专题6 隐圆与四点共圆问题-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

新课标中考宝典数学（广东专用版） ∴.∠BEE=∠BEE'=60°，EE=BE, ..AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE, 要使AE+BE十CE最小，则点A',E',E,C在同一条线 上，即最小值为A'C的长度， 过点A'作A'F⊥CB,交CB的延长线于点F, 在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x,则A'B=2x,根据勾股定理，得A'F=√3x, .'AB=A'B,.'.AB=2x, AB+BC=6,∴.BC=6-AB=6-2x,∴.CF=BF+BC =6一x, 在Rt△A'FC中，根据勾股定理，得A'C2=A'F2十CF2= 3x+6-x)=4(e-名)月 +27, 3 六当x=2,即AB=2x=3时，A'C最小， 此时，BC=6-3=3,A'F=5x=3 2 平行四边形公园ABCD的面积为3×3y3-93。 2 2(平方 千米). 专题五 “将军饮马”问题 例题精讲 例1C例2D例3D 举一反三 1.102.B3./13 ()42w75.D6.c 专题六隐圆与四点共圆问题 例题精讲 例1B例22√22-2例3D 举一反三 1.55205-162.B324 4.证明：由旋转可知，CD=CE,∠DCE=90° 又.∠ACB=90°， .∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD, 即∠BCD=∠ACE 在△BCD和△ACE中，BC=AC(已知)，∠BCD= ∠ACE(已证)，CD=CE(旋转性质)， ∴.△BCD≌△ACE(SAS).∴.∠CBD=∠CAE. Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴.∠ABC+∠BAC=90°， ∴.∠CAE+∠BAC=90°，即∠BAE=90. 此时，∠BAE+∠DCE=90°+90°=180°，根据“对角互 补的四边形内接于圆”，可证A,D,E,C四点共圆 专题七动点轨迹、路径长问题 例题精讲 例1B例2B 例3解：如答图，连接AC,将△ACE绕点A顺时针旋转 60°得到△ABR,连接RE,则△AER是等边三角形， R B K 答图 .AE2=BE2+CE2,EA=RE,EC=RB, 2 .RE2=RB2+EB2.∴.∠EBR=90°. ∠RAE+∠RBE=150. .∠ARB+∠AEB=∠AEC+∠AEB=210°. ∴∠BEC=150. ,∴.点E的运动轨迹在以O为圆心的圆上，在⊙O上另取 一点K,连接KB,KC,OB,OC, ,∠K+∠BEC=180°，∠K=30°，∠B0C=60°， .OB=OC,∴.△OBC是等边三角形， ∴.OB=OC=BC=1, “点E的运动路径的长度=60：x·1-无 180 3 例4B 举一反三 1.12.√5-1 3.解：以C为原点，以AC所在的 直线为x轴，建立如答图所示的 平面直角坐标系，依题意，得0≤ t≤4，当t=0时，点M'的坐标为 (3,0),当t=4时，点”的坐标 0 为(1,4)， 设直线M'M"的解析式为 3k+b=0, MP-A y=x十b,则《 +b=4, 答图 解得径一2， (b=6. .直线M'M"的解析式为y=-2x十6. 由题意得，点P的坐标为(6-t,0),点Q的坐标为(0,2t), “在运动过程中PQ的中点M的坐标为（号，小， 当x=号时y=-2x82+6=, 点M在直线MM"上，作M"N⊥x轴于点N,如答图， 则M'N=4,M'N=2, 由勾股定理，得M'M'"=√/4+22=2√5， .线段PQ中点M所经过的路径长为2√5. 4.245.2π3 6.解：(1)等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°， ∴.AB=BC,∠A=∠ACB=45°， ,将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到 △CBQ,∴.△ABP≌△CBQ,∠PBQ=90°， ∠A=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ,AP=CQ,PB=BQ, ∴.∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°； (2).AB=BC,∠ABC=90°， ∴.AC2=AB2+BC2=2AB2=2X42=32,∴.AC=4√2， AP PC-113.AP-AC-,PC-3 .CQ=AP=√2， 在R△PCQ中，PQ=√PC+0Q=√(32)+(2)=2W5; (3)2PB=PA+PC2.证明如下：在Rt△BPQ中，BP= BQ,∠PBQ=90°，∴.PQ2=PB2+BQ2=2PB2, 在Rt△BPQ中，由勾股定理得，PQ=PC2+CQ2=PC2 +PA2,..2PB2=PA2+PC2. 专题八最值问题 例题精讲 例1B例25例3B例42例5D例6√3 例74.5第二部分 专题突破 专题六 隐圆与四点共圆问题 方法解读 例题精讲 定点定长模型 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C= ★1.到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.若 90,AC=6,BC=8,点F在F2 题目中存在动点到某定点距离恒定，则可构造以 边AC上，并且CF=2,点EGE 定点为圆心、定长为半径的圆， 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻 折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的 最小值是 A.1 B.1.2 C.3 D.5 g举一反三 1.如图，在口ABCD中，∠C=120°，AB=8,BC=10,E为边CD的中点，F为边AD 上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D'EF,连接AD',BD',则点C到AB的距 离为 ,△ABD'面积的最小值为 方法解读 ★2.定弦定角模型：若一条固定长度的弦所对的角为定角，则该角的顶点轨迹为圆弧（弦的两端点除 外).定角为锐角时，轨迹为优弧；定角为钝角时，轨迹为劣弧， g例题精讲 例2如图，点D在半圆O上，半径OB=5,AD=4,点C在弧BD上移动，连接AC,作 DHL⊥AC,垂足为H,连接BH,点C在移动的过程中，BH的最小值是 国举一反三 2.如图，等边三角形ABC内接于⊙O,点D是弧ACB上的一个动点（不与点A,B重 合)，连接BD,过点A作AE⊥BD,垂足为E,连接CE,若⊙0的半径为2，则CE长 的最小值为 A.√3 B.3-√3 C.2-√3 D.33 方法解读 ★3.四点共圆模型方法总结 (1)对角互补型：若四边形的一组对角互补，即∠A+∠C=180°，则A,B,C,D四点 共圆. 特例：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，易证：A,B,C,D四点共圆， 193 0 新课标中考宝典·数学（广东专用版） (2)同弦等角型：固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C,根据弦AB所对同侧圆周角恒 相等，可得A,B,C,P四点共圆. 如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个 三角形有公共的外接圆（如图），简记为：共边同侧对角等，四点共圆， 几何语言：如图，在△ABC与△ABP中，∠C=∠P,则A,B,C,P四点共圆. 写例题精讲 例3如图，在边长为1的小正方形网格中，点A,B,C,E在格点上，连接AE,BC,点D 在BC上且满足AD⊥BC,则tan∠AED的值是 A 25 B.2 5 0.2 举一反三 3.如图，设AD,BE,CF是△ABC的三条高，若AB=6,BC=5,EF=3,则线段BE的长为 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D是AB边上的动点（不与A,B 重合)，连接CD,将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE,连接AE,BE. 求证：A,D,E,C四点共圆. 194