第3讲 二次函数与几何综合-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

第二部分 专题突破 第3讲二次函数与几何综合 一、平行四边形存在性问题 -- 写方法解读 ★1.从平移的角度理解平行四边形 在平面直角坐标系中，根据平行四边形的性质，明确四个顶点的坐标特征： (xp:yp) (xc-yc) 根据平行四边形对边平行且相等，可以将一条边看作由对边平移得到！ D 如图，在平面直角坐标系中，口ABCD各顶点的坐标分别是A(xA,yA),B(xB, B(xB,yB) yB),C(xc,yc),D(xp,yp). A(XAYA) 由图中△ABM≌△DCN,可知AM=DN,BM=CN,所以点A到点B的平移方 式，与点D到点C的平移方式相同 ★2.从中点坐标公式的角度理解平行四边形 根据平行四边形对角线互相平分，得到对角顶点坐标间的关系， 在平面直角坐标系中，如果已知口ABCD的顶点A(xA,ya),B(xBy),C(xc,yc), 由平行四边形对角线互相平分， xA+xc xB+xp 2 2 可以得到 由此可以推得第四个顶点D的坐标 ya+yc ye+yD g例题精讲 例1如图，二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C. (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； (2)已知点D在平面直角坐标系中，且以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，请直接 写出点D的坐标； 231 门新课标中考宝典·数学（广东专用版） (3)若点N在抛物线的对称轴上，则在抛物线上是否存在点M,使以点A,C,M,N为顶点的四边 形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 0 二、直角三角形、矩形的存在性探究 写方法解读 ★3，解决直角三角形单动点存在性问题时，已知两定点，确定动点位置时，通常按谁为直角顶，点分三 类情况讨论.利用“两线一圆”找到符合要求的点 (1)已知AB为定线段，点A,B均在直线l外，在直线1上确一定P,使△ABP为直角三角形，分以 下三类情况： ①A为直角顶点 ②B为直角顶点 ③P为直角顶点 232 第二部分 专题突破 (2)两种方法求动点坐标： 方法一：代数方法 利用勾股定理列方程求解.一般情况下，当动点在直线上时，代数法比较简单；当动点在抛物 线上时，列方程出现四次方程，计算难度大. 代数方法解直角三角形单动点存在性问题解题步骤如下： 设出点的 表示三角形三边 分别求解并判断 分类讨论建立方程 确定存在的点 坐标 (或三边平方)■ 是否符合题意 方法二：几何方法。 通过构造“一线三垂直”模型，利用相似三角形解决问题.优先使用几何法解题 M N N AM PM AN BN AN PN BN AN BM P,M P M BM 几何法解直角三角形单动点存在性问题解题步骤： 设相关点 坐标表示 构造相似， 确定点的 分类画图 的坐标 线段长度 建立方程 坐标 ★4，在解决双动点矩形存在性问题时，需先转化为单动点直角三角形存在性问题，求出一个动点的坐 标，再通过平移确定另一个动点的坐标（或用中点坐标公式） 写例题精讲 例2如图，抛物线y=- +加+e与：辅交于点A和点C(-1,0),与)销交于点 B(0,3),连接AB,BC,点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作 PD⊥x轴于点D (1)求抛物线的解析式； 233 门新课标中考宝典·数学（广东专用版） (2)当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q,A,B为顶点的三角形是直角 三角形，求点Q的坐标； (3)点Q在对称轴上，点E在坐标平面内，当以Q,A,B,E为顶点的四边形是矩形时，请直接写 出点E的坐标 写举一反三 1.如图，点P在抛物线y=2+x+2上运动，x轴上的点4，B分别表示数-3和1，首尾 顺次连接A,B,P得△ABP,当△ABP为直角三角形时，点P的坐标为 234 第二部分 专题突破 三、等腰三角形、菱形的存在性探究 口方法解读 ★5.解决等腰三角形单动点存在性问题时，已知两定点，确定动点位置时，通常按谁是腰分三种情况 讨论， (1)画图确定点的位置：利用“两线一圆”确定动点的位置（找点的方法与直角三角类似） (2)两种方法求动点坐标： 方法一：代数法，解题步骤如下： 设出点的 表示三角形三边 分类讨论 分别求解并判断 确定存在的点 坐标 (或三边平方) 建立方程 是否符合题意 方法二：几何法，解题步骤如下： 设相关点 坐标表示 根据腰长相等， 确定点的 分类画图 的坐标 线段长度 建立方程 坐标 ★6.在解决双动点菱形存在性问题时，需先转化为单动点等腰三角形存在性问题，求出一个动点的坐 标，再通过平移确定另一个动点的坐标（或用中点坐标公式） g例题精讲 例3如图，已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A(4,0)与点C,与y轴交于点B. (1)求此二次函数解析式和点B的坐标； (2)计算△ABC的面积； (3)在x轴上是否存在点P,使得△PAB是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存 在，请说明理由。 235DH-HE_DE EF-BF-BE-2, BF=1,DH-HE-2,EF- ∴HF=2+冬，由答图1知，HF=DC 冬-及-2-9 2+ 专题十四二次函数压轴题（含10小讲） 第1讲二次函数核心考点 例题精讲 例1解：设交点式为y=a(x+1)(x一3)，代入(0，一3)，得a=1, ∴.y=(x+1)(x-3)， .y=x2-2x-3. 例2解：(1)法1：该抛物线经过点(0,3)， ∴设该抛物线的解析式为y=ax2十bx十3(a≠0)， 将(-1,0)，(1,4)分别代入y=ax2+bx+3,得 0T3=0解得a二 a+b+3=4, ∴该抛物线的解析式为y=一x2十2x十3； 法2：由表格可知顶点坐标为(1,4)， ∴.设y=a(x-1)2十4，将(0,3)代人，得a=-1, .y=-(x-1)2十4=-x2十2x十3， 法3：由表格可知抛物线与x轴两个交点的坐标为 (-1,0),(3,0), ∴.设y=a(x+1)(x-3),将(0,3)代人，得a=-1, ∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3; (2)将y=-5代人y=-x2+2x+3,得-5= -x2+2x+3, 解得x1=4,x2=一2。 ∴点P的坐标为(4，-5)或(-2，-5). 例3A例425 例5(1)y=2(x+3)2-5(2)y=-2(x-3)2+5 (3)y=2(x-3)2-5 例6②③⑥拓展练：(1)=(2)>(3)= 举一反三 1.y=7(x-4)2-32.y=-2x2+2 3.(1)x=-1(2)y=-(x+1)2+4 4.解：(1)由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为（一1，一4）， .可设y=a(x+1)2-4,代入(2,5)，得5=9a-4. .a=1,.y=(x+1)2-4=x2+2x-3; (2)对于y=x2+2x一3，令y=0,则x2+2x一3=0， 解得x1=一3，x2=1, .该函数图象与x轴的交点坐标分别为（一3,0），(1,0)， 画出此二次函数的图象如答图」 -3 5-4 2-10 2 4 -J--1-. 答图 (3)x<-3或x>1 5.y=3x2-26.C7.D8.A9.y=2(x-1)2+1 10.y=(x-2)2-711.C12.D13.B 参考答宋 第2讲二次函数与一元二次方程综合 例题精讲 例1x1=4,x2=-1例2-1或3或4例3B 例4(1)x1=-1,x2=3(2)x<-1或x>3 例5解：(1)观察表格可知，该二次函数图象的顶点坐标为 (2,-1), ∴.设该二次函数的解析式为y=a(x一2)2一1， .该二次函数图象过点(1,0)， .0=a(1-2)2-1, 解得a=1,即y=(x-2)2-1. (2)x<1或x>30<x<4 例6解：(1)3810640 (2)由题意，设利润为元， w=-380)(0-）=0u-35r+ 10/ 10562.5, 1 ”一0<0，二次函数图象的对称轴为直线x=355,且 x为10的整数倍， .当x=350或360时，w有最大值为10560，即当x 为350或360时，民宿利润最大； 1 (3)由题意，令w=-10(x-355)2+10562.5=10 360,得x=310或400， 由二次函数图象的草图可知当w≥10360时，310≤x 400. ,·该民宿空闲房间数不能超过20间， .18 10 ≤20，解得x≤380， ∴.310≤x≤380，且x为10的整数倍 举一反三 1.x1=-3,x2=12.x=-13.x1=-2,x2=44.1 5.1度或76.C7.-1<r<88-3<z<1 9.x<0或x>4 10.解：(1)依题意得(40一30十x)(600-10x)=10000, 解得x1=10,x2=40. 故当每个书包涨价10元或者40元时，每月可获利润为 10000元： (2)y=(40-30+x)(600-10x) =-10x2+500x+6000 =-10(x-25)2+12250, ,.当x=25时，y有最大值12250， 即当每个书包售价为65元时，月最大利御为12250元； (3)由(1)知，当y=10000时， 解得x1=40,x2=10.由二次函 10000 数图象草图（如答图）可知当y≥ /10140 10000时，10≤x≤40， .当售价不低于50元且不高于 答图 80元时，商家所获利润不低于 10000元. 第3讲二次函数与几何综合 例题精讲 例1解：(1)把A(2,0),B(一1,0)代入y=ax+bx-2, 得/4a+2b-2=0, a-b-2=0, 郑得名 .二次函数的解析式为y=x2一x一2. 新课标中考宝典数学（广东专用版） 当x=0时，y=一2.∴.点C的坐标为(0，一2)； (2)点D的坐标为(1,2)，(-3，-2)或(3，-2)； (3)存在，理由如下.A(2,0),B(一1,0)，C(0,一2)， 抛物线的对称轴为直线x=分，0B=-1,00=2。 分情况讨论如下： ①若AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的 对角线， 1 3 2 2x=2, 此时友M的坐标为（受，一）： ②若AM是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的 对角线， 则4十x4=cxm,:2+x 0十2 2 2 2 2 w=一号，此时点M的坐标为(-名，) 3 ③若AN是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的 对角线， 1 则心A十xN=xc十c 2+2_0十x 5 2 2 ,2 2 ,.xM=29 此时点M的坐标为（侵，）》 综上所述，存在符合条件的点M,坐标为（侣，一）， (8)或(8，) 例2解：(1)把C(-1,0),B(0,3)代入解析式，得 9 -3-b十c=0,解得6=4门 c=3, c=3, 3 ∴抛物线的解析式为y=一 9 x+ x+3; (2)由抛物线的解析式知其对称轴为直线工=号 2 3 0D=含.C(-1,0), .A(4,0).又B(0,3),∴.OA=4,OB=3. ∴.AB=5. ①当∠ABQ为直角时，如答图 Y 10 M▣ 1,过点Q作QM⊥y轴于点 M,则MQ=OD=2: 3 B ,∠BQM+∠MBQ=90°， ∠MBQ+∠ABO=90°， .∴.∠ABO=∠BQM. 又∠AOB=∠BMQ=90°， 答图1 .∴.△ABOc∽△BQM. % 43 即BM ,解得MB=2, 2 0M=5,即点Q的坐标为（受，5）： 10 ②当∠BAQ为直角时，如答图2，同理可得AM= 3 点Q的坐标为（各，9）： ③当∠BQA为直角时，如答图3， 过点Q作直线MN⊥y轴于点N, 过点A作AM⊥MN于点M,则 ∠AMQ=∠QNB=90°， BN=AM-3,NQ=号，QM=4 答图2 :∠BQN+∠MQA=90°， ∠MQA+∠QAM=90°， .∠BQN=∠QAM. ∴.△QNB∽△AMQ. A x 3 答图3 x-滑- 2 解得AM=3土26 2 点Q的坐标为（层3+6）度（号32） 综上，点Q的坐标为（受）或（受，-）或 (层3+)（3）： 2 ，2 3)点E的坐标为（侵2）或（号，-号）或 例3解：(1)将点A的坐标代入解析式，得0=一16+4b+ 3,解得6=13 4 六抛物线的解析式为y=-父+名x十3，令x=0,则) 3,点B的坐标为(0,3)； (2)令y=-x2+13z 3 +x十3=0，解得x1=4,z:=-, 点C的坐标为(-子0)，连接AB,BC,则Sac 名ac,0B-2×(4+）x8-, (3)设点P(x,0),由题意，得AB2=4+32=25,AP =(4-x)2,BP2=x2+9, ①当AB=AP时，则25=(4一x)2,解得x=9或 x2=-1; ②当AB=BP时，则25=x2+9,解得x=4(舍去)或x= -4; ③当AP=BP时，则(4-x)=x2+9,解得x=8 7 点P的坐标为(9,0)或(-1,0)或(-4,0) 或（日o 举一反三 1.(-3,4)或(-1,2)或(1,4) 第4讲抛物线中的面积问题 例题精讲 例1解：(1)6(2)2 (3)如答图，过点P作x轴的垂线，交BC于点E,