第4讲 综合与实践(全国视野)-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

新课标中考宝典·数学（广东专用版） 第4讲 综合与实践（全国视野） 方法解读 2025年全国中考“综合与实践”类题目在核心素养导向下，呈现鲜明的跨学科性、情境真实性和思维 高阶化趋势.试题多源于真实场景（如社区治理、科学实验、传统文化等），要求将知识迁移至实际问 题.跨学科融合，强调能力整合，突出探究过程，开放答案设计，注重活动经验的积累.学生要注重数学 阅读，提升数学抽象水平，会将题干中描述的信息准确地转化为数学语言，从而将现实问题抽象为数 学问题， !g例题精讲 例1(2025·吉林)【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关. 实验过程：如图1，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相 同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A,B的下方，从离桌面20cm的高 度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化 (溢水杯的杯底厚度忽略不计) 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关.物 体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大， 总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力=G重力； 当小铝块浸入液面后，F拉力=G重力-F浮力 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A,B各自的示数F拉力(N)与小铝 块各自下降的高度x(cm)之间的关系如图2所示 F拉N 弹簧测力计A的示数 弹簧测力计B的示数 20 20cm 乙 6 10 20 x/cm 图1 图2 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数； (2)当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式； (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m(N),若使 乙液体中的小铝块所受的浮力也为m(N),则乙液体中小铝块浸入的深度为n(cm),直接写 出m,n的值 270 第二部分 专题突破 例2(2025·山西)综合与实践 【问题情境】青蛙腾空阶段的运动路线（如图1）可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生 物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人（如图2），其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙 腾空阶段的运动路线相吻合。 【实验数据】仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面 60cm,起跳，点与落地点的距离为160cm. 【数学建模】如图3，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为V,对称轴为直线，仿 青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点 O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 青蛙的运动路线 仿真青蛙机器人0 x/cm 图1 图2 图3 图。 (1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数解析式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变， (2)如图1，若仿青蛙机器人（如图2）从点0正上方的点P处起跳，落地点为Q,点P的坐标为 (0,75),点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； (3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离 不少于3cm,才能安全通过.如图4，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD, 其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm.仿青蛙机器人从距离AB左 侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台， 仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的 大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内). 271 00 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 写举一反三 1.(2024·新疆)数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实 践活动： (1)【准备测量工具】 图1 ①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个 简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角； ②皮尺. (2)【实地测量数据】 ①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）； ②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为16.8m,眼睛到地面的距离为1.6m. (3)【计算旗杆高度】 ①根据图3中测角仪的读数，得出仰角α的度数为 ②根据测量数据，画出示意图4，AB=1.6m,BC=16.8m,求旗杆CD的高度（精确到0.1m参考数据： sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)； ③若测量者仍站在原处(B点)，能否用三角尺替代测角仪测出仰角？若能，请写出测量方法： 若不能，该如何调整位置才能用三角尺测出仰角α，请写出测量方法 4a a 读数为559 图2 图3 图4 272 第二部分 专题突破 2.(2025·苏州)综合与实践 小明同学用一副三角尺进行自主探究.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,△CDE中，∠DCE=90° ∠E=30°，AB=CE=12cm. 【观察感知】 (1)如图1，将这副三角尺的直角顶点和两条直角边分别重合，AB DE交于点F,求∠AFD的度数和线段AD的长（结果保留根 号) 图2 【探索发现】 (2)在图1的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A 落在边DE上（如图2）. ①求线段AD的长（结果保留根号）； ②判断AB与DE的位置关系，并说明理由 273(2)如答图，延长FG交AB 于点H,则BE=FH,EF =BH=1.6米. 由题意知PD∥AC, F219 H ∴.∠ACB=∠PDC, 77777 77777 E ∴.tan∠ACB=tan∠PDC, 答图 记器脚说2 BC-2-4 设BC=4x米，则AB=5x米， ∴.AH=AB-BH=(5x-1.6)米，FH=BE=CE+BC =(13+4x)米. AH 在Rt△AFH中，tan∠AFH= FH' 0.38≈5x1.6 13+4x,解得x≈1.88，AB≈9.4米 答：这棵大树的高度AB约为9.4米. 第3讲跨学科综合与实践 例题精讲 例1解：(1)F=k·w·0,k=F=24 w·元4X5=1.2, 当F=48N时，48=1.2×5·w,解得旋转角速度0 =8 rad/s; (2)①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为 F=k·w·=1.2×10×5=60(N)<100(N), .现有装置不能产生100N的推力； ②.k=0.5A=0.5X2πr·h=3XrXh, .1.2=3×0.5×h, 解得圆柱体的高h=0.8m, 在最高旋转角速度下，当F=100N时，k三0Xg=2. 又k′=0.5×2πr’·h,.2=2.4r',解得r'≈0.83m ∴.当圆柱体半径变为约0.83m时，可以使得装置在最 高旋转角速度下能产生100N的推力. 例2解：(1)对于场景A:将(0,21)，(10,16)代入y=-0.04x 十bx十c中， 得仁0,04X10+106+c=16解得=0.1， c=21, c=21, 场景A对应的函数解析式为y=-0.04x2-0.1x +21. 场景B:将(0,21)，(10,11)代入y=ax+c中，得 !10a+c=1,解得=21， c=21, a=-1, ∴.场景B对应的函数解析式为y=一x十21； (2)场景A:当y=3时，由-0.04x2-0.1x十21=3， 得工，=20，x4=-名（舍去）. 45 场景B:当y=3时，由一x十21=3，得x=18 ,20>18,.该化学试剂在场景A下发挥作用的时间 更长 举一反三 1.解：(1) 售价/（元/盆）1820222630 日销售量/盆5450463830 (2)观察表格可知日销售量是售价的一次函数 设日销售量为y盆时，售价为x元/盆，y=kx十b,把(18： 54),(20,50)代人，得 十8的解号合02”-2红+0： (3)①每天获得400元的利润，∴.(x一15)（一2x十90）= 参考苔宋 400,解得x=25或x=35, ∴.要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元； ②设每天获得的利润为元， 根据题意，得=(x一15)（一2x+90)=-2x2+120x- 1350= -2(x-30)2+450. ,一2<0，.当x=30时，0取最大值450， ∴.售价定为30元/盆时，每天能够获得最大利润450元. 2.解：(1)，GH⊥CE,EF的长为4米，∠CFG=60.3°， 'tanCFE=tan60.3-EF CE ≈1.75，CE≈7米. ,∠BFG=45°，.BE=EF=4米， ∴.CB=CE-BE=3米； (2)过点A作AM⊥GH于点M, 如答图所示. ∠AFG=21.8°， :'.tanAFG-tan21.8-MF AM ≈0.4. :AM≈BE=4米，MF≈10米，GME若H .AB=ME=10-4=6(米)， 答图 ∴.底座的底面ABCD的面积约为3×6=18（平方米）. 第4讲综合与实践（全国视野） 例题精讲 例1解：(1)由图2可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力 计A的示数为2.8N,弹簧测力计B的示数为2.5N; (2)设当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉方A关于 x的函数解析式为F拉力A=1x十b:, 分别将(6,4)，(10,2.8)代入F拉A=1x十b1,得 16k1+b1=4,。解得61=5.8 k1=-0.3, 10k1+b1=2.8, .F拉为A=-0.3x十5.8(6≤x≤10)， (3)m=0.6,n=1.6. 例2解：(1)由题意，得抛物线的对称轴为直线x=80,顶点 纵坐标为60，.顶点坐标为(80,60) 设抛物线的函数解析式为y=a(x一80)2+60. ,抛物线过原点，a(0一80)2十60=0， 3 3 解得a=-320y=一320x-80)2+60: (2)抛物线的形状不变， 故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平 移75个单位长度得到的， 3 新的抛物线的解析式为y=一320(x一80)+60+ 75= 品0-80r+135. 3 当y=0时，320(x-80)2+135=0,解得x1=200, x2=一40（舍去）. 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为 200cm; (3)该平台的高度为6cm. 举一反三 1.解：(3)①35 ②由题意，得CE=AB=1.6m,AE=BC=16.8m, ∠AED=90°， 在Rt△EDA中，tan∠DAE=tan35°-DE, AE 0.7≈168DE≈11.76m, ∴.CD=DE+CE=11.76+1.6≈13.4(m), 新课标中考宝典数学（广东专用版） 答：旗杆CD的高度约为13.4m; ③不能. 若使用含30°角的三角尺，可以把三角尺的30°角的顶点对 着眼晴，直角边在水平线上，视线沿着三角尺的斜边向上 看，然后向后退，直至退到60°角的顶点与点D重合即可停 下，即得到此时的仰角为30°，标记自己的位置，测量自己 的位置与点C的距离，即可通过解直角三角形进行计算； 如示意图如答图1. D G B C G C 答图1 答图2 若使用含45°角的三角尺，可以把三角尺的45°角的顶点对 着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角尺的斜边向上 看，然后向前走，直至走到另一个45°角的顶点与点D重合 即可停下，即得到此时的仰角为45°，标记自己的位置，测 量自己的位置与点C的距离，即可通过解直角三角形进行 计算，示意图如答图2. 2.解：(1)，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB ∴.∠BAC=∠ABC=45°， △CDE中，∠DCE=90°，∠E=30°，∴.∠CDE=60°， .∠AFD=∠CDE-∠A=60°-45°=15° 在Rt△ABC中，AC=AB·sin∠ABC=12X2 6√2(cm). 在Rt△CDE中，CD=CE·tanE=12x5 =43(cm), 3 ∴.AD=AC CD (6√2-4√3)cm; (2)①如答图，过点C作CG⊥DE,垂 足为G, .△CDG中，∠CGD=90°， ∠CDE=60°，CD=43cm, ∴.DG=CD·cos∠CDE=2√3cm, CG=CD·sin∠CDE=6cm. 答图 :△CGA中，∠CGA=90°，CA=6√2cm,CG=6cm. ∴.AG=√AC2-CG=6cm, ∴.AD=AG+DG=(6+2√3)cm: ②AB⊥DE,理由如下： .在Rt△CGA中，∠CGA=90°，AG=CG=6cm, ∴.∠CAG=∠ACG=45°， 又.∠BAC=45°， .∴.∠DAB=∠CAG+∠BAC=45°+45°=90°， .AB⊥DE. 第5讲课标新考向（项目式学习） 例1解：任务二：由题意得四边形BECD为矩形， .'BE=CD=1.4 m,CE=BD=42 m. 在R△AEC中，tanZACE-AR, ∴.AE≈CE·tan61°≈42X1.804≈76(m), .AB=AE+BE=76+1.4≈77(m). 答：该城市规划展览馆AB的高度为77m 任务三：19 例2解：(1)观察上述各点的分布规律，可判断y关于x的 函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为y=ax2十bx十c,将 (0,35),(1,56),(2,63)代人，得 c=35, a=-7, a十b十c=56,解得{b=28, 4a+2b+c=63,c=35, '.该二次函数的解析式为y=一7x2十28x十35； (2)当x=0时，y=35, .种子自然发芽率为35%，由表格可知当y=35时， x1=0,x2=4,当y=0时，-7x2+28x十35=0， 解得x1=一1（舍去），x2=5, .抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4<x≤5， 举一反三 1.解：任务1：如答图 y/毫升 35 30 25--}-}-+---- 20 15 10 0 1234567t7分钟 答图 任务2：由数据和所描点可知y=kt十b(k,b为常数)能正 确反映总水量y与时间t的函数关系. 点(1,10)和(2,15)都在此函数的图象上， ÷95解得信-5y-5+5 b=5, 任务3：(1)当y=65时，则5t+5=65,解得t=12, .当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟； (2)易知此水龙头1分钟浪费水5毫升， .照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费5×60= 300(毫升)水； (3)建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换， 专题十六全国视野题（含2小讲） 第1讲数学文化、跨学科融合 例题精讲 例1(1)√5-1 (2)解：，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，设 AB=2m,∴.∠B=90°，AB=BC=2m,BE=m, ∴.AE=√(2m)+m=√5m,'EB=EF=m, AF-AG-AE-EF=5m-m,AG-5 2 (3)证明：如答图，延长A AF,交BC的延长线于点 G,在正方形ABCD中， AB=BC=AD,∠B=90°， AD∥BC.,'点E为BC的 中点，.BC=2BE, .在Rt△ABE中，AE= 答图 √JAB+BE=√5BE. ,AF平分∠DAE,.∠DAF=∠EAF.,AD=BC, ∴∠G=∠DAF,∴∠EAF=∠G, .GE=AE=√5BE. .∠DAF=∠G,∠AFD=∠GFC, .△GFC∽△AFD, ÷%S-e腿-5 2 故点F为CD的黄金分割点