专题13 动态问题-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

新课标中考宝典数学（广东专用版） 举一反三 1.解：(1)B z-中7分x≠0…+1-2，即x-1十 1 x 1 =2,x+1 =3,十x2+1 =x2+1+ 1 x 22 (+）”-1=8-1=8小2+8 x 2.(1)解：点F和点N (2②设P6,）>0>, 根据题意，得2(+8） =18,整理，得t2-9t十18=0， 解得t1=3,t2=6,此时P点坐标为(3,6)，(6,3)，点(3， 6),(6,3)关于原点的对称点为（一3，一6），（一6，一3）， 所以“和谐点”P的坐标为(3,6)，(6,3)，（一3，一6），（一6，一3）， 3.解【理解11)（②） 理由如下：过点P作PF∥BC,交AD于点F,如答图1， PF∥BC,.△PEF∽△CED, 器-0， :PF∥BC,.△APF∽△ABD, PF AP 1 “BD-AB-元， 设PF=m,:AD是△ABC的中线， 答图1 ∴.BD=CD=nm, 器-保-0=器ce CE CE 故答案为：n十1 n 【拓展】①点P在AB边上时，过点D作DF⊥AB于点F, 如答图2，由题意得AP=t,0≤t≤2. 四边形ABCD为平行四边形，∴.AB∥CD,AD=BC= 4,CD=AB=2,∠DAB+∠B=180°，.∠DAB=60°， DF⊥AB, D DF=AD·sin60=4X5 =25, E SAAPB=2AP·DF= ×23= 1 d/ A→pFB √3t. 答图2 PE AP t :AB,CD,.△APEn△CDE,DE-CD-2' 器品 -2 2 -DP=年2y=年2X5t =2 t+2 ②点P在CB边上时，过点B作BH⊥ AD于点H,如答图3， 由题意得BP=t-2,∴.CP=BC-BP =6-t,2<t≤6. H 四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD=BC=4,AD∥BC,∠DAB+ 答图3 ∠B=180°，.∠DAB=60°， BH LAD,BH=AB·sSin60°=2X5 =3, Sm=2AD,BH=号X4Xg=25, 4 AD/BC,d△CPEn△ADE,CE-=。 2 AE、4 AC10- 4 104×25=85 5A00=AC10-2y102☒ 10-t 23t 综上，y与t的函数解析式为y=人 +2(0≤≤2)， 8W3 10-t 2t≤6). 专题十三动态问题 例题精讲 例1解：(1)①3-tt②t-33③9-tt-4 (2)在Rt△APQ中，PQ2=AQ+AP2=(3-t)2+t =2-+9=2(-2》°+2 当：=时，PQ取得最小值号，即PQ取得最小值 3√2 2； (3)易知，当点Q,P分别在AC, BC上时，△CPQ才可能是以CQB 为腰的等腰三角形，此时4<t 7,CQ=7-t,CP=t-4, 如答图，过点Q作QH⊥BC于点 H,则cH=cQsC=号？-)，A Q 答图 QH=cQ·sinC=号7-t), 3 若CQ=CP,则7-t=t-4,解得t=5.5； 若CQ=QP,则CH=PH,即CP=2CH, 4-4=2×号7-0，解得=沿 76 综上，t为5.5或3： .76 '(0≤≤3)， 1 (4)SABPQ= 23<≤4)， 品-+84<>. 例2解：(1)4-t(2)3-3。 (2),:四边形BQPH为平行四边形，且PH∥BQ, BQ=PH,即1=8-子，解得1=号。 7 (3)①当∠HPQ为直角时，显然t=3; ②当∠QHP为直角时，则四边形APHQ为矩形， AQ=PH,即3-4=3-至4，解得1=0（合去）， ③当∠HQP为直角时，'PH∥AB, ∴.∠HPQ=∠PQA, △HGP9g-pH:0As 知PQ2=2u2-6t+9, 2-6+9=(6-)3-),解得4=0.6或0（舍 去). 综上所述，当t为0.6或3时，△PQH为直角三角形； (4)PC=4-t, &在△PCH巾，CH--5-；. BH=号 55 5.5 又K为CH的中点，CK=2-8tBK= 218 t. 5 者A0Iw△84，则船-龄影三 5 BK BA t 3 5 4 解得：=一号（合去）成0（含去）： 55 ②若△BQH∽△BAK,则 3 5 t 4 解得t=2或0（舍去）.综上所述，t=2. 例3解：(1)如答图1，当点G落在 B 线段BC上时，在△CDG中，F DG=2,在Rt△ABC中，tanC AB 3 AC-4· .CD=DG 8 EAD FtanC3 答图1 8 又：AD=t,心3+t=4, eg号 (3)①当0G≤号时，如答图2，设G与AB的交点为 H则S=ADXAH=-2≤营， ②当<1<2时，如答图3，设FG分别与AB,BC交 于点H,I,DG与BC交于点J, 则B1=1,m=专1G=1言G1=1G=4-1, 3 S-sam-5am-24-专（-台)（经- 得最大值 6￥ B H G G H E AD C EA D 答图2 答图3 B B G AE 答图4 答图5 2 参考苔宋 B K E CD 答图6 ③当2<≤时，如答图，设PG,DG分别交BC于 点I,J, S=Se-5Aam=4-号(-专)（径4-1） -8+9=-(-)》+4号 ④当<：<4时，如答图5，重叠部分为梯形，设EF 交BC于点K,DG交BC于点J,易求得DI=3-, BK=是cE=号-是，s=合×2× (2-+3-)-9-8<8; ⑤当4<≤6时，如答图6，重叠部分为三角形，设EF 交C于点K,则CE=6-,BK=CE=号-是， s=2(层-)6-0=号6-r<是 .23 综上，S的最大值为6， (④)把S-代入(3)中①和⑤的S关于：的解析式， 3 解得1=6或1=5. 举一反三 1.(1)证明：四边形ABCD是正方形， .∠PAE=∠QCE=45°. AE AP 1 CE-2AE,AP=CQ-2CE-CQ =2 ∴.△AEP∽△CEQ: (2)解：如答图1，过点E作EM⊥AB于 点M,作EN⊥BC于点N, 由题意知AE=2√2，AM=ME=2,EN =CN=4,AP=t,CQ=2t,BQ=6-2t, MP=t-21,BP=6-t,QN=12t-41,BQN ..EP:=ME2+MP2, 答图1 即EP2=22+(2-t)2=t2-4t+8; PQ2=BP2+BQ2, 即PQ2=(6-t)2+(6-2t)2=5t2-36t+72; EQ2=EN2+QN2, 即EQ=4+(2t-4)2=4t2-16t+32. ①当∠EPQ=90°时，则EQ2=EP2十PQ, 即4t-16t+32=t2-4t+8+5t2-36t+72. 整理得t2一12t+24=0. 解得t1=6-2W3,t2=6十2√3（不合题意，舍去）； ②当∠PEQ=90时，则PQ2=EP2+EQ, 即5t2-36t+72=t2-4t+8+4t2-16t+32, 整理得t一2=0， 解得t=2; 新课标中考宝典数学（广东专用版） ③当∠PQE=90°时，则EP2=PQ2+EQ, 即t2-4t+8=5t2-36t+72+4t2-16t+32, 整理得t2一6t十12=0，该方程无实数解。 综上所述，当△EPQ是直角三角形时，t的值为6一2√3 或2； (3)解：过点A作AF⊥AC,交 CB的延长线于点F,连接FE 交AQ于点G,如答图2， .AF⊥AC,∠ACF=45°， ..AF-AC, AE AE 又：CE=2AE,AC=AF= 答图2 1 1 tan∠AFE=3 tan∠AQE=3,∠AFE=∠AQE, ∠AGF=∠ECQ,∴.△AGF∽△EGQ,G=C0' .'∠AGE=∠FGQ,∴.△AGEC∽△FGQ, ∴.∠AEG=∠FQG, .∠AFE+∠AEF=90°， .∠FQG+∠EQG=90°，即∠FQE=90°， ∴.AB∥EQ,△EQC是等腰直角三角形， Sm=S6e-Sam=号QC·AB-2QC·EQ -名x4x6号x4X4=4em). 2.(1)证明：当t=2时，DH=AH=4cm,则H为AD的中 点.由平移可知EF∥AB,,AD⊥BC,∴.EF⊥AD,.EF 为AD的垂直平分线，，AE=DE,AF=DF. ,AB=AC,AD⊥BC于点D, .AD⊥BC,∠B=∠C,,EF∥BC .∠AEF=∠B,∠AFE=∠C, .∠AEF=∠AFE, ..AE=AF, .AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形 (2)6cm (3)解：存在 ①若E为直角顶点，如答图1，此时 PE/AD,PE=DH=2t,BP=3t. ,AB=AC,AD⊥BC, ∴.BD=CD=5. PEaD器-品， D 答图1 即号-，此比例式不成立，故此种 情形不存在； ②若F为直角顶点，如答图2，此时 PF//AD,PF=DH=2t,BP=3t, CP=10-3t. PF CP PF∥AD,ADCD'即2 8 10一3，解得t-17 40 D P C 答图2 ③若P为直角顶点，如答图3，过点E 作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,则EM 28 =FN=DH=2t,EM∥FN∥AD. BMAD0即告-，解得N- 4 PM-BP-8M-3 7 在Rt△EMP中，由勾股定理，得EP”=EM十PM= ar+()'-. FNAD,器-8器年台-解得CN-是， PN=BC-BP-CN=10-3a-号4=10-. 5 41 在Rt△FNP中，由勾股定理，得PF2 -FN+PN(10) _353-85t+100. H必m 16 ▣A 在Rt△PEF中，由勾股定理，得EF2 BM PD NC =PE+Pg,即(0-)- 答图3 +353-85+100.化简，得 16 83-35t=0, 解得t 280 280 18g或1=0（舍去）1=183 综上所述，当：一号或：时，△PEF为直角三角形， 3.1证明：设Bm,ma),则A(m,票)， ADz轴，∴D点的纵坐标为m, k 将y-品代人y=ax中，得 m=ar, 点D(点点)…caam小， 将-品代人y- 中得出，y=a, 函数y=冬的图象必经过点C, (2)解：B(1,2)在直线y=ax上，.a=2, ∴y=2x,A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， :函数y一的图象经过点A,C, c(合2A1kD(告 .DC=k-2, 把矩形ABCD沿BD折叠， 点C的对应点为E, AB=BC- -1,∠BED= ∠BCD=90°， DC=k2-2-BE DE 如答图，过点D作DH⊥y轴， 过点B作BF⊥y轴， 答图 ,AD∥x轴，H,A,D三点共线， ∴.∠IHED+∠BEF=9O°，∠BEF+∠EBF=9O°， ∴∠HED=∠EBF, ∠DHE=∠EFB=90°，.△HDE∽△FEB, DH-HE_DE EF-BF-BE-2, BF=1,DH-HE-2,EF- ∴HF=2+冬，由答图1知，HF=DC 冬-及-2-9 2+ 专题十四二次函数压轴题（含10小讲） 第1讲二次函数核心考点 例题精讲 例1解：设交点式为y=a(x+1)(x一3)，代入(0，一3)，得a=1, ∴.y=(x+1)(x-3)， .y=x2-2x-3. 例2解：(1)法1：该抛物线经过点(0,3)， ∴设该抛物线的解析式为y=ax2十bx十3(a≠0)， 将(-1,0)，(1,4)分别代入y=ax2+bx+3,得 0T3=0解得a二 a+b+3=4, ∴该抛物线的解析式为y=一x2十2x十3； 法2：由表格可知顶点坐标为(1,4)， ∴.设y=a(x-1)2十4，将(0,3)代人，得a=-1, .y=-(x-1)2十4=-x2十2x十3， 法3：由表格可知抛物线与x轴两个交点的坐标为 (-1,0),(3,0), ∴.设y=a(x+1)(x-3),将(0,3)代人，得a=-1, ∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3; (2)将y=-5代人y=-x2+2x+3,得-5= -x2+2x+3, 解得x1=4,x2=一2。 ∴点P的坐标为(4，-5)或(-2，-5). 例3A例425 例5(1)y=2(x+3)2-5(2)y=-2(x-3)2+5 (3)y=2(x-3)2-5 例6②③⑥拓展练：(1)=(2)>(3)= 举一反三 1.y=7(x-4)2-32.y=-2x2+2 3.(1)x=-1(2)y=-(x+1)2+4 4.解：(1)由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为（一1，一4）， .可设y=a(x+1)2-4,代入(2,5)，得5=9a-4. .a=1,.y=(x+1)2-4=x2+2x-3; (2)对于y=x2+2x一3，令y=0,则x2+2x一3=0， 解得x1=一3，x2=1, .该函数图象与x轴的交点坐标分别为（一3,0），(1,0)， 画出此二次函数的图象如答图」 -3 5-4 2-10 2 4 -J--1-. 答图 (3)x<-3或x>1 5.y=3x2-26.C7.D8.A9.y=2(x-1)2+1 10.y=(x-2)2-711.C12.D13.B 参考答案 第2讲二次函数与一元二次方程综合 例题精讲 例 $$1 \quad x _ { 1 } = 4 ， x _ { 2 } = - 1$$ 例2 -1或3或4 例3 B 例 $$4 \left( 1 \right) x _ { 1 } = - 1 ， x _ { 2 } = 3 \left( 2 \right) x < - 1$$ 或 x>3 例 5 解：(1)观察表格可知，该二次函数图象的顶点坐标为 (2，-1)， ∴ .设该二次函数的解析式为 $$y = a \left( x - 2 \right) ^ { 2 } - 1 ，$$ ∵ 该二次函数图象过点 (1，0)， $$\therefore 0 = a \left( 1 - 2 \right) ^ { 2 } - 1 ，$$ 解得 a=1， 即 $$y = \left( x - 2 \right) ^ { 2 } - 1 .$$ (2)x<1 或 x>30<x<4 例6 解：(1)38 10640 (2)由题意，设利润为 w 元， $$\therefore w = \left( x - 3 0 \right) \left( 5 0 - \frac { x - 1 8 0 } { 1 0 } \right) = - \frac { 1 } { 1 0 } \left( x - 3 5 5 \right) ^ { 2 } +$$ $$1 0 \quad 5 6 2 . 5 ，$$ $$\because - \frac { 1 } { 1 0 } < 0 ，$$ ，二次函数图象的对称轴为直线 x=355， 且 x为10的整数倍， ∴ 当 x=350 或360时 有最大值为10560，即当x 为350或360时，民宿利润最大； (3)由题意，令 $$w = - \frac { 1 } { 1 0 } \left( x - 3 5 5 \right) ^ { 2 } + 1 0 5 6 2 . 5 = 1 0$$ 360，得 x=310 或400， 由二次函数图象的草图可知当 w≥10360 时， ，310≤x ≤400. ∵ 该民宿空闲房间数不能超过20间， $$\therefore \frac { x - 1 8 0 } { 1 0 } \le 2 0 ，$$ 解得 x≤380， ∴310≤x≤380， ，且x为10的整数倍. 举一反三 $$1 . x _ { 1 } = - 3 ， x _ { 2 } = 1 2 . x = - 1 3 . x _ { 1 } = - 2 ， x _ { 2 } = 4 \quad 4 . 1$$ 5.1 或 $$\frac { 1 } { 4 } 或$$ $$E . \frac { 7 } { 4 }$$ 6.C7.-1<x<38.-3<x<1 9.x<0 或 x>4 10.解： (1) 依题意得 (40-30+x)(600-10x)=10000， 解得 $$x _ { 1 } = 1 0 ， x _ { 2 } = 4 0 .$$ 故当每个书包涨价1 10 元或者40元时，每月可获利润为 10000元； (2)∵y=(40-30+x)(600-10x) $$= - 1 0 x ^ { 2 } + 5 0 0 x + 6 0 0 0$$ $$= - 1 0 \left( x - 2 5 \right) ^ { 2 } + 1 2 2 5 0 ，$$ ∴ 当 x=25 时 ，y 有最大值12250， 即当每个书包售价为65元时，月最大利润为12250元； (3)由(1)知，当 y=10000 时， 解得 $$x _ { 1 } = 4 0 ， x _ { 2 } = 1 0 .$$ 由二次函 10000 数图象草图(如答图)可知当 y≥ 10 40 10000时， ，10≤x≤40， ∴ 当售价不低于50元且不高于 答图 80元时，商家所获利润不低于 10000元. 第3讲二次函数与几何综合 例题精讲 例1 解：(1)把 A(2，0)，B(-1，0) 代入 $$y = a x ^ { 2 } + b x - 2 ，$$ |4a+2b-2=0， 0.解得 $$\left\{ \begin{array}{l} a = 1 ， \\ b = - 1 ， \end{array} \right.$$ 得 |a-b-2=0， b=-1， ∴ 二次函数的解析式为 $$y = x ^ { 2 } - x - 2 .$$ 9新课标中考宝典·数学（广东专用版） 专题十三 动态问题 类型一动点问题 国方法解读 例题精讲 ★1.动点问题解题思路： 例1如图，∠A=90°，AB=3,AC=4,点P在△ABC的边上沿A→C→B的 (1)动中取静（定性分析）： 方向运动，同时点Q在△ABC的边上沿B4一→C的方向运动.P,Q 想象图形的完整运动 两点每秒移动的路程均为1，设运动时间为t秒，0≤t≤7， 过程，找到能使图形发 (1)①当0≤t≤3时，AQ= AP= 生本质变化的关键点 (用含t的式子表示)； (时间点)； ②当3<t≤4时，AQ= PQ= (2)以静制动（定量分析）： (用含t的式子表示)； 画出能使图形发生本 ③当4<t≤7时，BP= CP= (用含t的式 质变化的关键点（时间 子表示) 点)所对应的图形，把 (2)当0≤t≤3时，求PQ的最小值， 动态问题转化为静态 (3)当t为何值时，△CPQ是以CQ为腰的等腰三角形？ 问题， (4)求△BPQ的面积（用含t的式子表示），直接写出结果 ★2.动点问题解题步骤： 第一步：根据“路程= 速度×时间”，用含时间t 的式子表示动点的运动 路程； 第二步：结合图形结构和 相似、三角函数等知识，得 到线段的和差倍分关系， 在第一步的基础上，用含t 的式子表示这些线段 的长； 第三步：根据题意列方程 (或计算). 216 第二部分 专题突破 写举一反三 1.(2024·南充)如图，正方形ABCD的边长为6cm,E为对角线AC上一点，CE=2AE,点 P在AB边上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以2cm/s的速 度由点C向点B运动，设运动时间为ts(0<t≤3)· (1)求证：△AEP∽△CEQ; (2)当△EPQ是直角三角形时，求t的值； (3)连接AQ,当tan LAQE=3时，求△AEQ的面积 217 0加 新课标中考宝典·数学（广东专用版） W类型二 动线问题 口方法解读 写例题精讲 ★3.化归思想：实际上，直 例2如图2，∠A=90°，AB=3,AC=4,直线AB沿AC方向水平向右运动， 线（线段或射线）的 与AC,BC交于点P,H,同时点Q在△ABC的边上沿(B→A→C)的 运动就是无数个点的 方向运动.直线AB、点Q每秒移动的路程均为1，设运动时间为t 秒，0≤t≤3. 组合运动， 在分析问题时，有时 候只需要关注一两个 特殊点的运动即可. 图2 例如：关注线段两个 端点的运动，实际上 (1)PC= PH= (用含t的式子表示)； 就是把动线问题转化 (2)当t为何值时，四边形BQPH为平行四边形？ 为双动点问题 (3)当t为何值时，△PQH为直角三角形？ ★4.分类讨论思想：画出 (4)如图2，K为CH的中点，且△BQH与△BKA相似，求t的值. 能使图形发生本质 变化的关键点（时间 点)所对应的图形， 针对每一个图形进 行分析计算 ★5.方程思想：通过时间t 表示长度、面积等几 何量，根据题意和相 关知识建立方程， 218 第二部分 专题突破 写举一反三 2.(广东真题)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,BC= l0cm,AD=8cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速 H 度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出 发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB,AC,AD于 DP 备用图 E,F,H.当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时 间为t秒(t>0). (1)当t=2时，连接DE,DF,求证：四边形AEDF为菱形 (2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，线段BP的长 为 (3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明 理由。 219 了新课标中考宝典·数学（广东专用版） 类型三 动面问题 口方法解读 化归思想：面的运动可以看成是若干条线的组合运动，而线的运动可以看成是点的运动，所以动面问 题可以转化为特殊线的运动问题，再转化为特殊点的运动问题， 例题精讲 例3如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,边长为2的正方形DEFG的顶点D与点A重合，边 DG在线段AB上.正方形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿AC方向运动，设运动时间为t 秒，0≤t≤6. (1)当t取何值时，点G落在线段BC上？ (2)①当t=时，点F落在线段AB上；②当t= 时，点F落在线段 BC上 A(D) (3)设正方形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S,求S的最大值. (4)在第(3)问中，当S=3时，求1的值 220 第二部分 专题突破 写举一反三 3.【综合实践】（模型观念、应用意识、运算能力）(2024·广东节选)【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B,D是直线y=ax(a>0)上第一象限内的两个动点(OD>OB),以线 段BD为对角线作矩形ABCD,AD,/轴.反比例函数y=的图象经过点A 【构建联系】 (1)求证：函数)y=的图象必经过点C; 2、 (2)如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点B的坐标为(1,2) 时，求k的值， 图1 221