第1讲 二次函数核心考点-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

0 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 专题十四二次函数压轴题（含10小讲） 第1讲二次函数核心考点 一、用待定系数法求函数解析式 基础知识：二次函数解析式的三种形式： 般式 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 对称轴：直线x= b 4ac-b 2 ,顶点坐标： 2a' 4a 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0) 对称轴：直线x=h,顶点坐标：(h,k) 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 名为函数图象与x轴交点的横坐标，图象的对称轴：直线= 2 类型一：已知点的坐标，直接设解析式，用待定系数法求解 用待定系数法确定二次函数的解析式的一般步骤： (1)一设：①已知顶点坐标，设为顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)； ②已知除顶点以外的其他点的坐标，设为一般式y=ax2+bx+c(a≠0)； ③已知与x轴的交点坐标(m,0),(n,0),设为交点式y=a(x-m)(x-n)(a≠0). (2)二代：将已知点的坐标代入解析式，得到方程（组）， (3)三解：解方程（组），得待定系数a,h,k或a,b,c的值 (4)四写：将求得的待定系数的值代回所设解析式，求出解析式。 !国例题精讲 例1已知二次函数图象与x轴交于点(-1,0)和(3,0)，且过点（0，-3)，求二次函数解析式. 举一反三 1.已知二次函数的图象经过点(3,4)，顶点坐标为(4，-3)，可设顶点式为y=α(x-4)2-3,则二次函数 的解析式为 2.已知抛物线过点A(1,0),B(-1,0),C(0,2),则它的解析式为 3.(2025·贵州改编)如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横 （-1,4 坐标是-3，顶点坐标为(-1,4)，请根据图象填空： (1)二次函数图象的对称轴是直线 (2)二次函数的解析式为 0 222 第二部分 专题突破 类型二给出表格，从表格中确定特殊点（顶点、交点），设解析式，用待定系数法求解 国例题精讲 例2下表给出了某抛物线对应的函数中两个变量x,y的部分 特殊点 坐标 对应关系： 顶点 (1,4) (1)求该抛物线的解析式； 与x轴的交点 (-1,0)(3,0) (2)当点P的纵坐标为-5时，求点P的坐标. 与y轴的交点 (0,3) 举一反三 4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： 0 2 ·2 -11 -3 3 5 -4-3-2-1g123元 (1)求二次函数的解析式； (2)求出该函数图象与x轴的交点坐标，并在如图的坐标系中画出此二次函数的图象； (3)结合图象，当y>0时，x的取值范围是 223 了新课标中考宝典·数学（广东专用版） 二、二次函数图象的平移 二次函数图象的平移规律如下： 向左平移m个单位长度=a-h+mP+k y=a(x-h)+k 向右平移m个单位长度y=alk-h-mP+h 向上平移m个单位长度)y广alx-hP+k+m 其中m>0 向下平移m个单位长度 y=a(x-hY+k-m/ 方法解读 一转化 二平移 y=2(x+3)2-8+2 向上平移2个单位长度 上加 即y=2(x+3)2-6 y=2(x+3)2-8-2 y=2x2+12x+10 向下平移2个单位长度 下减 即y=2(x+3)2-10 ↓配方法 y=2(x+3)2-8 y=2(x+3+2)2-8 向左平移2个单位长度 左加 即y=2(x+5)2-8 y=2(x+3-2)2-8 向右平移2个单位长度 右减 即y=2(x+1)2-8 !例题精讲 例3 在平面直角坐标系中，将抛物线y=(x-1)2+1向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长 度，所得的抛物线的解析式为 A.y=(x-2)2-2 B.y=(x-2)2+4 C.y=x2+1 D.y=x2-1 例4将二次函数y=x2-4x+6的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线 y=x2+bx+c,则b= ,C= 国举一反三 5.(2025·上海)抛物线y=3x2向下平移2个单位长度所得的抛物线的解析式为 6把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为 A.y=x2+2 B.y=(x-1)2+1 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-1)2+3 7抛物线)=了向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式是 Ay=吉+1)2-2By=-12 2 cy=x-102-2 D.y+1)+2 8.将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，所得新抛物线的解析式为 A.y=(x+4)2-3 B.y=(x+4)2-2 C.y=(x-2)2-3 D.y=(x-2)2-2 224 第二部分 专题突破 三、二次函数图象的对称变换 G方法解读 一、转化 对称轴 写特殊点（顶点）坐标 二、结合草图，写解析式 (或对称中心) x轴 y=(x-2)2-6(关于x轴对称，开口大 (2,-6) 小相同，方向相反，∴.a=1) y=-x2+4x+2 ↓ y轴 (-2,6) y=-(x+2)2+6(关于y轴对称，开口 大小、方向相同，∴.a=-1) y=-(x-2)2+6 原点 y=(x+2)2-6(关于原点对称，开口大 (-2,-6) 小相同，方向相反，∴.a=1) 写例题精讲 例5已知抛物线C1:y=-2(x+3)2+5. (1)若抛物线C1与抛物线C2关于x轴对称，则C2的解析式为 (2)若抛物线C1与抛物线C,关于y轴对称，则C3的解析式为 (3)若抛物线C1与抛物线C4关于原点对称，则C4的解析式为 写举一反三 9.抛物线y=2x2+4x+3关于y轴对称的抛物线的解析式是 10.抛物线y=-x2+4x+3关于x轴对称的抛物线的解析式是 四、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与系数a,b,c的关系以及含a,b,c的代数式 口方法解读 (1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与系数a,b,c: 代数式 作用 代数式符号 图象特征 a>0 开口向上 a 决定开口方向 a<0 开口向下 a·b>0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧 2a 决定对称轴的位置(“左同右异”) b=0 对称轴为y轴 a·b<0(a,b异号) 对称轴在y轴右侧 c>0 交点在y轴正半轴 决定抛物线与y轴交点的位置 c=0 交点在原点 c<0 交点在y轴负半轴 225 了新课标中考宝典·数学（广东专用版） (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与含a,b,c的代数式： 方法 举例 当x=1时，y=a+b+c 当x=-1时，y=a-b+c 当x=2时，y=4a+2b+c 赋值法（特值法） 当x=-2时，y=4a-2b+c 当1时.6=-2a2a+6=0 当2 =-1时，b=2a,2a-b=0 g例题精讲 例6二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.以下结论正确的是 (填序号) 0 ①abc<0;②2a+b=0； ③4ac-b2<0;④a+b+c>0; -1 :1 ⑤4a+2b+c>0;⑥对于任意实数m,都有m(am+b)≥a+b. 拓展练：(1)9a+3b+c 0; (2)4a-2b+c 0; (3)3a+c 0. 举一反三 11.(2025·安徽)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则( A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<O 12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=-7,且与x轴的一个交点 坐标为(-2,0)，下列结论：①abc>0;②a=b;③2a+c=0;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c-1=0 有两个相等的实数根，其中正确结论的序号是 A.①③ B.②④ C.③④ D.②③ y个 A70 第12题图 第13题图 13.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(3,0)与y轴交于点C,下列结论：①ac>0; ②当x>0时，y随x轴的增大而增大；③3a+c=0;④a+b≥am2+bm.其中正确的个数为( A.1个 B.2个 C.3个 D.②③ 226DH-HE_DE EF-BF-BE-2, BF=1,DH-HE-2,EF- ∴HF=2+冬，由答图1知，HF=DC 冬-及-2-9 2+ 专题十四二次函数压轴题（含10小讲） 第1讲二次函数核心考点 例题精讲 例1解：设交点式为y=a(x+1)(x一3)，代入(0，一3)，得a=1, ∴.y=(x+1)(x-3)， .y=x2-2x-3. 例2解：(1)法1：该抛物线经过点(0,3)， ∴设该抛物线的解析式为y=ax2十bx十3(a≠0)， 将(-1,0)，(1,4)分别代入y=ax2+bx+3,得 0T3=0解得a二 a+b+3=4, ∴该抛物线的解析式为y=一x2十2x十3； 法2：由表格可知顶点坐标为(1,4)， ∴.设y=a(x-1)2十4，将(0,3)代人，得a=-1, .y=-(x-1)2十4=-x2十2x十3， 法3：由表格可知抛物线与x轴两个交点的坐标为 (-1,0),(3,0), ∴.设y=a(x+1)(x-3),将(0,3)代人，得a=-1, ∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3; (2)将y=-5代人y=-x2+2x+3,得-5= -x2+2x+3, 解得x1=4,x2=一2。 ∴点P的坐标为(4，-5)或(-2，-5). 例3A例425 例5(1)y=2(x+3)2-5(2)y=-2(x-3)2+5 (3)y=2(x-3)2-5 例6②③⑥拓展练：(1)=(2)>(3)= 举一反三 1.y=7(x-4)2-32.y=-2x2+2 3.(1)x=-1(2)y=-(x+1)2+4 4.解：(1)由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为（一1，一4）， .可设y=a(x+1)2-4,代入(2,5)，得5=9a-4. .a=1,.y=(x+1)2-4=x2+2x-3; (2)对于y=x2+2x一3，令y=0,则x2+2x一3=0， 解得x1=一3，x2=1, .该函数图象与x轴的交点坐标分别为（一3,0），(1,0)， 画出此二次函数的图象如答图」 -3 5-4 2-10 2 4 -J--1-. 答图 (3)x<-3或x>1 5.y=3x2-26.C7.D8.A9.y=2(x-1)2+1 10.y=(x-2)2-711.C12.D13.B 参考答宋 第2讲二次函数与一元二次方程综合 例题精讲 例1x1=4,x2=-1例2-1或3或4例3B 例4(1)x1=-1,x2=3(2)x<-1或x>3 例5解：(1)观察表格可知，该二次函数图象的顶点坐标为 (2,-1), ∴.设该二次函数的解析式为y=a(x一2)2一1， .该二次函数图象过点(1,0)， .0=a(1-2)2-1, 解得a=1,即y=(x-2)2-1. (2)x<1或x>30<x<4 例6解：(1)3810640 (2)由题意，设利润为元， w=-380)(0-）=0u-35r+ 10/ 10562.5, 1 ”一0<0，二次函数图象的对称轴为直线x=355,且 x为10的整数倍， .当x=350或360时，w有最大值为10560，即当x 为350或360时，民宿利润最大； 1 (3)由题意，令w=-10(x-355)2+10562.5=10 360,得x=310或400， 由二次函数图象的草图可知当w≥10360时，310≤x 400. ,·该民宿空闲房间数不能超过20间， .18 10 ≤20，解得x≤380， ∴.310≤x≤380，且x为10的整数倍 举一反三 1.x1=-3,x2=12.x=-13.x1=-2,x2=44.1 5.1度或76.C7.-1<r<88-3<z<1 9.x<0或x>4 10.解：(1)依题意得(40一30十x)(600-10x)=10000, 解得x1=10,x2=40. 故当每个书包涨价10元或者40元时，每月可获利润为 10000元： (2)y=(40-30+x)(600-10x) =-10x2+500x+6000 =-10(x-25)2+12250, ,.当x=25时，y有最大值12250， 即当每个书包售价为65元时，月最大利御为12250元； (3)由(1)知，当y=10000时， 解得x1=40,x2=10.由二次函 10000 数图象草图（如答图）可知当y≥ /10140 10000时，10≤x≤40， .当售价不低于50元且不高于 答图 80元时，商家所获利润不低于 10000元. 第3讲二次函数与几何综合 例题精讲 例1解：(1)把A(2,0),B(一1,0)代入y=ax+bx-2, 得/4a+2b-2=0, a-b-2=0, 郑得名 .二次函数的解析式为y=x2一x一2.