专题5 “将军饮马问题-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

第二部分 专题突破 专题五“将军饮马”问题 G方法解读 例题精讲 【模型分析】 例1如图，在4×4的正方形网格 ★1.单动点+两定点（直线上一动点到直线外两定点距离之和 中，直线a外，有A,B两点. 最短) 在直线a上求一点P,使 核心问题：直线L上有一动点P,求PA+PB的最小值(A,B为直 PA+PB最短，则点P的位置 线1外两定点) 应选在点 处（填图中 (1)如图，两定点在直线1同侧 的字母) 作法：过点A作关于直线I的对称点A',连接 A'B交l于，点P,此时PA+PB=A'B(最小) B (2)如图，两定点在直线1异侧 作法：直接连接AB,与直线I的交点即为所求点P,此时PA+PB =AB(最短) 原理：两点之间线段最短，无需对称变换， A 写举一反三 1.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2,AB=8,P是AC上一动点，则PB+ PE的最小值为 国方法解读 写例题精讲 【模型分析】 例2如图，在矩形ABCD中，AB= ★2.单动点+两定点（在线上一动点到两定点距 3,AD=4,连接AC,0是AC 离差最大) 的中点，M是AD上一点，且 核心问题：直线1上有一动点P,求 MD=1,P是BC上一动点，则PM-PO的最 |PA-PB的最大值(A,B为定点). 大值为 根据三角形两边之差小于第三边，即点P为 两定点的连线的延长线与直线（的交点时取 A.v0 2 B.⑧ D.3 2 等号 191 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 写举一反三 2.如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=4,点A在坐标原点(0,0)，AB在x轴上，AD在y轴上，已知定点E 为AB边的中点，定点F为AD边的中点，点P是矩形对角线AC上的一个动点，则IPE-PFI的最大 值为 ,P点坐标为 1年A -1止.P 2 第2题图1 第3题图1 3.如图，已知点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为 2,-2),点P在直线y=-x上运动，则IPA-PB最大 时点P的坐标为 A.（2,-2) B.(4,-4) D.(5,-5) 4.如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O,AC=4,BD=4V3,E为AB中点，P 为对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 方法解读 闻举一反三 【模型分析】 5.如图，正方形ABCD的边长是5，点E,F分别是边 ★3，双动点+一定点（两直线上各一动点到定 AB,BC上的动点，且AE=BF,连接CE,AF,则 点距离之和最短) CE+AF的最小值是 ( 核心问题：直线l1,2上各有一动点P,Q,求PA+ A.5 B.52 PQ+QA(或PA+PQ)的最小值(A为定点). C.25 D.55 D 例题精讲 例3如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB= 30°，OP=8,点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，则△PMN周长的最 小值为 ( 6.如图，已知矩形ABCD,AB=8, BC=12,点M为矩形内一点， 点E为BC边上任意一点，则B9 MA+MD+ME的最小值为 A.5 B.6 D.8 A.6+42 B.4+4√13 C.8+63 D.20 192新课标中考宝典数学（广东专用版） ∴.∠BEE=∠BEE'=60°，EE=BE, ..AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE, 要使AE+BE十CE最小，则点A',E',E,C在同一条线 上，即最小值为A'C的长度， 过点A'作A'F⊥CB,交CB的延长线于点F, 在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x,则A'B=2x,根据勾股定理，得A'F=√3x, .'AB=A'B,.'.AB=2x, AB+BC=6,∴.BC=6-AB=6-2x,∴.CF=BF+BC =6一x, 在Rt△A'FC中，根据勾股定理，得A'C2=A'F2十CF2= 3x+6-x)=4(e-名)月 +27, 3 六当x=2,即AB=2x=3时，A'C最小， 此时，BC=6-3=3,A'F=5x=3 2 平行四边形公园ABCD的面积为3×3y3-93。 2 2(平方 千米). 专题五 “将军饮马”问题 例题精讲 例1C例2D例3D 举一反三 1.102.B3./13 ()42w75.D6.c 专题六隐圆与四点共圆问题 例题精讲 例1B例22√22-2例3D 举一反三 1.55205-162.B324 4.证明：由旋转可知，CD=CE,∠DCE=90° 又.∠ACB=90°， .∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD, 即∠BCD=∠ACE 在△BCD和△ACE中，BC=AC(已知)，∠BCD= ∠ACE(已证)，CD=CE(旋转性质)， ∴.△BCD≌△ACE(SAS).∴.∠CBD=∠CAE. Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴.∠ABC+∠BAC=90°， ∴.∠CAE+∠BAC=90°，即∠BAE=90. 此时，∠BAE+∠DCE=90°+90°=180°，根据“对角互 补的四边形内接于圆”，可证A,D,E,C四点共圆 专题七动点轨迹、路径长问题 例题精讲 例1B例2B 例3解：如答图，连接AC,将△ACE绕点A顺时针旋转 60°得到△ABR,连接RE,则△AER是等边三角形， R B K 答图 .AE2=BE2+CE2,EA=RE,EC=RB, 2 .RE2=RB2+EB2.∴.∠EBR=90°. ∠RAE+∠RBE=150. .∠ARB+∠AEB=∠AEC+∠AEB=210°. ∴∠BEC=150. ,∴.点E的运动轨迹在以O为圆心的圆上，在⊙O上另取 一点K,连接KB,KC,OB,OC, ,∠K+∠BEC=180°，∠K=30°，∠B0C=60°， .OB=OC,∴.△OBC是等边三角形， ∴.OB=OC=BC=1, “点E的运动路径的长度=60：x·1-无 180 3 例4B 举一反三 1.12.√5-1 3.解：以C为原点，以AC所在的 直线为x轴，建立如答图所示的 平面直角坐标系，依题意，得0≤ t≤4，当t=0时，点M'的坐标为 (3,0),当t=4时，点”的坐标 0 为(1,4)， 设直线M'M"的解析式为 3k+b=0, MP-A y=x十b,则《 +b=4, 答图 解得径一2， (b=6. .直线M'M"的解析式为y=-2x十6. 由题意得，点P的坐标为(6-t,0),点Q的坐标为(0,2t), “在运动过程中PQ的中点M的坐标为（号，小， 当x=号时y=-2x82+6=, 点M在直线MM"上，作M"N⊥x轴于点N,如答图， 则M'N=4,M'N=2, 由勾股定理，得M'M'"=√/4+22=2√5， .线段PQ中点M所经过的路径长为2√5. 4.245.2π3 6.解：(1)等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°， ∴.AB=BC,∠A=∠ACB=45°， ,将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到 △CBQ,∴.△ABP≌△CBQ,∠PBQ=90°， ∠A=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ,AP=CQ,PB=BQ, ∴.∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°； (2).AB=BC,∠ABC=90°， ∴.AC2=AB2+BC2=2AB2=2X42=32,∴.AC=4√2， AP PC-113.AP-AC-,PC-3 .CQ=AP=√2， 在R△PCQ中，PQ=√PC+0Q=√(32)+(2)=2W5; (3)2PB=PA+PC2.证明如下：在Rt△BPQ中，BP= BQ,∠PBQ=90°，∴.PQ2=PB2+BQ2=2PB2, 在Rt△BPQ中，由勾股定理得，PQ=PC2+CQ2=PC2 +PA2,..2PB2=PA2+PC2. 专题八最值问题 例题精讲 例1B例25例3B例42例5D例6√3 例74.5