第1讲 真题中的综合与实践-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

0 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 专题十五 综合与实践（含5小讲） 第1讲真题中的综合与实践 国模型分析 :1.提出问题：从实际情境或真实问题中提出问题. 2设计方案：借助数学与其他学科的知识和思想方法，从数学角度观察分析与思考，设计研究方案，列 出设计步骤 3.解决问题：将现实问题抽象为数学问题，再进一步分析和解决问题， 例题精讲 例1(2024·广东)综合与实践 7 cm 【主题】滤纸与漏斗. 【素材】如图1所示： ←-10cm之 ①一张直径为10cm的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线长均为7cm的圆锥形过滤漏斗. 【实践操作】 图1 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中， 7 图2 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明； (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形体积（结果保留π）. 258 第二部分 专题突破 例2(2025·广东)综合与实践 【阅读材料】如图1，在锐角三角形ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b, c,则有a三b 这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题， sinA sinB sinC' 图1 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与 实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A,B两岛间 的实际距离（如图2）.由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对 这一问题进行了探究， 图2 【方案设计】工具：如图3，测角仪、测距仪、无人机（只 能测角度、水平面高度) 测量过程： 测角仪 测距仪 无人机 步骤1：如图4，在空旷地找一点C； 图3 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m,AC≈388.5m. 【问题解决】 (1)请你利用【阅读材料】中的结论计算A,B两岛间的距离； (参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998)； 图4 【评价反思】 (2)设计其他方案计算A,B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和 所用的数学知识 259 0加 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 写举一反三 1.(2023·广东)综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板， 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正 方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒 猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠AB,C1的大小关系； (2)证明(1)中你发现的结论： 图1 图2 260 第二部分 专题突破 2.(2025·深圳)综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时 间、安检通道数之间的关系 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开通9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人， 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x分钟之间 满足解析式：y=-x2+60x+100(0≤x≤30) 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道时，安检时间为x分钟时，已入场人数为 ,排队人数w与安检时间 x的函数解析式为 【模型应用】 (2)在(1)条件下，排队人数在第几分钟达到最大值？最大人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道？请说明理由 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更 黑点表示观众、 安检●●●●● 多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型 ● 舞 ,安检。●●●● 的准确性和实用性， 台 ● 安检●●·●0 通道未开放 261如答图，△EBF绕点B顺时针旋转a(0°<a<90°)得到 △EBF', ∴.∠ABE'=∠DBF',BE'=BE,BF'=BF, =3, .△ABE'p△DBF DE'BD 8E盼-原，即DF-5AE8S-9 第10讲抛物线与平移、翻折、旋转 例题精讲 例1解：(1)，抛物线C1:y=-x2十2ax十3a(a≠0)经过 点A(-1,0), ∴.一1一2a十3a=0,解得a=1,即抛物线C1:y=一x2十 2x十3，.C(0,3),令一x2+2x十3=0，解得x1=一1，x2 =3,即B(3,0),设直线BC的解析式为y=x十3， ∴.3k十3=0，解得k=一1， .直线BC的解析式为y=一x十3； (2)①抛物线C1:y=-x2+2x十3=-(x-1)2十4， .其对称轴l为直线x=1,把x=1代入y=一x十3， 得y=一1十3=2，即点P(1,2),.抛物线C2的解析 式为y=-(x一1)2+2； ②.点P(m,n)在抛物线C1上，∴.n=一m2十2n十3. 点P(m,n)为抛物线C的顶点，抛物线C的解析 式为y=-(x-m)2+n=-x2十2mx-2m2+2m+3, ∴.点M的坐标为(0，一2m2+2m十3). 把x=m代人y=-x+3,得y=一m十3， .Q(m,-m+3). ,点P为直线BC上方抛物线C1上任意一点，∴.0< m<3. .PQ=yp-ya=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m. .CM=-2m2+2m+3-3=-2m2+2m, ∴.分以下3种情况： 0 答图1 答图2 当m=1时，点M与点C重合，PQ=2CM不成立；当 0<m<1时，如答图1，点M在点C的上方，CM=yM -yc=-2m2+2m,PQ=2CM,-m2+3m=2 (-2m2+2m),解得m1=0(舍去)，m:=3; 当1<m<3时，如答图2，点M在点C的下方，CM= yc-yM =2m2-2m,PQ=2CM,-m2+3m= 2(2m2-2m), 7 解得m=0(舍去)，m4=5’ m的值为了或好 .7 举一反三 1.解：(1)对于抛物线T1:y=x2一x十k,其中a=1,b=一1， c=k, 抛物线T1是准黄金抛物线，根据定义2b2十ac=0,将a =1,b=-1,c=k,代入可得2×（一1）2+1×k=0,即2十 k=0,解得=一2，.抛物线T1的函数解析式为 y=x2-x-2.令y=0,即x2-x-2=0,解得x1=2,x2 =-1,.A(-1,0),B(2,0); 参考苔宋 (2)①是②存在.如答图1，易知图象 w的对称轴为直线x= 当CN∥OB且点P在线段OB上时， △OBCp△NCM,此时N与C关于直 0 1 线x=2对称， 答图1 点N的横坐标为1，P(1,0); 如答图2，当CN∥OB,且点P在线段 OB延长线上时，△OBC∽△NCM,又 由(1)知C(0,2), .此时点N的纵坐标为2. 由x2-x-2=2,解得x,=1+7 B 2 1-7(舍)， 答图2 x2= 2 ·点N的横坐标为+7 2 亚o: 如答图3，当∠NCM=90°时，△OBC∽ △CNM,易知直线BC的解析式为y= -x+2. ∴此时直线CN的解析式为y=x十2， 联立方程组p=x十2， 答图3 y=x2-x-2, 解得x1=1+√5，x2=1一√5（舍）， ∴点N的横坐标为1十√5，.P(1十5,0). 综上所述，点P的坐标为(1,0)或 (+亚.o)1+5o 2.解：(1)①2(0,3) （1)②由表格可知，抛物线C1的解析式为y=(x一1)(x一 3)=x2-4x十3， 把(2，m)代入y=x2-4x+3,得4-4×2十3=m,解得 m=-1; (2)①y=-(x十2)2+7(x≤0) ②，直线y=kx+n经过点M(0,3), ∴.n=3,即直线为y=x十3， 当过点M的直线y=kx十n与C,有且仅有一个交点时， 令x2一4x+3=kx十3，即x2-(4十k)x=0, ∴.△=「-(4十k)72一4X1×0=0,解得k=一4. 当过点M的直线y=kx十n与C?有且仅有一个交点时， 令-(x十2)2+7=kx十3，即x2+(4十k)x=0, ∴.△=(4+k)2一4×1X0=0,解得k=一4. 又：当k<一4时，直线y=kx十n无限靠近y轴，与图象 S有且仅有一个交点， 故图象S与过点M的直线y=kx十n有且仅有一个交点 时，k的取值范围是k≤一4. 专题十五综合与实践（含5小讲）》 第1讲真题中的综合与实践 例题精讲 例1解：(1)能. 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为n°，根据题意，得 n,7=7元，解得n=180, 180 ',将圆形滤纸按题图中步骤对折，将其中一层撑开，围 成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； (2)设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为rcm,高为 h cm, 新课标中考宝典数学（广东专用版） 根据题意，得2π， 180X5,解得=， 180 a=6-(-85。 圆锥形体积为h=×（侵）广×后 票scm》 例2解：(1)：∠A≈43°，∠B≈51°，.∠C=180°-∠A ∠B≈180°-43°-51°=86°， BC AB 由题意，得AsnC又：B≈341m, AB=BCsinc_BCsin86°341×0.998 sinA sin43° 0.682 499(m). 答：A,B两岛间的距离约为499m; (2)工具：测角仪、测距仪、无人A 机（只能测角度、水平面高度） 测量过程：步骤1：如答图1，在 空旷地找一点C,使得△ABC 是锐角三角形； 答图1 步骤2：利用无人机多次测量 并取平均值测得∠C的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC=am, AC=6 m. 计算过程： 如答图2，过点A作AD⊥BC,A 则∠ADC=∠ADB=90°. :在Ri△ACD中，inC=AD AC CD cosC= AC' 答图2 .∴.AD=bsinC,CD=bcosC， ..BD=BC-CD=(a-bcosC)m. .在Rt△ACD中，AD2+BD2=AB2, ∴.AB=√(bsinC)2+(a-bcosC)'m. 答：A,B两岛间的距离为√/(bsinC)2十(a-bcosC)zm 举一反三 1.解：(1)∠ABC=∠A1B1C1; (2)A1B1为正方形对角线，∠A1B1C=45°， 设每个方格的边长为1，连接AC, 则AB=√+3=√10，AC=BC=+2=5. .AC2+BC2=AB2 ∴，由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形， .∠ABC=45°， .∠ABC=∠A1B,C1. 2.解：(1)18xw=-x2+42x+100 (2)=-x2+42x+100=-(x-21)2+541, ∴.当x=21时，0ax=541. 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541； (3)设开了m条通道，则w=y-6mx=一x2+60x+100 -6mx=-x2+6(10-m)x+100 ∴，抛物线对称轴为直线x=3(10一m). :排队人数10分钟（包括10分钟）内减少， 0≤3(10-m)≤10，即3≤m≤10 又：最多开道9条安枪通道，≤m<9, .m为正整数，.m的最小值为7， .最少开通7条通道 第2讲教材中的综合与实践 例题精讲 例1解：(1)510(2)(1110)2 (3)由题意，得2n2+6n+5=145, 解得n=7或n=一10（舍去）. 故n=7. 例2解：(1)如答图所示； (2)根据(1)可知y与x Ay/m 之间满足二次函数关系，70- 设y与x的解析式为：60 y=ax2十bx,其图象50-- 经 过 点40 (30,7.8),(60,19.2), 30----月 20 10 900a+30b=7.8, 0306090120150xkm/h) l3600a+60b=19.2, 答图 a= 5001 解得 1 b=5 六这个函数的解析式为y=0:+ 5x(0≤x≤ 150); (3)当y=40时，40=动2+行，整理得2+10x- 1 20000=0,解得x1=100,x2=-200(不合题意，舍去). 答：制动距离约为40m时该款汽车开始刹车时的速度 约为100km/h; 1 (④)有碰撞危险，理由如下：当x=50时，)一500×50 +号×0=1 5 ”制动非安全距离为0.2×50×18+15≈2(m)>≥15m, ∴有碰撞危险 举一反三 1.（1)证明：四边形ABCD是正方形， .BC=CD,∠BCP=∠DCE=90. ,BP=DE,∴.Rt△BCP≌Rt△DCE(HL)..CP=CE 又四边形PCEF是矩形，∴.矩形PCEF是正方形； (2)当点P是CD的中点时，AP=DE. 证明：如答图，连接AP. 四边形ABCD是正方形， ∴.AD=BC,∠ADP=∠BCP =90°. 点P是CD的中点，∴CP=DP, .△ADP≌△BCP(SAS). 答图 由(1)知Rt△BCP≌Rt△DCE, .△ADP≌△DCE,∴.AP=DE; (3)BP=DE,BP⊥DE. 证明：，四边形ABCD,四边形PCEF都是正方形， .BC=DC,CP=CE,∠BCD=∠PCE=90°， .∠BCD+∠DCP=∠PCE+∠DCP,∴.∠BCP=∠DCE, .△BCP≌△DCE(SAS),.BP=DE,∠PBC =∠EDC. .·∠PBC+∠BGC=90°，∠BGC=∠DGO, .∠EDC+∠DGO=90°， .∠DOG=90°，.BP⊥DE 2.解：(1)如答图，点D即为所求；