第16节 二次函数综合题-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

00 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 第16节二次函数综合题 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2021 2022 2023 2024 2025 二次函数的综合应用 题25,10分 题23,12分 题23(3)，6分 数学课程要培养学生的核心素养，主要表现为：抽象能力、运算能力、几何 直观、空间想象、推理能力、模型观念等；要体会数学知识之间的联系，在 课标要求 探索情景蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学知识与方法分析 问题和解决问题 知识梳理 知识点 应用二次函数知识解综合题 以题点知 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+m(a≠0)与x轴交于A,C两点，与y轴 交于点B,其中点B的坐标为(0，-4)，点C的坐标为(2,0).回答下列问题： (1)求此抛物线的函数解析式； 写核心笔记 直接将B(0,-4),C(2,0)代入y=ax2+x+m,即可求出解析式. (2)在此抛物线上是否存在点D,使得DB+DC的值最小？若存在，请求出点D的坐标及DB+DC的最 小值；若不存在，请说明理由； 76 第一部分基础过关 写核心笔记 本题是将军饮马模型中的一种：两，点在直线的同侧情况，此时需要找到其中一点的对称，点，将同侧转化到异侧 求出点的位置 (3)点E是直线AB下方抛物线上的一个动点，连接AE,BE,探究是否存在点E,使得△ABE的面积最 大？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由 G核心笔记 求三角形的面积。 【解题步骤】 ①求A,B两点的水平距离，即水平宽； ②过点E作x轴的垂线与AB交于点F,可得点F的横坐标同点E; ③求直线AB的解析式并代入，点F的横坐标； ④根据E,F的纵坐标求得铅垂高； ⑤利用公式求得三角形的面积. 77 0加 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 广东中考 1.(2021·广东)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0)，且对任意实数x,都有4x-12≤ax2+ bx+c≤2x2-8x+6. (1)求该二次函数的解析式； (2)若(1)中二次函数图象与x轴正半轴的交点为A,与y轴的交点为C,点M是(1)中二次函数图 象上的动点.问在x轴上是否存在点N,使得以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存 在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 78 第一部分基础过关 2(2025·广东模拟)如图，抛物线y=,22 5x+2与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴 交于点C (1)求A,B两点的坐标及直线BC的函数解析式； (2)M为直线BC下方抛物线上一点，其横坐标为m,过点M作MD⊥BC于点D, 当线段MD最长时，求点M的坐标 B 79 了新课标中考宝典·数学（广东专用版） 3.(2023·广东)综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上.如图2，将正方形OABC绕 点0逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<45)，AB交直线y=x于点E,BC交y轴于点F. (1)当旋转角∠C0F为多少度时，OE=0F(直接写出结果，不要求写解答过程)； (2)若点A(4,3),求FC的长； (3)如图3，对角线AC交y轴于点M,交直线y=x于点N,连接FN.将△OFN与△OCF的面积分别 记为S1与S2.设S=S1-S2,AW=n,求S关于n的函数解析式 图 图2 图3 80 第一部分 基础过关 命题新考向 1 1(2025·湖北)抛物线y=2-x+c与x轴相交于点A(-1,0)和点B,与y轴相交于点C,T是抛物线 的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t. A\O 备用图 (1)求c的值； ②如图，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为，求价的偷 81 0 新课标中考宝典·数学（广东专用版） (3)定义：抛物线上两点M,N之间的部分叫做抛物线弧MW(含端点M和N).过M,N分别作x轴 的垂线11,2，过抛物线弧MW的最高点和最低点分别作y轴的垂线L,4,直线l1,2,与14围 成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形.若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周 长为f ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q,点Q与点C不重合.记抛物线弧CQ的特征矩形的周 长为g若/g=,直接写出PQ的长。 11 82 >请完成课时作业P32-33习题（2)把A=25代入h=20,得25=20， ,解得p=0.8. 答：该种液体的密度p为0.8g/cm3. 第16节二次函数综合题 知识梳理 【以题点知】 (1)解：将B(0,-4),C(2,0)代入y=ax2+x+m, 得m-一4， m=-4, 4a+2+m=0,解得1 a=2' “税物线的解斩式为y=名十：一4 (2)解：存在.“y=2x+x-4= 2(x +1)、9 2 .对称轴为直线x=一1. 如答图1，点A与点C关于对称轴 对称，故直线AB与直线x=一1的 交点即为使得DB+DC的值最小的 答图1 D'点. 设直线AB的解析式为y=kx十b, 把点A(-4,0),点B(0,-4)代入y=x+b,得 0=二4+b解得二-1， -4=b, b=一4， ∴直线AB的解析式为y=一x-4,当x=-1时，y=一3， .点D'(-1,-3), AB=√OA+OBz=√4+4=42，DB+DC的最小 值=AB=4√2 (3)解：存在，如答图2，过点E作EF∥y 轴交x轴于点G,交AB于点G. 设点E(,2+t-4)则F(t,-t -4)(-4<t<0), 1 SAAIE=SAAFF十SABEF=2·EF ·AG+·EF,OG=},EP 1 答图2 ·OA =[--0-(分+4-4]4=--红=- +2)2+4, .当t=一2时，SAABE的值最大， 此时点E(-2,-4). 广东中考 1.解：(1)令4x一12=2x2-8x十6，解得x1=x2=3.当x=3 时，4x-12=2x2-8x+6=0, ∴.二次函数y=ax2十bx十c的图象经过点(3,0). :二次函数y=ax2+bx十c的图象必过点(-1,0)， a-b+c=0, 9a+3b+c=0'解得{6二二a， .y=a.x2-2ax-3a.即4x-12≤ax2-2ax-3a, 即可看成二次函数y=ax2一2ax一3a的图象与一次函数 y=4x一12的图象仅有一个交点，且整体位于y=4x一12 的图象上方. ∴.a>0..4x一12=ax2一2ax一3a有两个相等的实数根. 将4x-12=a.x2-2ax-3a化为一般式，得ax2-(2a十 4)x+12-3a=0, .△=0..(2a+4)2-4a(12-3a)=0..(a-1)2=0. .a=1..b=-2a=-2,c=-3a=-3.y=x2-2x-3; 9 参考答宋 (2)由(1)可知二次函数为y=x2-2x-3. .A(3,0),C(0,-3).设M(m,m2-2m-3),N(n,0). ①当AC为对角线时， xA十xc=xM十xN, (ya+yc=yM+yN, :3t0=m+n, 0+(-3)=m2-2m-3十0. 解得m1=0(舍去)，m2 =2. ∴.n=1,即N1(1,0). ②当AM为对角线时， |xA十xM=xC十xN, ya+yM=yc+yN, 3十m=0+2, 0+m2-2m-3=-3+0,1 解得m1=0(舍去)，m2=2. .n=5,即N2(5,0). ③当AN为对角线时，ZA十工v=xe十xN, yA+yN=yc十yM, /3+n=0+m, (0+0=-3+m2-2m-3. 解得m1=1十√7，m2=1-√7. .n=7-2或n=-2-√7 .N2(7-2,0),N4(-2-√7,0). 综上所述，点N的坐标为(1,0)或(5,0)或 (7-2,0)或(-2-7,0). ,解：)当y=0时，号x号x+2=0,解得z1=1,x2 =5. 点A在点B的左侧，∴A,B两点的坐标分别为A(1, 0),B(5,0). 当x=0时，y=2,∴.点C的坐标为(0,2). 设直线BC的函数解析式为y=kx十b, 把B6,0,C0,2)代入y=x+b,得6-0， 2 解得 k=一5’ b=2, .直线BC的函数解析式为y=一 (2)如答图，过点M作ME⊥x轴 交BC于点E, 点B的坐标为(5,0)，点C的坐 标为(0,2)，∴.OB=5,OC=2. 在Rt△OBC中，根据勾股定理可C 得BC=√29. B :M为直线BC下方抛物线上一 M 点，其横坐标为m,ME⊥x轴交 答图 BC于点E, 点M的坐标为(m,名m-号m+2,点E的坐标 为(a,号m+. ME=m+2-(m-号m+2)= 2 5m2+2m. 2 ME∥y轴，.∠DEM=∠BCO, &sin∠Bco=sin∠DEM-BC_5Y29 29 在RtADEM中，∠MDE=90,Sin∠DEM-Py DM-ME·m∠DEM-g(←号+m）- 新课标中考宝典数学（广东专用版） 2（。-）+5 58 小当a-哥时，线段MD最长， 点M的坐标为（侵，-） 3.解：(1)当旋转角为22.5°时 OE-OF; (2)如答图1，过点A作AG⊥x C 轴于点G,则有AG=3,OG=4, .OA=√/OG2+AG2=5. .四边形OABC是正方形， 10 ∴.OC=OA=5,∠AOC=∠C 答图1 =90°， 又，∠COF+∠FOA=90°，∠AOG+∠FOA=90°，∴ ∠COF=∠GOA, ÷R:AACGRPXC,.÷8瓷- C-0CAG-X3-FC的长为 OG 4 4 (3)如答图2，过点N作直线PQ⊥ y B BC于点P,交OA于点Q, 四边形OABC是正方形，∴C ∠BCA=∠OCA=45°，BC∥OA, 又∠FON=45°，.∠FCN =∠FON=45°， 易知F,C,O,N四点共圆， 答图2 ∠OFN=∠OCA=45°， ∴.∠OFN=∠FON=45°，∴.△FON是等腰直角三角形， ∴.FN=NO,∠FNO=90°，∴.∠FNP+∠ONQ=90°， 又：∠NOQ+∠ONQ=90°，.∠NOQ=∠FNP, ∴.△NOQ≌△FNP(AAS), ∴.NP=OQ,FP=NQ, :四边形OQPC是矩形，∴.CP=OQ,OC=PQ, ..-S-ON-Q+NQ:)-(PN+ 1 NQ)-7PN+7NQ',S.-Soo-CF.OC 1 =2(PC-PP)·(PN+NQ)=}(PN-NQ)·(PN +Q)=PN-NQ)=合PN-NQ ∴S=S,-S2=NQ,又，△ANQ为等腰直角三角形， N0-号Aw-号s=N@=(停八， :S关于m的函数解析式为S=2n. 命题新考向 1.解：1)把A(-1,0)代入y=合2-x+c,得号+1+c =0, ∴.c= 、3 2 .1 31 (2)由(1)可知y=2x-x-2=2(x-1)-2, .T(1,-2), :P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t, p(,-t-2） 3 :过点P作对称轴的垂线，垂足为H, PH=1-,TH=合2-1-+2=2-+ 3 1 2(t-1)2, 嘴- 2(t-1)2 (8)0当x=0时y=-名，当=2-x-=0时， x1=-1=3C(0,-2）B3,0 由(2)可知T1,-2),P(,2-4-）,抛物线的对称 轴为直线x=1, 点C(0,-2）关于对称辅的对称点为点(2，-） 点P在第四象限，.0<t<3 当0<t≤1时，抛物线弧CP的最高点为C,最低点为P, 此时特征矩形的两条邻边的长分别为1，一子一-宁十1十 2=-2+…f=2-子+）=-+4： 当1<t≤2时，抛物线弧CP的最高点为C,最低点为T, 此时特征矩形的两条邻边的长分别为，一名 (-2)=2 f=2(+2）=24+1: 当2<t<3时，抛物线弧CP的最高点为P,最低点为T, 此时特征矩形的两桑邻边的长分别为，宫-：一号+2 -+f=2(+-+）=+1 2 1-t2+4t(0<t≤1)， 综上：f=2t+1(1<t≤2)， t2+1(2<t<3.). ②PQ=√2或√17-2. 第四章三角形 第17节线、角、相交线与平行线 知识梳理 【以题点知】 1.D2.③④①②3.9cm或3cm4.300.543.4 5.551456.C7.内错角110°8.C9.C10.B 11.2√2 12.C13.314.两个角是对顶角这两个角相等相等的 角是对顶角假 【核心笔记】 知识点2 (2)60'60" 知识点3 1.平行相交 知识点5 1.(1)角平分线(2)角平分线 2.(1)线段垂直平分线(2)垂直平分线 知识点6 1.正确错误2.结论题设 例题精讲 例1(1)∠a+∠3=90°(2)∠a=∠3(3)∠a=∠3 (4)∠a+∠3=1809