第7讲 二次函数与角-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

第二部分 专题突破 第7讲二次函数与角 写方法解读 对于二次函数与角的问题，通常构造相似三角形，利用等角的同名三角函数值相等构造直角三角形、 平行线等解决问题.二次函数中的角的问题比较灵活，在遇到具体问题时结合已知条件，观察已有图 形结构，合理添加辅助线再构图形解决问题 g例题精讲 例1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A(-1,0)和 点B,与y轴交于点C.M是第一象限抛物线上的点，且满足∠MAB=∠ACO, 求点M的横坐标. 国举一反三 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2-3x+4的图象与x轴交于A,B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,作直线AC.D为直线AC上方抛物线上 的一个动点，横坐标为m,过点D作DF⊥x轴于点F,交直线AC于点E.当 ∠ACD=2∠BAC时，求点D的坐标 249 00 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 2.(2024·束庄·一模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2 ++2与x轴交于两点20，B(点A在点B左边)，交y轴于 点C,点P3,)是抛物线上一点 (1)求抛物线的解析式； 图1 图2 (2)如图2，抛物线上是否存在点Q,使∠QCP=45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明 理由 250、1 <0，心抛物线有最高点， 六当m=3时，y=2m十3-(m+1 4 一有最大值，此时原抛 物线的顶点坐标为(2,5)； (3)E(-1,-1),F(3,7) 设直线EF的解析式为y=kx十b,把点E,F的坐标代人， 得6+6-1，解得®=2， 3k+b=7, b=1, .直线EF的解析式为y=2x十1.将y=2x+1代入y= x2-(m+1)x+2m+3,得x2-(m+1)x+2m+3=2x +1,整理，得x2一(m十3)x十2m+2=0, 解得x1=2,x2=m十1，则抛物线与直线EF的交点为(2， 5)和(m十1,2m十3)，而(2,5)在线段EF上， .若该抛物线与线段EF只有一个交点， 则(m十1,2m+3)不在线段EF上，或(2,5)与(m十1,2m 十3)重合， ①若(2,5)与(m+1,2m+3)重合，则m+1=2且2m+3 =5,.m=1; ②若(m+1,2m十3)不在线段EF上，则m+1<一1或m +1>3, 六此时范物线顶点横坐标A-”士<一2或xa 1 2 m+1、3 2 或x=”+ =1. 2 第7讲二次函数与角 例题精讲 例1解：如答图，过点M作MH⊥AB于点H. 令x=0,则y=3,.C(0,3). .·∠MAB=∠ACO, yA ∠AHM=∠COA=90°， ∴.△AHMn△COA, OA MH 1 M ∴OC-AH3 A A B 设M(t,-t2+2t+3)(t>0), /0 则MH=-t2+2t+3,AH =t+1, 答图 .t+1=3(-t2+2t+3),整理，得3t2一5t-8=0,解 得=-1（会），4=号点M的模坐标为号 8 举一反三 1.解：对于二次函数y=一x2一3x+4,当y=0时，一x2一 3x十4=0， 解得x=-4或x=1,.A(-4,0),B(1,0) 当x=0时，y=4, .C(0,4),则直线AC的函数解析式为y=x十4. 如答图，过点C作CG⊥DF于 点G, 则四边形OCGF是矩形， .GF=OC=4,CG∥AB .∠ACG=∠BAC. .∠ACD=2∠BAC .∠ACG=∠DCG, 0 B .90°-∠ACG=90°-∠DCG, 即∠CED=∠CDE,∴.CD= 答图 CE.又，CG⊥DF,.DG=EG ,D为直线AC上方抛物线上的一个动点，横坐标为m, DF⊥x轴于点F, ∴.-4<m<0,E(m,m+4),.EF=m+4, 2 参考苔宋 ..DG=EG=GF-EF=-m, ..DF=DG+GF=-m+4, .D(m,-m+4),将点D(m,-m十4)代入y=-x2 3x+4,得-m十4=一m2-3m十4， 解得m=一2或m=0(不符合题意，舍去)， .点D的坐标为（一2,6）. 2.解：1将点A(-号0），P(3,号)代入y=ar+x+2,得 4a-2b+2=0,,a=-1, 11 7解得 ,y=-2+名x+2 9a+36+2=2 b=2' (2)当点Q在PC下方时，如答图1，过点P作PH⊥CQ 于点H,过点H作MN⊥y轴于点M,过点P作PN⊥ MH于点N, ∴.∠PHC=∠CMH=∠HNP =90°. ∠QCP=45°，∴△PHC是等腰 直角三角形，.CH=HP. .∠CHM+∠PHN=∠HPN+ ∠PHN=90°， ∴.∠CHM=∠HPN, A70 B .∴.△CHM≌△HPN(AAS), 答图1 ∴.CM=HN,MH=PN. 设Hm,a),c0,2),P,2) 2-n=3-m, 7 (2-n=m, 9 m=4’: 解得 n=4’ 设直线CH的解析式为y=px十q, (9 5 =一3 1 :力+g=1'懈得 g=2, g=2, 1 ·直线CH的解析式为y=一3x+2, 联立直线CH与抛物线解析式，得 7 =-x2+2x+2 33 解得=0或 6: 1 y=2 =-3x+2, 13 y= 18 (): 当点Q在PC上方时，如答图2，过 y 点P作PH⊥CQ于点H,过点H 0 作MN⊥y轴于点M,过点P作 M PN⊥MH于点N,同理得 (台) 综上，存在点Q,坐标为A0 B (得是)（日） 答图2 第8讲含参函数图象定点、定线问题 例题精讲 例1解：(1)(2,1)，(0,1) (2)y=m.x2+(1-2m)x十1-3m=m.x2+x-2m.x十 1-3m=mx2-2mx-3m十x+1=m(x2-2x-3)+ x+1. 3