化方法，分子分母同乘化简即可；先对每个项分别分母有理化，再提取公因式化简计算即可； （2）根据黄金矩形宽与长的比为，代入的长度计算即可； （3）计算矩形的宽与长的比，验证是否符合黄金矩形的定义即可判断． 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 解：黄金矩形的宽，宽与长的比是，  ， ； 【小问3详解】 略 23. 如图，将矩形放在直角坐标系中，为原点，点在轴上，点在轴上，、的长，满足，把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点． （1）______，______； （2）请求出点的坐标（写过程），并直接写出点的坐标（不写过程）； （3）在（2）的条件下，点为平面内任意一点，轴上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点的坐标；点的坐标； （3）存在点，满足条件的点的坐标为，，， 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）由矩形的性质结合折叠的性质得到，推出，在中，由勾股定理列方程求解即可得到点的坐标；点作，并延长交于点，由矩形和折叠的性质可得的长，在和中，利用勾股定理分别表示出，列方程即可求得的长，进而可得点的坐标； （3）分三种情况讨论：当为菱形的边，是菱形的边时；当为菱形的边，是菱形的对角线时；当为菱形的对角线时，根据菱形的性质列式计算即可． 【小问1详解】 解：、的长，满足，，， ，， ，； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， 在矩形中，，，， ， 由折叠可知，， ， ， 设，则， 在中，， 即，解得， ，， 点的坐标； 如图，过点作，并延长交于点，则四边形是矩形， ， 在矩形中，， 由折叠可知，，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得，即， ，， ， 点的坐标； 【小问3详解】 解：存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形， 当为菱形的边，是菱形的边时，， ，； 当为菱形的边，是菱形的对角线时，， ； 当为菱形的对角线时，则，，延长交轴于点， ， 设， ，， 在中，， 即，解得， ， ； 综上，存在点，满足条件的点的坐标为，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $