专题7 动点轨迹、路径长问题-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

第二部分 专题突破 专题七动点轨迹、路径长问题 g方法解读 国举一反三 ★1.利用几何性质： 1.如图，线段AB=2,C是AB P 动点P到定直线距离保持不变，点P的轨 上一动点，以AC,BC为边在 b 迹为一直线。 AB同侧作正三角形ACE、正 定直角 三角形BCF,连接EF,点P 动，点P与定线段一端，点连接后，与该线段 为EF的中点.当点C从A 所夹角保持不变，点P的轨迹为一射线 01@ 运动到B时，P点运动路径 定直线 长为 例题精讲 例1如图，等腰三角形ABC的面积为2√5，AB=AC, BC=2作AE/BC且AE=BC点P是线段 AB上一动点，连接PE,过点E作PE的垂线交 BC的延长线于点F,M是线段EF的中点.那么，当点P从A点 运动到B点时，点M的运动路径长为 ( ) A.√3 B.3 C.23 D.4 ★2.借助定角定长模型： 国举一反三 2.如图，在正方形ABCD中，AD=2,E,F 分别为边DC,CB上的点，且始终保持 DE=CF,连接AE和DF交于点P,则线 段CP的最小值为 ∠P保持不变，∠P所对的边 动，点P到定，点O的距离为d 长为d保持不变，则∠P的顶 保持不变，则，点P的轨迹为以 点P的轨迹为圆孤（猫称：定 点0为圆心，d为半径的圆. 边定角). 例题精讲 例2如图，以G(0,1)为圆心，半径为2的 圆与x轴交于A,B两点，与y轴交于 C,D两点，点E为⊙G上一动点，CF E 0 B ⊥AE于点F,当点E从点B出发顺 D 时针运动到点D时，点F所经过的路径长为( A. 2 T B 3 T 6 195 0加 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 例题精讲 写举一反三 例3如图，在四边形 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，B ABCD中，∠B= AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿 0 60°，∠D=30° AC向点C以每秒1个单位长度的 M AB=BC.若AB=1,点E在四边形ABCD 速度运动，动点Q从点C开始沿边 内部运动，且满足AE2=BE2+CE2,求点E CB向点B以每秒2个单位长度的 运动路径的长度， 速度运动，当其中一点到达端点时，另一个点也 随之停止运动，设运动时间为ts(t≥0)，求出线 段PQ的中点M所经过的路径长， 196 第二部分 专题突破 方法解读 ★3.其他轨迹问题： 确定旋转中心（定点），由“主动点一按动点一旋转中心”，根据图形判断轨迹进而解决问题 国例题精讲 例4如图，⊙P在第一象限，半径为3.动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的 同时，作点A关于原点O的对称点B,再以AB为边作等边三角形ABC,点C 在第二象限，点C随点A运动所形成的图形的面积为 ) 433 A B.27m C.3√3π 33 6 D. 举一反三 4.如图，△ABC在第一象限，其面积为8.点P从点A出发，沿△ABC的边从A-B-C -A运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O的对称点Q,再以PQ为边 作等边三角形PQM,点M在第二象限，点M随点P运动所形成的图形的面积为 5.如图，以点O为圆心，1为半径的圆上有一动点B,A是圆外一点，A0=2,△ABC是 以线段AB为边所作的等边三角形，连接OC,当点B在圆O上运动一周时，则点C 走过的路径长为 ,OC的最大值是 6.(2025春·三水区期中)如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P是AC上一点， 将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ,连接PQ. (1)求∠PCQ的度数； (2)当AB=4,AP:PC=1:3时，求PQ的大小； (3)当点P在线段AC上运动时（点P不与点A重合），探索关于PA2,PB2,PC2之间的 等式关系，并加以证明 197新课标中考宝典数学（广东专用版） ∴.∠BEE=∠BEE'=60°，EE=BE, ..AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE, 要使AE+BE十CE最小，则点A',E',E,C在同一条线 上，即最小值为A'C的长度， 过点A'作A'F⊥CB,交CB的延长线于点F, 在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x,则A'B=2x,根据勾股定理，得A'F=√3x, .'AB=A'B,.'.AB=2x, AB+BC=6,∴.BC=6-AB=6-2x,∴.CF=BF+BC =6一x, 在Rt△A'FC中，根据勾股定理，得A'C2=A'F2十CF2= 3x+6-x)=4(e-名)月 +27, 3 六当x=2,即AB=2x=3时，A'C最小， 此时，BC=6-3=3,A'F=5x=3 2 平行四边形公园ABCD的面积为3×3y3-93。 2 2(平方 千米). 专题五 “将军饮马”问题 例题精讲 例1C例2D例3D 举一反三 1.102.B3./13 ()42w75.D6.c 专题六隐圆与四点共圆问题 例题精讲 例1B例22√22-2例3D 举一反三 1.55205-162.B324 4.证明：由旋转可知，CD=CE,∠DCE=90° 又.∠ACB=90°， .∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD, 即∠BCD=∠ACE 在△BCD和△ACE中，BC=AC(已知)，∠BCD= ∠ACE(已证)，CD=CE(旋转性质)， ∴.△BCD≌△ACE(SAS).∴.∠CBD=∠CAE. Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴.∠ABC+∠BAC=90°， ∴.∠CAE+∠BAC=90°，即∠BAE=90. 此时，∠BAE+∠DCE=90°+90°=180°，根据“对角互 补的四边形内接于圆”，可证A,D,E,C四点共圆 专题七动点轨迹、路径长问题 例题精讲 例1B例2B 例3解：如答图，连接AC,将△ACE绕点A顺时针旋转 60°得到△ABR,连接RE,则△AER是等边三角形， R B K 答图 .AE2=BE2+CE2,EA=RE,EC=RB, 2 .RE2=RB2+EB2.∴.∠EBR=90°. ∠RAE+∠RBE=150. .∠ARB+∠AEB=∠AEC+∠AEB=210°. ∴∠BEC=150. ,∴.点E的运动轨迹在以O为圆心的圆上，在⊙O上另取 一点K,连接KB,KC,OB,OC, ,∠K+∠BEC=180°，∠K=30°，∠B0C=60°， .OB=OC,∴.△OBC是等边三角形， ∴.OB=OC=BC=1, “点E的运动路径的长度=60：x·1-无 180 3 例4B 举一反三 1.12.√5-1 3.解：以C为原点，以AC所在的 直线为x轴，建立如答图所示的 平面直角坐标系，依题意，得0≤ t≤4，当t=0时，点M'的坐标为 (3,0),当t=4时，点”的坐标 0 为(1,4)， 设直线M'M"的解析式为 3k+b=0, MP-A y=x十b,则《 +b=4, 答图 解得径一2， (b=6. .直线M'M"的解析式为y=-2x十6. 由题意得，点P的坐标为(6-t,0),点Q的坐标为(0,2t), “在运动过程中PQ的中点M的坐标为（号，小， 当x=号时y=-2x82+6=, 点M在直线MM"上，作M"N⊥x轴于点N,如答图， 则M'N=4,M'N=2, 由勾股定理，得M'M'"=√/4+22=2√5， .线段PQ中点M所经过的路径长为2√5. 4.245.2π3 6.解：(1)等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°， ∴.AB=BC,∠A=∠ACB=45°， ,将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到 △CBQ,∴.△ABP≌△CBQ,∠PBQ=90°， ∠A=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ,AP=CQ,PB=BQ, ∴.∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°； (2).AB=BC,∠ABC=90°， ∴.AC2=AB2+BC2=2AB2=2X42=32,∴.AC=4√2， AP PC-113.AP-AC-,PC-3 .CQ=AP=√2， 在R△PCQ中，PQ=√PC+0Q=√(32)+(2)=2W5; (3)2PB=PA+PC2.证明如下：在Rt△BPQ中，BP= BQ,∠PBQ=90°，∴.PQ2=PB2+BQ2=2PB2, 在Rt△BPQ中，由勾股定理得，PQ=PC2+CQ2=PC2 +PA2,..2PB2=PA2+PC2. 专题八最值问题 例题精讲 例1B例25例3B例42例5D例6√3 例74.5