第1讲 数学文化、跨学科融合-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

新课标中考宝典数学（广东专用版） 答：旗杆CD的高度约为13.4m; ③不能. 若使用含30°角的三角尺，可以把三角尺的30°角的顶点对 着眼晴，直角边在水平线上，视线沿着三角尺的斜边向上 看，然后向后退，直至退到60°角的顶点与点D重合即可停 下，即得到此时的仰角为30°，标记自己的位置，测量自己 的位置与点C的距离，即可通过解直角三角形进行计算； 如示意图如答图1. D G B C G C 答图1 答图2 若使用含45°角的三角尺，可以把三角尺的45°角的顶点对 着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角尺的斜边向上 看，然后向前走，直至走到另一个45°角的顶点与点D重合 即可停下，即得到此时的仰角为45°，标记自己的位置，测 量自己的位置与点C的距离，即可通过解直角三角形进行 计算，示意图如答图2. 2.解：(1)，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB ∴.∠BAC=∠ABC=45°， △CDE中，∠DCE=90°，∠E=30°，∴.∠CDE=60°， .∠AFD=∠CDE-∠A=60°-45°=15° 在Rt△ABC中，AC=AB·sin∠ABC=12X2 6√2(cm). 在Rt△CDE中，CD=CE·tanE=12x5 =43(cm), 3 ∴.AD=AC CD (6√2-4√3)cm; (2)①如答图，过点C作CG⊥DE,垂 足为G, .△CDG中，∠CGD=90°， ∠CDE=60°，CD=43cm, ∴.DG=CD·cos∠CDE=2√3cm, CG=CD·sin∠CDE=6cm. 答图 :△CGA中，∠CGA=90°，CA=6√2cm,CG=6cm. ∴.AG=√AC2-CG=6cm, ∴.AD=AG+DG=(6+2√3)cm: ②AB⊥DE,理由如下： .在Rt△CGA中，∠CGA=90°，AG=CG=6cm, ∴.∠CAG=∠ACG=45°， 又.∠BAC=45°， .∴.∠DAB=∠CAG+∠BAC=45°+45°=90°， .AB⊥DE. 第5讲课标新考向（项目式学习） 例1解：任务二：由题意得四边形BECD为矩形， .'BE=CD=1.4 m,CE=BD=42 m. 在R△AEC中，tanZACE-AR, ∴.AE≈CE·tan61°≈42X1.804≈76(m), .AB=AE+BE=76+1.4≈77(m). 答：该城市规划展览馆AB的高度为77m 任务三：19 例2解：(1)观察上述各点的分布规律，可判断y关于x的 函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为y=ax2十bx十c,将 (0,35),(1,56),(2,63)代人，得 c=35, a=-7, a十b十c=56,解得{b=28, 4a+2b+c=63,c=35, '.该二次函数的解析式为y=一7x2十28x十35； (2)当x=0时，y=35, .种子自然发芽率为35%，由表格可知当y=35时， x1=0,x2=4,当y=0时，-7x2+28x十35=0， 解得x1=一1（舍去），x2=5, .抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4<x≤5， 举一反三 1.解：任务1：如答图 y/毫升 35 30 25--}-}-+---- 20 15 10 0 1234567t7分钟 答图 任务2：由数据和所描点可知y=kt十b(k,b为常数)能正 确反映总水量y与时间t的函数关系. 点(1,10)和(2,15)都在此函数的图象上， ÷95解得信-5y-5+5 b=5, 任务3：(1)当y=65时，则5t+5=65,解得t=12, .当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟； (2)易知此水龙头1分钟浪费水5毫升， .照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费5×60= 300(毫升)水； (3)建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换， 专题十六全国视野题（含2小讲） 第1讲数学文化、跨学科融合 例题精讲 例1(1)√5-1 (2)解：，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，设 AB=2m,∴.∠B=90°，AB=BC=2m,BE=m, ∴.AE=√(2m)+m=√5m,'EB=EF=m, AF-AG-AE-EF=5m-m,AG-5 2 (3)证明：如答图，延长A AF,交BC的延长线于点 G,在正方形ABCD中， AB=BC=AD,∠B=90°， AD∥BC.,'点E为BC的 中点，.BC=2BE, .在Rt△ABE中，AE= 答图 √JAB+BE=√5BE. ,AF平分∠DAE,.∠DAF=∠EAF.,AD=BC, ∴∠G=∠DAF,∴∠EAF=∠G, .GE=AE=√5BE. .∠DAF=∠G,∠AFD=∠GFC, .△GFC∽△AFD, ÷%S-e腿-5 2 故点F为CD的黄金分割点 例2解：(1)一次 (2)设函数解析式为T=h十b, 代入a018.6)有a1,1s.得+18,6 架0信20 ∴.T与h之间的函数解析式为T=一0.6h十24.6； (3)代入h=17,则T=-0.6×17+24.6=14.4, .当日同一时刻海拔高度为1700米的气温为 14.4℃. 举一反三 4 1.B2.5 3.解：在Rt△ONQ中，∠NOQ=30°，ON=AB=7cm, ∴0Q=ON=7=145 cos30°3 3(cm). sin∠POM3 1 sinZNOQ-sin/NOQ= .'∠NOH=∠POM, ∴sim∠NOH=sa∠POM- 设NH=3xcm,OH=4xcm,则有(4x)2-(3x)2=7, 解得x=√7（负值已舍去）， ∴.OH=4√7cm, 0H-0Q=47-143 ≈10.68.07≈2.5(cm), 3 ∴.光线在玻璃体中经过折射后比在空气中传播短了约 2.5cm. 第2讲全国考查趋势 例题精讲 例1解：(1)(111)2(100)2(101)2 (2)①(111)2+(101)2=(1100)2； ②(1100)2=1×23+1×22+0×21+0×2°=8+4+ 0+0=12; (3)(2024),=2×53+0×52+2×51+4×5°=250+ 0+10+4=264, (2024)g=2×83+0×82+2×8+4×8°=1024+0 +16+4=1044, ∴.(2024)5+(2024)g=264+1044=1308 例2(1)解：“定点抛物线”y=x2一mx十2一k与x轴只 有一个公共点，且经过点（一1,0）， :儿中m+2-=0:解得m=-2, (m2-4(2-k)=0, k=1, ∴.y=x2+2x+1; (2)①证明：将x=一1代入y=mx2+nx一m十n,得y=0, ∴.(-1,0)在抛物线y=mx2十nx一m十n上. .该抛物线为“定点抛物线”； ②解：m<0,抛物线的开口向下 由①知抛物线经过点（一1,0）， ∴.当抛物线的顶点在（一1,0）处时，抛物线的顶点在最 低位置. .点(-1,0)在x轴上， .抛物线的对称轴为直线x=一1， .当x>-1时，y随x的增大而减小，当x<-1时， y随x的增大而增大. 抛物线上有两点(2，s),(k,t),且s<t, 参考苔宋 ∴.当点(k,t)在对称轴右侧时，则一1<k<2; 当点(k,t)在对称轴左侧时， s<t,,(k,t)离对称轴更近， 2生>银得一4区1； k<-1, 当点(k,t)在对称轴上时，则=一1. 综上，当s<t时，k的取值范围为一4<k<2, 例3(1)解：举例验证：当m=5,n=7时，q=mn=72-2X 7=35(答案不唯一，合理即可). 推理证明：设两个连续的正奇数为m=2k一1(k>0,k 为整数)和n=2k+1,则m<n, .'q=m=(2k-1)(2k+1)=(2k+1-2)(2k+1)= (2k+1)2-2(2k+1)=n2-2n, .两个连续的正奇数m和n的乘积g=较大数的平方 一较大数的2倍； (2)证明：设m=2k-1,n=2k+1(k>0,k为整数)， 则q+2n=4k2-1+2(2k+1)=4k2十4k+1 =(2k十1)2， 9-2m=4k”-1-2(2k-1)=4k8-4k十1 =(2k-1)2, ∴.p=√/(2k+1)7+√(2k-1)=2k+1+2k-1 =4k. 又k为整数， .p能被4整除， 举一反三 1.解：(1)2 (2)①.y=x2-2x-4=(x-1)2-5, 抛物线y=x2一2x一4的顶点坐标为(1，一5)，对称轴为 直线x=1. .当m=1时，n=一5， .图象G2的解析式为y=-(x-1)2-5(x<1). 当x≥1时，令x2-2x-4=x,解得x=4或-1（舍去）； 当x<1时，令-(x-1)2-5=x,方程无解。 ∴.当m=1时，图象G上平衡点的坐标为(4,4)： ②m=4或m=-1或m=4+√46 第三部分质量检测 -、1.B2.A3.D4.C5.C6.A7.A8.A9.C 10.D 二、11.(m+4)(m-4)12.(-1,-1)13.4π14.1（答 案不唯一) 15.2-W3 三、16.解：(1)3△(-4)=3×(-4)-3-(-4)+4=-12 一3十4+4=-7： (2)交换律在“△”运算中成立. 证明如下：：a△b=ab-a-b十4， bAa=ba-b-a+4=ab-a-b+4, .a△b=b△a,即交换律在“△”运算中成立. 17.证明：，AD∥BC,.∠ADO=∠CBO. I∠ADO=∠CBO, 在△AOD和△COB中，∠AOD=∠COB, OA-OC, .△AOD≌△COB(AAS), ∴.AD=CB.AD∥BC, '.四边形ABCD是平行四边形 18.解：(1)根据题意，得y1=0.8×200x=160x(x≥0，且x 为整数)，第二部分 专题突破 专题十六 全国视野题（含2小讲） 第1讲数学文化、跨学科融合 写方法解读 初中数学文化与跨学科融合类题目是近年来中考的热点题型，这类题目以数学文化（如数学史 传统数学成就、数学家故事等)或其他学科（如物理、语文、生物、艺术）为背景，考查学生对数学知识 的掌握，还强调对文字信息的解读、数学模型的转化能力，因此其解题关键在于“筛选信息、提取本 质、转化模型、规范求解，验证结果” !国例题精讲 例1黄金分割是一种最能给人以美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富 的美学价值，如图1，在设计人体雕像时，将雕像AB分为AC,CB上下两个部分如果G门 5-1(AC<CB),那么称点C为线段AB的黄金分割点. 2 (1)如图1，点C是线段AB的黄金分割点，如果雕像的 高为2m,那么下部CB的高度为 m; (2)如图2，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，连 接AE,以点E为圆心，BE为半径作弧，交AE于点 图 图2 F,以点A为圆心，AF为半径作弧，交AB于点G,求 侣利位： (3)如图3，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，连接AE,AF平分∠DAE交CD于点F,求证： 点F是线段CD的黄金分割点. 277 门新课标中考宝典·数学（广东专用版） 例2(2025·陕西渭南·二模)跨学科主题学习：“气温与海拔高度之间的关系”研究， 某学校数学社团开展了“气温与海拔高度之间的关系”为研究主题的跨学科活动.该社团分组到 附近山地进行实地测量，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数据记 录如下表： 海拔高度h/百米 10 11 12 13 14 15 气温T/℃ 18.6 18.0 17.4 16.8 16.2 15.6 根据表格中的测量数据，完成下面3个问题： (1)观察表格可知气温T与海拔高度h符合初中学习过的某种函数关系，则可能是 填 “一次”“二次”或“反比例”)函数关系； (2)根据(1)中得到的函数关系，求T与h之间的函数解析式； (3)由(2)的函数解析式，求当日同一时刻海拔高度为1700米的气温. 目举一反三 1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要另正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别 叫做正数与负数.若向东走10m记作+10m,则-7m表示 A.向南走7m B.向西走7m C.向东走7m D.向北走7m 2.国际数学大会是全世界数学家的大聚会.如图是某次大会的会徽，选定的是我国古代数 学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，充分肯定了我国在数学方面的成就，也弘扬了我国 古代的数学文化.如图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个 大正方形，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形中较小的锐角 为0，那么cos0的值等于 278 第二部分 专题突破 3.（2025·平顶山·二模)材料阅读：如图1，光从一种介质斜着射向另一种介质时，一部分光进入第 二种介质的现象，叫光的折射.我们把入射角α的正弦与折射角B的正弦之比，叫这种介质的折射 sina 39 率，即n= sinβl 已知光线从空气中进人玻璃时的折射率范围为2了 法线 种介质 另一种 介质 图1 图2 问题解答： 3 如图2，矩形ABCD为一块折射率为的长方体玻璃（以下简称“玻璃体”）截面图，一束光线从点P 射向玻璃体上O点，折射后照到玻璃体底部的Q点，MN为法线，测得∠NOQ=30°，玻璃体的厚度 AB为7cm.若点P,0,H在同一条直线上，请依据相关材料求光线在玻璃体中经过折射后比在空气 中传播短了多少（结果精确到0.1cm.参考数据：√3≈1.73，√7≈2.65） 279