第4讲 抛物线中的面积问题-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

0 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 第4讲抛物线中的面积问题 一、铅垂法求面积的最大值 写方法解读 图示 公式 B< 1 D SAmG=CD 0 y E、 5CElyal 1 写例题精讲 例1已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.点P是抛 物线上一动点，设点P的横坐标为t (1)如图1，连接AC,BC,则△ABC的面积为 (2)如图2，点D是抛物线的顶点，则△OCD的面积为 (3)如图3，点P在第四象限，连接BC,BP,CP,请用含t的式子表示△BCP的面积，并求出最大面积； (4)如图4，点P在第四象限，连接AC,CP,BP,请用含t的式子表示四边形ACPB的面积，并求 出最大面积 图1 图2 图4 236 第二部分 专题突破 写举一反三 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A,B,与y轴交 Y 于点C,连接BC,OA=1,对称轴为直线x=1,点D为此抛物线的顶点 (1)求抛物线的解析式； (2)连接CD,则∠BCD= (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE,求△BCE面积的最大值， 237 了新课标中考宝典·数学（广东专用版） 二、割补法求面积的最大值 国方法解读 图示 公式 个y SABCP=SABOP+SACOP-SABOC g例题精讲 例2如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(3,0),B(0,3)两点. (1)求该抛物线的解析式； (2)已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第一象限内，直线l:y=-3x+n经过点B,且 交x轴于点C,连接CP,BP.设点P的横坐标为m,△CBP的面积为S. ①求S关于m的函数解析式； ②△CBP面积有最大值吗？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由. 0 238 第二部分 专题突破 写举一反三 么.抛物线y=ax2tx+e与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3 (1)求抛物线的解析式； (2)若D是第一象限抛物线上的一个动点，连接CD,DB,当四边形OCDB的面积最大时，求点D的 坐标及此时四边形OCDB的最大面积 三、平面直角坐标系中面积数量关系的转化 口方法解读 图示 公式 1.两三角形同底：可构造平行线进行面积转化，如 图，过点O作直线/∥AB交抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)于点P,则SAPAB=S△oaB 2.可通过解联立抛物线与直线1的解析式，所得的 方程组的确定点P的坐标. 239 了新课标中考宝典·数学（广东专用版〉 写例题精讲 例3如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点，其中A(3,0),B(-1,0),与 y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,直线y=kx+b1经过点A,C,连 接CD. (1)求抛物线和直线AC的解析式： (2)若抛物线上存在一点P,使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P 的坐标。 国举一反三 3.(2025·黑龙江)如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A、点B,交y轴于点C,且 点A在点B的左侧，顶点坐标为(3，-4). (1)求b与c的值； (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积与△ABC的面积相 等.若存在，请直接写出点P的横坐标？若不存在，请说明理由 240新课标中考宝典数学（广东专用版） 当x=0时，y=一2.∴.点C的坐标为(0，一2)； (2)点D的坐标为(1,2)，(-3，-2)或(3，-2)； (3)存在，理由如下.A(2,0),B(一1,0)，C(0,一2)， 抛物线的对称轴为直线x=分，0B=-1,00=2。 分情况讨论如下： ①若AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的 对角线， 1 3 2 2x=2, 此时友M的坐标为（受，一）： ②若AM是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的 对角线， 则4十x4=cxm,:2+x 0十2 2 2 2 2 w=一号，此时点M的坐标为(-名，) 3 ③若AN是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的 对角线， 1 则心A十xN=xc十c 2+2_0十x 5 2 2 ,2 2 ,.xM=29 此时点M的坐标为（侵，）》 综上所述，存在符合条件的点M,坐标为（侣，一）， (8)或(8，) 例2解：(1)把C(-1,0),B(0,3)代入解析式，得 9 -3-b十c=0,解得6=4门 c=3, c=3, 3 ∴抛物线的解析式为y=一 9 x+ x+3; (2)由抛物线的解析式知其对称轴为直线工=号 2 3 0D=含.C(-1,0), .A(4,0).又B(0,3),∴.OA=4,OB=3. ∴.AB=5. ①当∠ABQ为直角时，如答图 Y 10 M▣ 1,过点Q作QM⊥y轴于点 M,则MQ=OD=2: 3 B ,∠BQM+∠MBQ=90°， ∠MBQ+∠ABO=90°， .∴.∠ABO=∠BQM. 又∠AOB=∠BMQ=90°， 答图1 .∴.△ABOc∽△BQM. % 43 即BM ,解得MB=2, 2 0M=5,即点Q的坐标为（受，5）： 10 ②当∠BAQ为直角时，如答图2，同理可得AM= 3 点Q的坐标为（各，9）： ③当∠BQA为直角时，如答图3， 过点Q作直线MN⊥y轴于点N, 过点A作AM⊥MN于点M,则 ∠AMQ=∠QNB=90°， BN=AM-3,NQ=号，QM=4 答图2 :∠BQN+∠MQA=90°， ∠MQA+∠QAM=90°， .∠BQN=∠QAM. ∴.△QNB∽△AMQ. A x 3 答图3 x-滑- 2 解得AM=3土26 2 点Q的坐标为（层3+6）度（号32） 综上，点Q的坐标为（受）或（受，-）或 (层3+)（3）： 2 ，2 3)点E的坐标为（侵2）或（号，-号）或 例3解：(1)将点A的坐标代入解析式，得0=一16+4b+ 3,解得6=13 4 六抛物线的解析式为y=-父+名x十3，令x=0,则) 3,点B的坐标为(0,3)； (2)令y=-x2+13z 3 +x十3=0，解得x1=4,z:=-, 点C的坐标为(-子0)，连接AB,BC,则Sac 名ac,0B-2×(4+）x8-, (3)设点P(x,0),由题意，得AB2=4+32=25,AP =(4-x)2,BP2=x2+9, ①当AB=AP时，则25=(4一x)2,解得x=9或 x2=-1; ②当AB=BP时，则25=x2+9,解得x=4(舍去)或x= -4; ③当AP=BP时，则(4-x)=x2+9,解得x=8 7 点P的坐标为(9,0)或(-1,0)或(-4,0) 或（日o 举一反三 1.(-3,4)或(-1,2)或(1,4) 第4讲抛物线中的面积问题 例题精讲 例1解：(1)6(2)2 (3)如答图，过点P作x轴的垂线，交BC于点E, .B(3,0),C(0,-3), ,直线BC的表达式为y=x一3. 点P的横坐标为t, .∴.P(t,t2-2t-3),E(t,t-3), .PE=t-3-(t2-2t-3)=-t +3t, Sam=名PEkw号x(-t 答图 +80x8-8+2-26-2)》+日 、3 <0,Sae有最大值， 当=是时，56有最大值，为经， (4)连接BC.由(1)(3)得S四边卷ACPB=S△Ac十S△BCP 8++6-8-》广+ :-<0,550m有最大值。 “当1-多时，50m有最大值，为 Q 例2解：(1)将A(3,0),B(0,3)代入y=-x2+bx+c, 得{一9十36十c二0，解得6一2 lc=3, .抛物线的解析式为y=-x2+2x十3； (2)①连接OP.如答图，将B(0,3) 八个y 代入y=-3x十n,得n=3.y =-3x+3. 令y=0,则0=-3x十3，解得x=1, ∴.C(1,0), .0C=1.A(3,0),B(0,3), ..OA=OB-3. 答图 点P在抛物线上，且在第一象 限内， ∴.点P的坐标为(m,-m2十2m十3)，0<m<3, 1 S=Saoe+SAco-Saac=20B·m十2OC· (-m+2m+3)-20B,0C -×3m+2X1X(-m2+2m+3)-2x3X1 =-2m2+m 5 ⑦△CBP面积有最大值.由@知S=一名m+弓m =-2(m-8)°+5，且0<m<3. a=-号<0S有最大值，即当m=号时，S取 得最大值5 例3解：(1)把点A、点B的坐标代入y=-x2十bx十c,得 {厂9十36十c=0·解得6=2：抛物线的解析式为y -1-b+c=0, c=3, -x2+2x+3. .当x=0时，y=3,即点C的坐标为(0,3).设直线AC的 解析式为y=kx十b, 圆0特 使=一1，：直线AC的解析式为y=一x十3： b=3, 3 参考苔宋 (2)如答图，连接BC, 点D是抛物线的对称轴 与x轴的交点，.AD =BD, .SAABC=2S△AcD: SAACP=2S△ACn,.S△ACP BQ D =S△ABC· 过点B点作PB∥AC交 抛物线于点P, 设直线PB的解析式为y P =一x十n,将点B 答图 (-1,0)代人可得0=-(-1)+n,即n=-1, ∴直线PB的解析式为y=一x一1，由题意可得 化计+5得仁g y=-x-1, .点P的坐标为（一1,0）或(4，一5). 举一反三 1.解：(1)抛物线y=ax2十2x十c(a≠0)与x轴交于点A, B,OA=1,对称轴为直线x=1,A(一1,0)，.B(3,0). 将A,B的坐标代入y=a.x2+2x十c(a≠0)，得 0=-2+c:解得a=,1, 0=9a+6+c, c=3, 抛物线的解析式为y=一x2十2x十3； (2)90 (3)设直线BC的解析式为y=x+b,由(1)知点B,C的 坐标为(3,0)，(0,3). 将点B,C的坐标代入，得士=0·解得=。-1， b=3, b=3, 直线BC的解析式为y=一x十3. Y D 设E(m,-m2+2m十3)，如答图，作 EF∥y轴交BC于点F,则 F(m,-m+3), ∴.EF=-m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3m, 1 答图 SANCE =2X (ts-xe)X EF 合×x(-m+m）)=-含(-2》广+g 8 当m=时，S=有最大值，为 3 2.解：(1)将A(一1,0)，C(0,3)代入抛物线解析式中，得 a一4 3 一9十c三0”解得a三产4】 c=3, c=3, 9 抛物线的解析式为y=-号x+,x十3； （80知y-+号x+8, yA I D 令y=0,则-2+号+3=0， .x1=-1,x2=4,.B(4,0),连接4 0 oD,设D(a,-4+d+, .Sm边卷0cDB=S△0cD十S△ODB= 答图 1 20·d+2 OB (4r+4+) =×3a+2(-+24+)=-2d-2+12 新课标中考宝典数学（广东专用版） ∴当4=2时，即点D的坐标为(2，)时，四边形0CDB 的面积有最大值12. 3.解：(1)抛物线y=x2十bx十c的顶点坐标为(3，一4)， ∴y=(x-3)2-4=x2-6x十5，.b=-6,c=5; (2)点P的横坐标为5+4④或5=√④ 2 2 第5讲二次函数区间最值问题 例题精讲 例1一7 例2解：(1)，已知抛物线y=ax2一4x十5在对称轴右侧 呈上升趋势，.抛物线开口向上，∴.a>0. 又a2=1,.a=1,.抛物线的解析式为y=x2-4x十 5,则抛物线的对称辅为直线2=-弓-2： (2)a>0,.二次函数有最小值，当x=2时，y=x2 -4x+5=1, 即二次函数y=ax2一4x+5有最小值，这个最小值 为1. 例3解：(1)-2(2)一31 (2),抛物线y=x2十bx十c开口向上，对称轴为直线 x=1,且|-4-1|>|2-1|， ∴.在-4≤x≤0内，当x=-4时，ymx=16十8-3= 21,当x=0时，ymn=-3. 例4解：二次函数y=一(x一3)2十m2十1的对称轴是直线 x=3.a=-1<0, ∴.当x<3时，y随x的增大而增大，由题意，得当x=1 时，二次函数y=-(x一3)2十m2十1有最大值4， 则-(1-3)2十m2十1=4，解得m1=√7，m2=-√7， 例5- 例6一2或6 举一反三 1.-32.C3.(1)(3,4)(2)404.4 5.解：(1)：点P(-2,5)在二次函数y=ax2+bx十5(a≠ 0)的图象上， .4a-2b十5=5，解得b=2a,∴.二次函数的解析式为y= a.x2+2ax+5, “对称轴为直线x=-2=-1,m=-1, 2a (2),m=一1，∴.点Q(3m,2)的坐标为(-3,2). 点Q(-3,2)在y=ax2+bx-3的图象上，b=2a, 5 10 9a-6a-3=2,解得a=3…b=2a=g,抛物线的 解折式为)=号+号-8=号+1)-兰 3 .抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=一1，当x> 一1时，y随着x的增大而增大. 0≤x≤3，.当x=0时，函数有最小值，最小值为一3， 当x=3时，函数有最大值，最大值为号3十1)-4 3 =22, .二次函数的最大值为22，最小值为一3. 6.√27.2 第6讲抛物线与线段交点问题 例题精讲 例14或-1例2m=3或-1<m≤-号 例3解：A(3,0),B(0,3),.可求得线段AB的解析式 为y=-x十3(0≤x≤3) 通 过 联 立/y=-x+3, B y=ax2+(2-a)x, 3 解得1， a 0 y1=2, =3+3, 答图1 a 因此抛物线与线段AB的其中一个交点为定点P(1,2). 抛物线经过定点(0,0)，且与 线段AB有一个定交点(1,2)， B ∴若抛物线开口向上，则其与线 段AB只能有一个公共点，如答 图1，不符合题意， 0 ∴抛物线开口只能向下，有如答 A 图2所示的两种情形， 答图2 此时另一公共点的横坐标要落在0<x≤3内，且x≠1， 有0<-3≤3且-3≠1， a a 解得a≤-1且a≠-3. .a的取值范围是a≤-1且a≠-3. 举一反三 1.k≤-1 2.证明：依题意得a=1,b=一2k,c=一4， .△=(-2k)2-4×1×(-4)=4k2+16. k2≥0，.4k2≥0，.4k2+16>0, 抛物线与x轴总有两个交点.又抛物线开口向上， .抛物线y=x2一2kx一4(k为常数)的顶点恒在x轴 下方. 2 3.a≥5或a≤-6 4.解：(1)当x=0时，y=-6,点A的坐标为(0，-6). 由题意，得抛物线的对称轴为直线x=3. :抛物线的对称轴与x轴交于点B, .点B的坐标为(3,0)； (2)a=一1时，二次函数为y=-x2+6x一6=一(x-3)2十3， ∴二次函数的图象开口方向向下，最大值为3. ①t≤x≤t十1<3时，对应的最高点为(t+1,一1)， .-1=-(t+1-3)2+3, 解得t1=0,t2=4(不合题意，舍去)； ②3<t≤x≤t十1时，对应的最高点为(t,一1). .-1=-(t-3)2十3， 解得t1=1(不合题意，舍去)，t2=5. 综上，t的值为0或5； (3a=号或a>}或a<-品 2 5.解：(1)把m=0代入y=x2-(m+1)x十2m+3,得y= x2-x十3， 当x=2时，y=22-2+3=5≠4， .点(2,4)不在该抛物线上； (2)y=x-(m+10z+2m+3-(-m士）+2m+3 _(m+1)2 4， .抛物线y=x2一(m十1)x十2m十3的顶点坐标 为(02m+8-a中2少 4 令y-2m+3-a-m-30+5. 4