第10讲 抛物线与平移、翻折、旋转-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

第二部分 专题突破 第10讲抛物线与平移、翻折、旋转 例1 写方法解读 解决抛物线与平移、翻折、旋转的问题，关键是要抓住图形变化中的特殊点（如顶，点）的坐标变化，以及二次 项系数的符号变化等，求出变化后的二次函数解析式，再结合条件及图形结构进行其他问题的解决 g例题精讲 例1已知抛物线C1:y=-x2+2ax+3a(a≠0)与x轴交于 A(-1,0),B两点（点A位于点B左侧），与y轴交于点C. (1)求直线BC的解析式； (2)将抛物线C1进行平移得到抛物线C2,抛物线C2的顶 点为P(m,). 图1 图2 ①如图1，若点P(m,n)是抛物线C1的对称轴1与直 线BC的交点，求抛物线C2的解析式； ②如图2，若点P(m,n)为直线BC上方抛物线C1上任意一点，抛物线C2与y轴交于点M, 作PQLx轴交BC于点Q,若PQ=2CM,求m的值. 255 了新课标中考宝典·数学（广东专用版〉 写举一反三 1.(2025·苏州·二模)定义：对于抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，若2b2+ac=0,则称该抛 物线是准黄金抛物线。如图，已知抛物线T1:y=x2-x+k是准黄金抛物线，交x轴于A,B两点. (1)求抛物线T的函数解析式及点A,B的坐标； (2)将抛物线T,沿x轴翻折，得到抛物线T2· ①抛物线T2(填“是”或“不是”)准黄金抛物线； ②当y≥0时，记抛物线T1,T2组成的新图象为“图象W”,图象W交y轴于点C.P为x轴正半 轴上一动点，过点P作PMy轴交直线BC于点M,交图象W于点N,是否存在这样的点P, 使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明 理由。 256 第二部分 专题突破 2.(2025·赣州·二模)已知抛物线C1:y=x2+bx+c(x≥0)与y轴交于点M.其中自变量x与函数y的 部分对应值如下表： 2 3 5 … 0 m 0 3 8 (1)①抛物线C1的对称轴为直线x= ,点M的坐标为 ②求抛物线C1的解析式及m的值； (2)如图，将抛物线C,绕点M旋转180°后，得到抛物线C2 ①抛物线C2的解析式为 ②记抛物线C,C2组合得到的新图象为S,图象S与过点M的直线y=x+n(k≠0)有且仅有 个交点，请求出k的取值范围。 257如答图，△EBF绕点B顺时针旋转a(0°<a<90°)得到 △EBF', ∴.∠ABE'=∠DBF',BE'=BE,BF'=BF, =3, .△ABE'p△DBF DE'BD 8E盼-原，即DF-5AE8S-9 第10讲抛物线与平移、翻折、旋转 例题精讲 例1解：(1)，抛物线C1:y=-x2十2ax十3a(a≠0)经过 点A(-1,0), ∴.一1一2a十3a=0,解得a=1,即抛物线C1:y=一x2十 2x十3，.C(0,3),令一x2+2x十3=0，解得x1=一1，x2 =3,即B(3,0),设直线BC的解析式为y=x十3， ∴.3k十3=0，解得k=一1， .直线BC的解析式为y=一x十3； (2)①抛物线C1:y=-x2+2x十3=-(x-1)2十4， .其对称轴l为直线x=1,把x=1代入y=一x十3， 得y=一1十3=2，即点P(1,2),.抛物线C2的解析 式为y=-(x一1)2+2； ②.点P(m,n)在抛物线C1上，∴.n=一m2十2n十3. 点P(m,n)为抛物线C的顶点，抛物线C的解析 式为y=-(x-m)2+n=-x2十2mx-2m2+2m+3, ∴.点M的坐标为(0，一2m2+2m十3). 把x=m代人y=-x+3,得y=一m十3， .Q(m,-m+3). ,点P为直线BC上方抛物线C1上任意一点，∴.0< m<3. .PQ=yp-ya=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m. .CM=-2m2+2m+3-3=-2m2+2m, ∴.分以下3种情况： 0 答图1 答图2 当m=1时，点M与点C重合，PQ=2CM不成立；当 0<m<1时，如答图1，点M在点C的上方，CM=yM -yc=-2m2+2m,PQ=2CM,-m2+3m=2 (-2m2+2m),解得m1=0(舍去)，m:=3; 当1<m<3时，如答图2，点M在点C的下方，CM= yc-yM =2m2-2m,PQ=2CM,-m2+3m= 2(2m2-2m), 7 解得m=0(舍去)，m4=5’ m的值为了或好 .7 举一反三 1.解：(1)对于抛物线T1:y=x2一x十k,其中a=1,b=一1， c=k, 抛物线T1是准黄金抛物线，根据定义2b2十ac=0,将a =1,b=-1,c=k,代入可得2×（一1）2+1×k=0,即2十 k=0,解得=一2，.抛物线T1的函数解析式为 y=x2-x-2.令y=0,即x2-x-2=0,解得x1=2,x2 =-1,.A(-1,0),B(2,0); 参考苔宋 (2)①是②存在.如答图1，易知图象 w的对称轴为直线x= 当CN∥OB且点P在线段OB上时， △OBCp△NCM,此时N与C关于直 0 1 线x=2对称， 答图1 点N的横坐标为1，P(1,0); 如答图2，当CN∥OB,且点P在线段 OB延长线上时，△OBC∽△NCM,又 由(1)知C(0,2), .此时点N的纵坐标为2. 由x2-x-2=2,解得x,=1+7 B 2 1-7(舍)， 答图2 x2= 2 ·点N的横坐标为+7 2 亚o: 如答图3，当∠NCM=90°时，△OBC∽ △CNM,易知直线BC的解析式为y= -x+2. ∴此时直线CN的解析式为y=x十2， 联立方程组p=x十2， 答图3 y=x2-x-2, 解得x1=1+√5，x2=1一√5（舍）， ∴点N的横坐标为1十√5，.P(1十5,0). 综上所述，点P的坐标为(1,0)或 (+亚.o)1+5o 2.解：(1)①2(0,3) （1)②由表格可知，抛物线C1的解析式为y=(x一1)(x一 3)=x2-4x十3， 把(2，m)代入y=x2-4x+3,得4-4×2十3=m,解得 m=-1; (2)①y=-(x十2)2+7(x≤0) ②，直线y=kx+n经过点M(0,3), ∴.n=3,即直线为y=x十3， 当过点M的直线y=kx十n与C,有且仅有一个交点时， 令x2一4x+3=kx十3，即x2-(4十k)x=0, ∴.△=「-(4十k)72一4X1×0=0,解得k=一4. 当过点M的直线y=kx十n与C?有且仅有一个交点时， 令-(x十2)2+7=kx十3，即x2+(4十k)x=0, ∴.△=(4+k)2一4×1X0=0,解得k=一4. 又：当k<一4时，直线y=kx十n无限靠近y轴，与图象 S有且仅有一个交点， 故图象S与过点M的直线y=kx十n有且仅有一个交点 时，k的取值范围是k≤一4. 专题十五综合与实践（含5小讲）》 第1讲真题中的综合与实践 例题精讲 例1解：(1)能. 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为n°，根据题意，得 n,7=7元，解得n=180, 180 ',将圆形滤纸按题图中步骤对折，将其中一层撑开，围 成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； (2)设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为rcm,高为 h cm,