第6讲 抛物线与线段交点问题-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

第二部分 专题突破 第6讲 抛物线与线段交点问题 一、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点问题 方法解读 △=b2-4ac的正负 4>0 4=0 △<0 抛物线与x轴的交点 两个交点 一个交点 没有交点 g例题精讲 例1已知二次函数y=x2+2kx+3k+4(k为常数)图象的顶，点在x轴上，求k的值为 g举一反三 1.已知抛物线y=x2-2x+3k+4(k为常数)与x轴有公共点，则k的取值范围为 2.求证：抛物线y=x2-2x-4(k为常数)的顶点恒在x轴下方. 二、抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与平行于x轴的线段(y=k,m≤x≤n)的交点问题 口方法解读 ★1.核心步骤总结 步骤 关键操作 联立方程 将线段方程代入抛物线解析式，化简为标准二次方程 开口方向分析 由a的正负判断抛物线开口方向 对称轴定位 对将铺为直线立 分类讨论 按a>0和a<0分开讨论 边界值验证 检查线段端点处(x=m,x=n)的函数值 ★2.核心知识点 (1)顶点坐标公式：顶点坐标为 b b2-4ac 2a’4a （2)判别式的双重理解： △>0：方程有两个实根，但需进一步判断是否满足m≤x≤； △=0：方程有一个实根（重根），可能恰好与线段相切； △<0：无实根，无交点； (3)数形结合思想： 画出抛物线草图，标注对称轴、顶点、开口方向；标记线段位置，观察两者相对位置关系（如相 离、相切、相交). 245 了新课标中考宝典·数学（广东专用版） !写例题精讲 例2在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为(-1，-1)和(4，-1)，若抛物线y=mx2-2mx+2 (m≠0)与线段CD(含两端点)只有一个公共点，则m的取值范围是 国举一反三 3.已知抛物线y=ax2+2ax-1(a≠0)与y轴交于点C,顶点为D.将点E(-1,5)向右平移4个单位长 度得到点F,当抛物线与线段EF只有一个交点时，则a的取值范围是 4.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-6ax-6(a≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B. (1)求点A,B的坐标； (2)如果a=-1,当t≤x≤t+1时，二次函数y=ax2-6ax-6的最大值为-1，求t的值； (3)直线y=2x-2经过点C(m,-8),将点C向右平移7个单位长度，得到点C1,若抛物线与线段 CC1只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出α的取值范围. 4321 月432101234567元 一2 246 第二部分 专题突破 三、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与斜线段(y=x+b,m≤x≤n)的交点问题 口方法解读 对于抛物线与斜线段的交点问题： (1)一看：看抛物线的对称轴是否确定，若确定，则利用抛物线的对称轴与线段端点求解即可； (2)二析：分析抛物线是否经过定点（本题中抛物线过原点），然后联立抛物线与线段的解析式求解， 本题中可以求出抛物线和线段的一个交点为定点(1,2)； (3)三画：通过画图分析，可判断抛物线开口方向以及另一个交点的情况. g例题精讲 例3在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)和点B(0,3),若抛物线y=ax2+(2-a)x与线段AB(含两端点) 有两个交点，求a的取值范围. 247 0加 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 写举一反三 5.已知抛物线y=x2-(m+1)x+2m+3. (1)当m=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上； (2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标； (3)已知点E(-1,-1),F(3,7),若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取 值范围。 248新课标中考宝典数学（广东专用版） ∴当4=2时，即点D的坐标为(2，)时，四边形0CDB 的面积有最大值12. 3.解：(1)抛物线y=x2十bx十c的顶点坐标为(3，一4)， ∴y=(x-3)2-4=x2-6x十5，.b=-6,c=5; (2)点P的横坐标为5+4④或5=√④ 2 2 第5讲二次函数区间最值问题 例题精讲 例1一7 例2解：(1)，已知抛物线y=ax2一4x十5在对称轴右侧 呈上升趋势，.抛物线开口向上，∴.a>0. 又a2=1,.a=1,.抛物线的解析式为y=x2-4x十 5,则抛物线的对称辅为直线2=-弓-2： (2)a>0,.二次函数有最小值，当x=2时，y=x2 -4x+5=1, 即二次函数y=ax2一4x+5有最小值，这个最小值 为1. 例3解：(1)-2(2)一31 (2),抛物线y=x2十bx十c开口向上，对称轴为直线 x=1,且|-4-1|>|2-1|， ∴.在-4≤x≤0内，当x=-4时，ymx=16十8-3= 21,当x=0时，ymn=-3. 例4解：二次函数y=一(x一3)2十m2十1的对称轴是直线 x=3.a=-1<0, ∴.当x<3时，y随x的增大而增大，由题意，得当x=1 时，二次函数y=-(x一3)2十m2十1有最大值4， 则-(1-3)2十m2十1=4，解得m1=√7，m2=-√7， 例5- 例6一2或6 举一反三 1.-32.C3.(1)(3,4)(2)404.4 5.解：(1)：点P(-2,5)在二次函数y=ax2+bx十5(a≠ 0)的图象上， .4a-2b十5=5，解得b=2a,∴.二次函数的解析式为y= a.x2+2ax+5, “对称轴为直线x=-2=-1,m=-1, 2a (2),m=一1，∴.点Q(3m,2)的坐标为(-3,2). 点Q(-3,2)在y=ax2+bx-3的图象上，b=2a, 5 10 9a-6a-3=2,解得a=3…b=2a=g,抛物线的 解折式为)=号+号-8=号+1)-兰 3 .抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=一1，当x> 一1时，y随着x的增大而增大. 0≤x≤3，.当x=0时，函数有最小值，最小值为一3， 当x=3时，函数有最大值，最大值为号3十1)-4 3 =22, .二次函数的最大值为22，最小值为一3. 6.√27.2 第6讲抛物线与线段交点问题 例题精讲 例14或-1例2m=3或-1<m≤-号 例3解：A(3,0),B(0,3),.可求得线段AB的解析式 为y=-x十3(0≤x≤3) 通 过 联 立/y=-x+3, B y=ax2+(2-a)x, 3 解得1， a 0 y1=2, =3+3, 答图1 a 因此抛物线与线段AB的其中一个交点为定点P(1,2). 抛物线经过定点(0,0)，且与 线段AB有一个定交点(1,2)， B ∴若抛物线开口向上，则其与线 段AB只能有一个公共点，如答 图1，不符合题意， 0 ∴抛物线开口只能向下，有如答 A 图2所示的两种情形， 答图2 此时另一公共点的横坐标要落在0<x≤3内，且x≠1， 有0<-3≤3且-3≠1， a a 解得a≤-1且a≠-3. .a的取值范围是a≤-1且a≠-3. 举一反三 1.k≤-1 2.证明：依题意得a=1,b=一2k,c=一4， .△=(-2k)2-4×1×(-4)=4k2+16. k2≥0，.4k2≥0，.4k2+16>0, 抛物线与x轴总有两个交点.又抛物线开口向上， .抛物线y=x2一2kx一4(k为常数)的顶点恒在x轴 下方. 2 3.a≥5或a≤-6 4.解：(1)当x=0时，y=-6,点A的坐标为(0，-6). 由题意，得抛物线的对称轴为直线x=3. :抛物线的对称轴与x轴交于点B, .点B的坐标为(3,0)； (2)a=一1时，二次函数为y=-x2+6x一6=一(x-3)2十3， ∴二次函数的图象开口方向向下，最大值为3. ①t≤x≤t十1<3时，对应的最高点为(t+1,一1)， .-1=-(t+1-3)2+3, 解得t1=0,t2=4(不合题意，舍去)； ②3<t≤x≤t十1时，对应的最高点为(t,一1). .-1=-(t-3)2十3， 解得t1=1(不合题意，舍去)，t2=5. 综上，t的值为0或5； (3a=号或a>}或a<-品 2 5.解：(1)把m=0代入y=x2-(m+1)x十2m+3,得y= x2-x十3， 当x=2时，y=22-2+3=5≠4， .点(2,4)不在该抛物线上； (2)y=x-(m+10z+2m+3-(-m士）+2m+3 _(m+1)2 4， .抛物线y=x2一(m十1)x十2m十3的顶点坐标 为(02m+8-a中2少 4 令y-2m+3-a-m-30+5. 4 、1 <0，心抛物线有最高点， 六当m=3时，y=2m十3-(m+1 4 一有最大值，此时原抛 物线的顶点坐标为(2,5)； (3)E(-1,-1),F(3,7) 设直线EF的解析式为y=kx十b,把点E,F的坐标代人， 得6+6-1，解得®=2， 3k+b=7, b=1, .直线EF的解析式为y=2x十1.将y=2x+1代入y= x2-(m+1)x+2m+3,得x2-(m+1)x+2m+3=2x +1,整理，得x2一(m十3)x十2m+2=0, 解得x1=2,x2=m十1，则抛物线与直线EF的交点为(2， 5)和(m十1,2m十3)，而(2,5)在线段EF上， .若该抛物线与线段EF只有一个交点， 则(m十1,2m+3)不在线段EF上，或(2,5)与(m十1,2m 十3)重合， ①若(2,5)与(m+1,2m+3)重合，则m+1=2且2m+3 =5,.m=1; ②若(m+1,2m十3)不在线段EF上，则m+1<一1或m +1>3, 六此时范物线顶点横坐标A-”士<一2或xa 1 2 m+1、3 2 或x=”+ =1. 2 第7讲二次函数与角 例题精讲 例1解：如答图，过点M作MH⊥AB于点H. 令x=0,则y=3,.C(0,3). .·∠MAB=∠ACO, yA ∠AHM=∠COA=90°， ∴.△AHMn△COA, OA MH 1 M ∴OC-AH3 A A B 设M(t,-t2+2t+3)(t>0), /0 则MH=-t2+2t+3,AH =t+1, 答图 .t+1=3(-t2+2t+3),整理，得3t2一5t-8=0,解 得=-1（会），4=号点M的模坐标为号 8 举一反三 1.解：对于二次函数y=一x2一3x+4,当y=0时，一x2一 3x十4=0， 解得x=-4或x=1,.A(-4,0),B(1,0) 当x=0时，y=4, .C(0,4),则直线AC的函数解析式为y=x十4. 如答图，过点C作CG⊥DF于 点G, 则四边形OCGF是矩形， .GF=OC=4,CG∥AB .∠ACG=∠BAC. .∠ACD=2∠BAC .∠ACG=∠DCG, 0 B .90°-∠ACG=90°-∠DCG, 即∠CED=∠CDE,∴.CD= 答图 CE.又，CG⊥DF,.DG=EG ,D为直线AC上方抛物线上的一个动点，横坐标为m, DF⊥x轴于点F, ∴.-4<m<0,E(m,m+4),.EF=m+4, 2 参考苔宋 ..DG=EG=GF-EF=-m, ..DF=DG+GF=-m+4, .D(m,-m+4),将点D(m,-m十4)代入y=-x2 3x+4,得-m十4=一m2-3m十4， 解得m=一2或m=0(不符合题意，舍去)， .点D的坐标为（一2,6）. 2.解：1将点A(-号0），P(3,号)代入y=ar+x+2,得 4a-2b+2=0,,a=-1, 11 7解得 ,y=-2+名x+2 9a+36+2=2 b=2' (2)当点Q在PC下方时，如答图1，过点P作PH⊥CQ 于点H,过点H作MN⊥y轴于点M,过点P作PN⊥ MH于点N, ∴.∠PHC=∠CMH=∠HNP =90°. ∠QCP=45°，∴△PHC是等腰 直角三角形，.CH=HP. .∠CHM+∠PHN=∠HPN+ ∠PHN=90°， ∴.∠CHM=∠HPN, A70 B .∴.△CHM≌△HPN(AAS), 答图1 ∴.CM=HN,MH=PN. 设Hm,a),c0,2),P,2) 2-n=3-m, 7 (2-n=m, 9 m=4’: 解得 n=4’ 设直线CH的解析式为y=px十q, (9 5 =一3 1 :力+g=1'懈得 g=2, g=2, 1 ·直线CH的解析式为y=一3x+2, 联立直线CH与抛物线解析式，得 7 =-x2+2x+2 33 解得=0或 6: 1 y=2 =-3x+2, 13 y= 18 (): 当点Q在PC上方时，如答图2，过 y 点P作PH⊥CQ于点H,过点H 0 作MN⊥y轴于点M,过点P作 M PN⊥MH于点N,同理得 (台) 综上，存在点Q,坐标为A0 B (得是)（日） 答图2 第8讲含参函数图象定点、定线问题 例题精讲 例1解：(1)(2,1)，(0,1) (2)y=m.x2+(1-2m)x十1-3m=m.x2+x-2m.x十 1-3m=mx2-2mx-3m十x+1=m(x2-2x-3)+ x+1. 3