第2讲 二次函数与一元二次方程综合-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

第二部分 专题突破 第2讲二次函数与一元二次方程综合 一、二次函数与一元二次方程 国方法解读 ★1.关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点横坐标的值， 21 图示 5432-101234567元 △=b2-4ac的正负 △>0 4=0 △<0 y=ax2+bx+c(a≠0) 两个交点：(m,0)和(n,0) 一个交点：(z,0) 没有交点 的图象与x轴的交点 ax2+bx+c=0(a≠0) 两个不相等的实数根： 两个相等的实数根： 没有实数根 根的情况 x=m,x2=n x1=x2=2 国例题精讲 例1若二次函数y=x2-3x-4的图象如图所示，则方程x2-3x-4=0的解是 例2若函数y=(m-3)x2-4x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值 为 国举一反三 1.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，则关于x的方程 ax2+bx+c=0的解为 第1题图 第2题图 第3题图 2.二次函数y=x2-2x+k的图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0的一个根是x=3, 则另一个根是 3.如图，一次函数y=x+b(k≠0)与二次函数y=ax2(a≠0)的图象分别交于点A(-2,2),B(4,8),则 关于x的方程ax2=x+b的解为 227 了新课标中考宝典·数学（广东专用版） 4.在平面直角坐标系x0y中，若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k= 5.若函数y=(a-1)2x2+3x+4的图象与x轴只有一个交点，则a的值为 6.在平面直角坐标系中，若函数y=(k-2)x2-2x+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可 能是飞值的为 A.-1 B.0 C.1 D.2 二、二次函数与不等式 国方法解读 根据函数图象求对应不等式的解集的步骤： (1)求图象与x轴的交点坐标； (2)判断符合题意的图象； (3)写出不等式的解集. 图示 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集 x<m或x>n ax2+bx+c<0(a≠0)的解集 m<x<n 写例题精讲 例3如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由此可知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是 ( A.x<-2 B.-2<x<4 C.x>4 D.x<-2或x>4 701 -101 例3题图 例4题图 例4二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分如图所示.已知图象经过点(-1,0)，其对称轴为 直线x=1. (1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为 (2)当x满足 时，y<0. 228 第二部分 专题突破 例5 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，该函数y与自变量x的部分对应值如下表： 1 2 3 2 0 -1 0 (1)求该二次函数的解析式； (2)关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为 关于x的不等式ax2+bx+c<3的解集 为 国举一反三 7.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的图象与x轴交于点(3,0)，顶点坐标为(1,3)，则 关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为 (1,3) 0123 1■234567 0 -L-1-J-J-_-- 第7题图 第8题图 第9题图 :8.如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点(-3,0)，对称轴为直线x=-1,则当函数值y> 0时，自变量x的取值范围是 9.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,6),B(3,3),C(4,6).当y>6时，x的取值范围 为 三、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 g例题精讲 例6“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个 房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定 价每增加10元时，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每 天支出20元的各种费用，设房间定价为x元/间(x为10的整数倍)： (1)若房间定价为300元时，则可租出去 个房间.此时，利润为 元； (2)为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的 费用提高为每间30元，当x为多少时，民宿利润最大？ 229 口新课标中考宝典·数学（广东专用版） (3)在(2)的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间 定价x的范围 写举一反三 10.某商场将进价为每个30元的书包以每个40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包 的售价每上涨1元，其销售量就减少10个.设每个书包涨价x元，每月售出书包所获利润为y元. (1)当每个书包涨价多少元时，每月可获利润为10000元？ (2)当每个书包涨价多少元时，每月所获利润最大？最大利润是多少？ (3)直接写出售价在什么范围内商家所获利润不低于10000元. 230DH-HE_DE EF-BF-BE-2, BF=1,DH-HE-2,EF- ∴HF=2+冬，由答图1知，HF=DC 冬-及-2-9 2+ 专题十四二次函数压轴题（含10小讲） 第1讲二次函数核心考点 例题精讲 例1解：设交点式为y=a(x+1)(x一3)，代入(0，一3)，得a=1, ∴.y=(x+1)(x-3)， .y=x2-2x-3. 例2解：(1)法1：该抛物线经过点(0,3)， ∴设该抛物线的解析式为y=ax2十bx十3(a≠0)， 将(-1,0)，(1,4)分别代入y=ax2+bx+3,得 0T3=0解得a二 a+b+3=4, ∴该抛物线的解析式为y=一x2十2x十3； 法2：由表格可知顶点坐标为(1,4)， ∴.设y=a(x-1)2十4，将(0,3)代人，得a=-1, .y=-(x-1)2十4=-x2十2x十3， 法3：由表格可知抛物线与x轴两个交点的坐标为 (-1,0),(3,0), ∴.设y=a(x+1)(x-3),将(0,3)代人，得a=-1, ∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3; (2)将y=-5代人y=-x2+2x+3,得-5= -x2+2x+3, 解得x1=4,x2=一2。 ∴点P的坐标为(4，-5)或(-2，-5). 例3A例425 例5(1)y=2(x+3)2-5(2)y=-2(x-3)2+5 (3)y=2(x-3)2-5 例6②③⑥拓展练：(1)=(2)>(3)= 举一反三 1.y=7(x-4)2-32.y=-2x2+2 3.(1)x=-1(2)y=-(x+1)2+4 4.解：(1)由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为（一1，一4）， .可设y=a(x+1)2-4,代入(2,5)，得5=9a-4. .a=1,.y=(x+1)2-4=x2+2x-3; (2)对于y=x2+2x一3，令y=0,则x2+2x一3=0， 解得x1=一3，x2=1, .该函数图象与x轴的交点坐标分别为（一3,0），(1,0)， 画出此二次函数的图象如答图」 -3 5-4 2-10 2 4 -J--1-. 答图 (3)x<-3或x>1 5.y=3x2-26.C7.D8.A9.y=2(x-1)2+1 10.y=(x-2)2-711.C12.D13.B 参考答宋 第2讲二次函数与一元二次方程综合 例题精讲 例1x1=4,x2=-1例2-1或3或4例3B 例4(1)x1=-1,x2=3(2)x<-1或x>3 例5解：(1)观察表格可知，该二次函数图象的顶点坐标为 (2,-1), ∴.设该二次函数的解析式为y=a(x一2)2一1， .该二次函数图象过点(1,0)， .0=a(1-2)2-1, 解得a=1,即y=(x-2)2-1. (2)x<1或x>30<x<4 例6解：(1)3810640 (2)由题意，设利润为元， w=-380)(0-）=0u-35r+ 10/ 10562.5, 1 ”一0<0，二次函数图象的对称轴为直线x=355,且 x为10的整数倍， .当x=350或360时，w有最大值为10560，即当x 为350或360时，民宿利润最大； 1 (3)由题意，令w=-10(x-355)2+10562.5=10 360,得x=310或400， 由二次函数图象的草图可知当w≥10360时，310≤x 400. ,·该民宿空闲房间数不能超过20间， .18 10 ≤20，解得x≤380， ∴.310≤x≤380，且x为10的整数倍 举一反三 1.x1=-3,x2=12.x=-13.x1=-2,x2=44.1 5.1度或76.C7.-1<r<88-3<z<1 9.x<0或x>4 10.解：(1)依题意得(40一30十x)(600-10x)=10000, 解得x1=10,x2=40. 故当每个书包涨价10元或者40元时，每月可获利润为 10000元： (2)y=(40-30+x)(600-10x) =-10x2+500x+6000 =-10(x-25)2+12250, ,.当x=25时，y有最大值12250， 即当每个书包售价为65元时，月最大利御为12250元； (3)由(1)知，当y=10000时， 解得x1=40,x2=10.由二次函 10000 数图象草图（如答图）可知当y≥ /10140 10000时，10≤x≤40， .当售价不低于50元且不高于 答图 80元时，商家所获利润不低于 10000元. 第3讲二次函数与几何综合 例题精讲 例1解：(1)把A(2,0),B(一1,0)代入y=ax+bx-2, 得/4a+2b-2=0, a-b-2=0, 郑得名 .二次函数的解析式为y=x2一x一2.