精品解析：江西九江市都昌县2025 - 2026学年度下学期第一次阶段性学情评估 八年级 数学

2025-2026学年度下学期第一次阶段性学情评估 八年级 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如四，已知点，．若将线段平移到，其中．．则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 如图在中，平分于D，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知等腰中，，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为（　　） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，在四边形中，，P为边的中点，连接．若，，且，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位后所得的点的坐标是_________． 8. 如图：点在直线上，则不等式关于的解集是______． 9. 若关于的不等式组有解，则的取值范围是______． 10. 如图，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI的度数为：__． 11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，则的度数为______． 12. 如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是边AB上的点，将△CBD沿CD折叠得到△CPD，CP与直线AB交于点E，当出现以DP为边的直角三角形时，BD的长可能是______． 三、解答题（第13-17题每题6分，第18-20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题12分，共84分） 13. 按要求解答问题： （1）解一元一次不等式组； （2）如图，已知在等边中，是的中点，于，于，．求的长． 14. 如下图，已知，，垂直的延长线于点，垂直的延长线于点．求证：． 15. 在如图所示的网格中． （1）画出将向下平移5个单位后得到的，点，，的对应点分别为点，，； （2）画出将绕原点逆时针旋转后得到的，点，，对应点分别为点，，，并直接写出的面积． 16. 如图所示，已知是的平分线，垂直平分，垂足是E，交的延长线于F，求证：． 17. 如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点． （1）若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离； （2）求证：点在的平分线上． 18. 如图，在中，D是上一点，连接，的平分线交于点E，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 已知关于x，y的不等式组, （1）若该不等式组的解为，求k的值； （2）若该不等式组的解中整数只有1和2，求k的取值范围． 20. 某学校计划购进一批电脑和电子白板，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元；购进2台电脑和1台电子白板需要2.5万元． （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有哪几种购买方案？ 21. 如图， 在中，，，交于点G，，，点E，F分别在边，上， 连接，，． （1）求的长； （2）若，求证：． 22. 根据有理数乘法（除法）法则可知：若（或），则或；若（或），则或．根据上述知识，求不等式的解集． 解：原不等式可化为：（i）或（ii）．由（i）得，；由（ii）得，， ∴原不等式的解集为或． 请你运用所学知识，结合上述材料回答下列问题： （1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集． 23. 已知：如图，在中，，直线为边的垂直平分线，以为边作等边三角形，与在直线的异侧，直线交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：． （2）求的度数． （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期第一次阶段性学情评估 八年级 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一判定即可． 【详解】A、∵，∴，则本选项错误； B、∵，∴，则本选项正确； C、∵，∴，则本选项错误； D、∵，∴，则本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解答本题的关键． 3. 如四，已知点，．若将线段平移到，其中．．则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图象的变化，解题的关键是熟知平移过程中图象上的每一个点的平移方向和距离均相同．根据A，C两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题． 【详解】解：线段平移到，且，，，， ， ， ， 故选：B． 4. 如图在中，平分于D，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，得出是解题关键． 直接利用角平分线的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：∵在中，平分于D， ∴， ∴． 故选：D． 5. 已知等腰中，，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况：（1）当在的内部时，连接，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当在的外部，连接，根据垂直平分线性质，利用等边对等角，问题随之得解． 【详解】解：分两种情况： 当在的内部，如图1，连接， 两腰的垂直平分线交于点P， ， ，， ， ∴， ， ， ， ； 当在的外部，如图2，连接， 由题意得：， ，， ， ， ， ， ， 则等腰三角形的顶角为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，分两种情况求解是解题的关键． 6. 如图，在四边形中，，P为边的中点，连接．若，，且，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质．延长和相交于点，由，P为边的中点，证明，得到，，推出是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：延长和相交于点， ∵， ∴，， ∵P为边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即是线段的垂直平分线， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位后所得的点的坐标是_________． 【答案】（－6，4） 【解析】 【分析】根据坐标的平移规律：横坐标向左平移减，向右平移加；纵坐标向上平移加，向下平移减；即可解答； 【详解】解：点A（-3，4）向左平移3个单位后所得的点的坐标是（-6，4）， 故答案为：（-6，4）； 【点睛】本题考查了坐标的平移，掌握平移规律是解题关键． 8. 如图：点在直线上，则不等式关于的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】由图象即可知不等式的解集． 【详解】由图象可知：当时，直线的图象在直线的上方， 当时，不等式， 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数图象与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想通过一次函数的图象解一元一次不等式是解题的关键． 9. 若关于的不等式组有解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组有解的条件计算即可得出结果． 【详解】解：∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：． 10. 如图，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI的度数为：__． 【答案】#12度 【解析】 【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论． 【详解】解：在正六边形ABCDEF内，∠FAB＝=120°， 正五边形ABGHI中，∠IAB＝=108°， ∴∠FAI＝∠FAB﹣∠IAB＝120°﹣108°＝12°， 故答案为：12°． 【点睛】本题主要考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可以推出的度数以及为等腰直角三角形，从而求出度数，根据三角形的外角性质即可求出的度数． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质，解题的关键在于利用旋转的性质等量转化角或线段． 12. 如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是边AB上的点，将△CBD沿CD折叠得到△CPD，CP与直线AB交于点E，当出现以DP为边的直角三角形时，BD的长可能是______． 【答案】3或或 【解析】 【分析】分，，三种情况，分别作出图形，解直角三角形即可． 【详解】解：由折叠性质可得： ，，， 在中， ，，， ①如图，当时， 为直角三角形， ，， ， ， 为等边三角形， ， ； ②如图，当时， 为直角三角形， ； ③当时， 为直角三角形， ， 为等边三角形， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 综上，或或， 故答案为：3或或． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是分类讨论，将图形作出． 三、解答题（第13-17题每题6分，第18-20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题12分，共84分） 13. 按要求解答问题： （1）解一元一次不等式组； （2）如图，已知在等边中，是的中点，于，于，．求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本小题考查解一元一次不等式组，先分别解出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找‌”求出它们的解集的公共部分即可； （2）本小题考查等边三角形的性质，角直角三角形的性质，首先根据等边三角形的性质和的长度求出的长度，然后根据角所对直角边是斜边的一半求出的长度，进而求出的长度，然后根据角所对直角边是斜边的一半求出的长度，即可求出的长度． 【小问1详解】 解：解不等式，得， 解不等式，得，即， ∴不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解：∵在等边中，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 14. 如下图，已知，，垂直的延长线于点，垂直的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点． 连接，证明，得到，再利用角平分线的性质得到． 【详解】证明：如图，连接． 在和中， ， ． 又，， 15. 在如图所示的网格中． （1）画出将向下平移5个单位后得到的，点，，的对应点分别为点，，； （2）画出将绕原点逆时针旋转后得到的，点，，对应点分别为点，，，并直接写出的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析，的面积为3 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，网格中求三角形面积，正确理解旋转的性质，平移规律是解题的关键． （1）根据下减的原则，计算出平移坐标，再画图即可； （2）根据旋转的性质作图即可，利用三角形面积公式即可求的面积． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，为所求； ． 16. 如图所示，已知是的平分线，垂直平分，垂足是E，交的延长线于F，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】垂直平分，则可得，进而再转化为角之间的关系，通过角之间的平衡转化，最终得出结论． 【详解】证明：垂直平分， ， ， ， ， 又平分， ， ． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质、三角形外角性质等几何知识，熟练应用线段的垂直平分线的性质及三角形外角性质是解题关键． 17. 如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点． （1）若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离； （2）求证：点在的平分线上． 【答案】（1）5cm； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质即可解答； （2）根据角平分线的性质得到，进而得到，根据角平分线的判定定理即可证明． 【小问1详解】 解：过点作于， 点在的平分线，，， cm， 即点到直线的距离为； 【小问2详解】 证明：点在的平分线，，， ， 同理：， ， ，， 点在的平分线上． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，熟知角平分线的性质定理和判定定理，根据题意添加辅助线是解题关键． 18. 如图，在中，D是上一点，连接，的平分线交于点E，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得，利用三角形外角的性质可证明结论； （2）利用（1）的结论可得，由三角形的内角和定理可求解的度数，进而求解的度数． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 19. 已知关于x，y的不等式组, （1）若该不等式组的解为，求k的值； （2）若该不等式组的解中整数只有1和2，求k的取值范围． 【答案】(1) k=﹣4 ；(2) ﹣4＜k≤﹣1． 【解析】 【分析】（1）求出不等式组的解集，把问题转化为方程即可解决问题； （2）根据题意把问题转化为不等式组解决； 【详解】解：(1) 由①得： 由②得： ∵不等式组的解集为 ∴ 解得k=−4 (2)由题意 解得 【点睛】考查一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握不等式组解集的求法是解题的关键. 20. 某学校计划购进一批电脑和电子白板，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元；购进2台电脑和1台电子白板需要2.5万元． （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有哪几种购买方案？ 【答案】（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元 （2）共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；方案三：购进电脑17台，电子白板13台 【解析】 【分析】（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得，，  进行计算即可得； （2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台，则，解得：15≤a≤17，根据实际问题得a=15，16，17，即可得． 【小问1详解】 解：设每台电脑x万元，每台电子白板y万元， 根据题意得，，   解得：， 即每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元； 【小问2详解】 解：设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台， 则， 解得：15≤a≤17， ∵a为整数， ∴a=15，16，17， 故共有三种方案： 方案一：购进电脑15台，电子白板15台， 方案二：购进电脑16台，电子白板14台， 方案三：购进电脑17台，电子白板13台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，能够正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组． 21. 如图， 在中，，，交于点G，，，点E，F分别在边，上， 连接，，． （1）求的长； （2）若，求证：． 【答案】（1）8 （2）证明见详解 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解含的直角三角形，等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． （1）先利用等腰三角形的性质得出，再由线段垂直平分线的性质并通过解直角三角形得到的值，根据已知条件证得是等边三角形，进而求得结果； （2）先根据已知条件并利用角度的和差关系得出，证明得到，再利用等边三角形的性质及线段的等量关系求得相关证明结论即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即． 22. 根据有理数乘法（除法）法则可知：若（或），则或；若（或），则或．根据上述知识，求不等式的解集． 解：原不等式可化为：（i）或（ii）．由（i）得，；由（ii）得，， ∴原不等式的解集为或． 请你运用所学知识，结合上述材料回答下列问题： （1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式、不等式组的能力，将原不等式转化为两个不等式组是解题的关键． （1）将化为两个不等式组，①或②求解，即可解题； （2）化为两个不等式组，①或②求解，即可解题． 【小问1详解】 解：原不等式可化为：①或②． 由①得，无解；由②得，， ∴原不等式的解集为． 【小问2详解】 解：原不等式可化为：①或②． 由①得，； 由②得，； ∴原不等式的解集为或． 23. 已知：如图，在中，，直线为边的垂直平分线，以为边作等边三角形，与在直线的异侧，直线交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：． （2）求的度数． （3）证明：． 【答案】（1）见解析 （2）60° （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质及等腰三角形的性质可得出答案； （2）证出，由等边三角形的性质可得出答案； （3）在上截取，使，连接，求出，根据等边三角形的性质得出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，求出，，求出，根据推出，根据全等得出，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：为边的垂直平分线， ， 为等边三角形， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵直线垂直平分， ，， ， ， 即， ， ， ， ， 等边三角形中，， ． 【小问3详解】 证明：在上截取，使，连接，如图，     由（2）得：， ， 是等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $